Praca zaliczeniowa

Portfel inwestycyjny banku

prof. dr hab. Jerzy Nowakowski

Adam Lipiński

Nr indeksu:31637

Studia stacjonarne

Semestr zimowy 2006/07

Zadanie 1.

Rozwiązując zadanie korzystałem ze:

-wzorów z książki „Matematyka finansowa” M. Podgórska, J. Klimkowska

-wzorów podanych na wykładzie

Dane:

Kredyt=8000 zł

n=10

WIBOR 1M=4,12% (dane z 5.01.2007)

i₁₂=4,12%/12= 0,003433333

a) Kredytobiorca spłaca kredyt zgodnie z umową w 10 ratach

a_10|0,0034333=1-(1+0,00343333)^-10/0,0034333=9,81

R=K_o/ a_n|i=8000/9,81= 815,18 (przy założeniu, że raty spłacane są w równej wysokości)

Schemat spłaty długu:

j	Kj-1	Rj	Ij	Uj	Kj	Zi	wi	(Zi-Zsr)^2	Var(Z)
1	8000	815,18	27,46666	787,7133	7212,287	0,003433	0,180887	0	0
2	7212,286664	815,18	24,76218	790,4178	6421,869	0,003433	0,163076	0	0
3	6421,868846	815,18	22,04841	793,1316	5628,737	0,003433	0,145204	0	0
4	5628,73726	815,18	19,32533	795,8547	4832,883	0,003433	0,127271	0	0
5	4832,882589	815,18	16,5929	798,5871	4034,295	0,003433	0,109276	0	0
6	4034,295485	815,18	13,85108	801,3289	3232,967	0,003433	0,091219	0	0
7	3232,966565	815,18	11,09985	804,0801	2428,886	0,003433	0,0731	0	0
8	2428,886415	815,18	8,339176	806,8408	1622,046	0,003433	0,054919	0	0
9	1622,045591	815,18	5,569023	809,611	812,4346	0,003433	0,036676	0	0
10	812,4346139	815,18	2,789359	812,3906	0,043972	0,003433	0,01837	0	0
Suma	44226,40403		151,844			0,003433

W kolumnach tabeli znajdują się:

J	numer okresu bazowego
Kj-1	Dług bieżący na początku okresu bazowego
Rj	Rata płatna w okresie j
Ij	część odsetkowa raty
Uj	część kapitałowa raty
Kj	Dług bieżący na koniec okresu bazowego

W tabeli zastosowałem następujące wzory:

I_j= K_j-1*i₁₂

U_j= R_j- I_j

K_j= K_j-1- U_j

Obliczam zysk dla kredytodawcy:

- zysk miesięczny w przypadku spłaty ratalnej bez opóźnienia

Z_i=10,28/8000=0,003425

Z_sr= Z_i

Obliczam ryzyko dla kredytodawcy

Var(z)=

Var(z)=0

=0

Ryzyko mierzone odchyleniem standardowym wynosi 0

b) kredytobiorca splaca kredyt z opóżnieniem.

-miesięczne opóżnienie po 3 racie

po 3 racie:

-karne oprocentowanie wynosi 3xWIBOR 1M+1%=3*4,12+1%=13.36%

-R_n=5648,06/a_7|0,0034333=817,99

j	Kj-1	Rj	Ij	Uj	Kj	Zi	wi	Zi*wi	(Zi-Zsr)^2	Var(Z)
1	8000	815,18	27,47	787,71	7212,29	0,0034333	0,162875	0,000559	0,000152	2,477E-05
2	7212,28666	815,18	24,76	790,42	6421,87	0,0034333	0,146838	0,000504	0,000152	2,233E-05
3	6421,86885	815,18	22,05	793,13	5628,74	0,0034333	0,130746	0,000449	0,000152	1,989E-05
4	5628,73726	0	19,33	-19,33	5648,06	0,0034333	0,114598	0,000393	0,000152	1,743E-05
5	5648,06259	817,99	19,39	798,6	4849,46	-0,13796	0,114991	-0,01586	0,016657	0,0019154
6	4849,46427	817,99	16,65	801,34	4048,12	0,0201899	0,098732	0,001993	0,000846	8,355E-05
7	4048,12409	817,99	13,9	804,09	3244,03	0,0168537	0,082417	0,001389	0,000663	5,466E-05
8	3244,03265	817,99	11,14	806,85	2437,18	0,013506	0,066047	0,000892	0,000502	3,316E-05
9	2437,1805	817,99	8,368	809,62	1627,56	0,0101468	0,04962	0,000503	0,000363	1,8E-05
10	1627,55815	817,99	5,588	812,4	815,156	0,0067761	0,033136	0,000225	0,000246	8,143E-06
11	815,156099	817,99	2,799	815,19	-0,0352	0,0033938	0,016596	5,63E-05	0,000151	2,508E-06
Suma	49117,315		168,6			-0,05336		-0,0089		0,0021998

Wysokość karnych odsetek wynosi

-817,99*0,1336/12=9,08

Nowa rata placona przez kredytobiorce wyniesie:

-817,99+9,08=826,66

Zysk dla kredytodawcy:

-Bank nie tworzy rezerwy celowej, ponieważ opóźnienie wynosi tylko 1 miesiac, wiec r_i=0

-Kredytobiorca nie splaca 4 raty, która wynosi 795,48=l_i

-zysk dla kredytodawcy- wartości znajdują się w powyższej tabeli

-Odsetki I_i od raty 4 do 11 sa powiekszone o kwote 9,08

Ryzyko dla kredytodawcy:

-z_sr=-0,0089

-Var(Z)=0,0021998

=0,0469=4,69%

Ryzyko mierzone odchyleniem standardowym S wynosi 4,69%.

Zadanie 2

OBLIGACJE:

A : 3-letnia

P=4,52%

Obligacja wypłaca kupony co pół roku w wysokości Pa= 4,52

N = 100 zł

r52 = 4,21% na dzień 18.12.2006

B: 2-letnia

Obligacja wypłaca kupony raz w roku w wysokości r52= 4,21

N = 100 zł

Wibor 6M=4,30%- dane z 07.01.2008

Rentowność = WIBOR 6M - ½ p% = 2x4,30% - ½ x 4,52% = 6,34%

Portfele:

P1 = (Xa = 0,4; Xb) ; P2 = (Xa; Xb = q) ; q ( 0;1 ).

Xb = 0,76

P1 = (Xa = 0,4; Xb) ; P2 = (Xa; 0,76)

Obliczam duration portfeli P1 oraz P2, korzystając ze wzoru:

,

Gdzie:

P - wartość bieżąca obligacji,

YTM - stopa dochodu w okresie do wykupu,

C_t - dochód z tytułu posiadania obligacji w t-tym okresie,

m - liczba płatności odsetek w ciągu roku,

n - liczba okresów do terminu wykupu obligacji

D - średni termin wykupu obligacji (duration),

1. obliczam P - wartość bieżącą obligacji korzystając ze wzoru:

Obligacja A

Przepływy pieniężne obligacji A; jest to obligacja 3letnia; symbol t oznacza kolejne półrocza

Okres (półrocza)	Przepływy gotówkowe	Wspólczynnik dyskonta	Obecna wartość przepływów gotówkowych	t x PVCF
1	4,52	0,95958239	4,337312402	4,337312402
2	4,52	0,920798363	4,162008599	8,324017199
3	4,52	0,883581893	3,993790158	11,98137047
4	4,52	0,847869625	3,832370704	15,32948282
5	4,52	0,813600761	3,677475438	18,38737719
6	104,52	0,780716962	81,6005369	489,6032214
	PV=		101,6034942	547,9627815

Wartość bieżąca obligacji A to: 101,6

Duracja obligacji A:

=547,9627815/101,6034942=5,39 - duracja mierzona w półroczach

mierzona w latach wynosi- 5,38/2=2,69

Obligacja B

Okres (lata)	Przepływy gotówkowe	Wspólczynnik dyskonta	Obecna wartość przepływów gotówkowych	t x PVCF
1	6,34	0,95958239	6,083752351	6,083752351
2	106,34	0,920798363	97,91769789	195,8353958
	PV=		104,0014502	201,9191481

Wartość bieżąca obligacji B to: 104

Duracja obligacji B:

- roczna=201,9191481/104,0014502=1,94

Obliczam durację portfeli P1 i P2 według wzoru: D_P =

P1 = (Xa = 0,4; Xb) ; P2 = (Xa; Xb=0,7)

Dla P1:

D_p=0,4*2,69+0,6*1,94=2,24

Dla P2:

D_p=0,3*2,69+0,6*1,94=1,97

Inwestor, który ma portfel P1, otrzyma kapitał i odsetki po 2,24 roku, zaś inwestor, który ma portfel P2 otrzyma kapitał i odsetki po 1,97 roku.

Obliczam convexity obligacji korzystając ze wzoru:

Gdzie:

C - wypukłość (convexity).

Pozostałe symbole j.w.

Okres (półrocza)	(t(t+1) x CF)/(1,042)^(t)
1	8,6756238
2	24,97780365
3	47,94204155
4	76,68272801
5	110,3878042
6	3429,59137
Suma=	3698,257371

C=3698,25/48,75=75,85 - półroczne

Roczne C= 37,92767

Convexity dla Obligacji A wynosi 37,927

Obligacja B:

Okres (lata)	(t(t+1) x CF)/(1,064)^(t)
1	11,9240173
2	564,2279481
suma=	576,1519654

C=576,151/48,89=11,78879

Większą wypukłość ma obligacja A.

Konstrukcja uodpornionego portfela

Skonstruowanie uodpornionego portfela polega na znalezieniu takich wartościowych udziałów poszczególnych obligacji, że duracja portfela
jest równa okresowi po którym portfel ma osiągnąć pewną określoną wartość, czyli dwóm latom.

(2 lata - horyzont czasowy)

2,69X_a+1,94(1- X_a)=2

0,75X_a=0,06

X_a=0,08

Oznacza to, ze portfel uodporniony składa się w 8% z obligacji A i w 92% z obligacji B.

Wartość portfela po 2 latach ma wynosić 10 mln PLN. Obliczam wartość bieżącą portfela

PV = FV/(1+r₅₂)^t

Założono ponadto, że średnia oczekiwana stopa rentowności do wykupu jest równa rentowności 52 - tygodniowych bonów skarbowych (4,21%)

PV= 9208337,07 PLN

Należy kupić obligacje za 9208337,07 zł, według przyjętego udziału. Struktura portfela immunizowanego będzie wyglądać następująco:

Q =

Obligacja A= 7366 sztuk

Obligacja B= 84716 sztuk

d)

rentowność obligacji A wzrosla o p%, czyli o 4,52% w drugim roku.

Spowodowalo to zmiane duracji obligacji A

Duracja A= 1,82

Duracja B=1,95

Rozwiązujemy układ równań

X_a+X_b=1

1,82*X_a+1,95*X_b=1

1,82X_a+1,95(1- X_a)=1

0,13 X_a=0,95

X_a=7,3

To oznacza ze w portfelu powinniśmy mieć tylko obligacje A.

Zarządzając portfelem należy sprzedac wszystkie obligacje B i zakupic za ich wartość obligacje A.

W portfelu powinno być:

Obligacja A-92082 sztuki

Obligacja B- 0 sztuk

9

---