WARTOSC LOGICZNA ( PRAWDZIWOSC lub FALSZYWOSC ) zdania zlozonego, zbudowanego ze zdan prostych, wylacznie poprzez uzycie do tego celu spojnikow:  ,  ,  ,   , ~ , zalezy od miejsca ich wystepowania w schemacie zdaniowym oraz wartosci logicznej ( 1 = prawda lub 0 = falsz ), zdan skladowych.  Zaleznosc ta jest ujeta w tabele, tzw. MATRYCE LOGICZNE - logika "wymaga" by wkuc kazda matryca logiczna na pamiec, na tej samej zasadzie, na ktorej matematyka "wymaga" wkucia na pamiec TABLICZKI MNOZENIA ...

ZAWSZE !!! CALE ZDANIE SKLADAJACE SIE Z DWOCH ZDAN PROSTYCH , GDZIE :
p	q	p   q		W KONIUNKCJI :
1	1	1			"p" jest prawdziwe, "q" jest prawdziwe daje PRAWDE
1	0	0			"p" jest prawdziwe, "q" jest falszywe daje FALSZ
0	1	0			"p" jest falszywe, "q" jest prawdziwe daje FALSZ
0	0	0			"p" jest falszywe, "q" jest falszywe daje FALSZ
p	q	p   q		W ALTERNATYWIE :
1	1	1			"p" jest prawdziwe, "q" jest prawdziwe daje PRAWDE
1	0	1			"p" jest prawdziwe, "q" jest falszywe daje PRAWDE
0	1	1			"p" jest falszywe, "q" jest prawdziwe daje PRAWDE
0	0	0			"p" jest falszywe, "q" jest falszywe daje FALSZ
p	q	p   q		W IMPLIKACJI :
1	1	1			"p" jest prawdziwe, "q" jest prawdziwe daje PRAWDE
1	0	0			"p" jest prawdziwe, "q" jest falszywe daje FALSZ
0	1	1			"p" jest falszywe, "q" jest prawdziwe daje PRAWDE
0	0	1			"p" jest falszywe, "q" jest falszywe daje PRAWDE
p	q	p   q		W ROWNOWAZNOSCI :
1	1	1			"p" jest prawdziwe, "q" jest prawdziwe daje PRAWDE
1	0	0			"p" jest prawdziwe, "q" jest falszywe daje FALSZ
0	1	0			"p" jest falszywe, "q" jest prawdziwe daje FALSZ
0	0	1			"p" jest falszywe, "q" jest falszywe daje PRAWDE
p		~ p		W NEGACJI :
1		0			"p" jest prawdziwe, daje FALSZ
0		1			"p" jest falszywe, daje PRAWDE

Zatem dobrze widac, ze kazda matryca ma stosowne sobie wartosci logiczne (0 lub 1), zalezne od tego czy wystepuj±ce w niej poszczegolne zdania skladowe sa falszywe, czy tez prawdziwe.


UWAGA! Wystepowanie trzech lub wiecej zdan skladowych powoduje zwiekszenie ilosci kombinacji ich mozliwych wartosci logicznych. Dla przykładu:

Kombinacja 1: p = 1, q = 1, r = 1;
Kombinacja 2: p = 1, q = 1, r = 0;
Kombinacja 3: p = 1, q = 0, r = 0;
Kombinacja 4: p = 0, q = 0, r = 0;
Kombinacja 5: p = 0, q = 0, r = 1;
Kombinacja 6: p = 0, q = 1, r = 1;
Kombinacja 7: p = 1, q = 0, r = 1;
Kombinacja 8: p = 0, q = 1, r = 0.

Jak widac przy trzech zdaniach skladowych jest 8 kombinacji, zgodnie z zasada, że: Ilosc kombinacji = 2ⁿ
(“n” jest cyfra okreslajaca ilosc zdan skladowych). Przy czterech zdaniach skladowych ilosc kombinacji podstawien wynosi 2⁴ czyli 16. Przy czterech zdaniach skladowych ilosc kombinacji podstawien wynosi 2⁵czyli 32... PAMIETAJ !

CWICZENIE 4 I Pierwsze cwiczenie w rozdziale nr 2 I

Pobawimy sie teraz ze sprawdzaniem wartosci logicznej podanych schematow, co pozwoli nam nabrac wprawy w tej dziedzinie : 


1. “p” i “q” sa zdaniami prawdziwymi: p = 1; q = 1

a)

(p		q)		p
1	1	1	1	1

Oto kolejne kroki, ktore wypada w tej chwili poczynic:

- podpisz pod literami “p” i “q” cyfre 1, gdyz wiemy, ze oba zdania sa prawdziwe;

- nastepnie sprawdz w matrycy logicznej jaka wartosc logiczna ma alternatywa dwoch jedynek (okaze sie, ze to takze jedynka, ktora dla ulatwienia sobie dzialania podpiszemy pod symbolem alternatywy). 

- kolejnym krokiem jest sprawdzenie w matrycy jaka wartosc ma glowny spojnik schematu - implikacja dwoch jedynek - calego okraglego nawiasu oraz tej, ktora jest pod litera “p” z prawej strony. Okaze sie, ze znow jest to jedynka, ktora podpisujemy w schemacie pod symbolem implikacji, podkreslajac ja;

- teraz juz wiemy, ze caly schemat, ktory w uproszczeniu wyglada tak : 

(w lewej kopercie mamy to, co jest w nawiasie okraglym “ p 
 q ”, w prawej kopercie natomiast “p”), ma wartosc “1”, czyli jest prawdziwy.
_____

b)

p		(q		p)
1	1	1	1	1

Tu sytuacja ma sie podobnie. Podpisalismy jedynki pod literami, sprawdzilismy, ze koniunkcja dwoch jedynek wynosi 1, nastepnie odkrylismy, iz glowny funktor -implikacja dwoch jedynek jest takze jedynka, co pozwolilo nam dowiedziec sie, ze caly nasz schemat, ktory w uproszczonej postaci przedstawia sie nastepujaco : 

( w lewej kopercie mamy “p”, w prawej natomiast “q 
 p”), jest prawda - jedynka.
_____

c)

(~	p)		[~	(q		p)]
0	1	1	0	1	1	1

W tym przypadku kroki sa nastepujace :

- podpisanie jedynek pod kazda z liter;

- sprawdzenie koniunkcji dwoch jedynek z nawiasu okraglego (jest to jedynka ); 

- sprawdzenie negacji p i ( q 
 p ) - (w obu przypadkach jest to zero);

- upewnienie sie, ze implikacja (dwoch zer, bo to wlasnie one biora w niej udzial) - glownego spojnika schematu, wynosi 1 (podkreslenie). 

Schemat powyzszy wyglada w uproszczeniu tak :

(w lewej kopercie mamy “p” - negacja wyznacza jej wartosc logiczna , w prawej zas “(q 
 p)” - tu takze negacja wyznacza jej wartosc logiczna).
_____

d)

[(~	q)		q]		p
0	1	1	1	1	1

Sytuacja przedstawia sie analogicznie do poprzedniego schematu. Podstawiamy jedynki pod litery, nastepnie otrzymujemy 0 po zanegowaniu “q”, w dalszej kolejnosci sprawdzilismy, ze implikacja (ta w kwadratowym nawiasie), dla przypadku “0 
1” daje jedynke, aby ostatecznie dojsc do wniosku, ze caly schemat jest prawdziwy, gdyz jego glowny spojnik - takze implikacja, w wypadku “1 
 1” jest jedynka. Schemat ten w uproszczeniu wyglada tak : 

(w lewej kopercie znajduje sie maly schemacik “[(~q) 
 q ]”, ktorego glownym spojnikiem jest implikacja, w prawej “p”). 

- - - - -

2. “p” jest prawdziwe, natomiast "q" jest falszywe: p = 1; q = 0


a)

(p		q)		p
1	1	0	1	1

Pod “p” podpisujemy “1”, gdyz wiemy, ze zdanie to jest prawdziwe. Pod “q” podpisujemy “0”, gdyz jest to zdanie falszywe. Sprawdzamy w naszej pamieci (UWAGA! Nie powstala dotad na tej planecie lepsza metoda opanowania matryc logicznych, niz “dokladne wykucie ich w twardym dysku, ktory kazdy z nas nosi pod wlasna czupryna”. Jest to czynnosc jak najbardziej mozliwa do wykonania i pojdzie tym szybciej, im pozytywniejsze jest nasze nastawienie do niej. Pewnym ulatwieniem jest tu potraktowanie :

- KONIUNKCJA jako ILOCZYN, gdzie : 

p	q	p x q
1	1	1
1	0	0
0	1	0
0	0	0

- ALTERNATYWA jako SUMA, gdzie :

p	q	p + q
1	1	1
1	0	1
0	1	1
0	0	0

Opanowanie matryc w logice jest tym, czym alfabetu w nauce pisania. Znajomosc jednego i drugiego poprostu ulatwia Zycie. PAMIETAJ !), jaka wartosc ma alternatywa “1 
 0” i wpisujemy “1”. Dalej interesuje nas wartosc logiczna implikacji dwoch jedynek, przez co znow udajemy sie w krotka podroz w glab wlasnego umyslu, przynoszac stamtad wiadomosc, ze jest to “1”. Tak oto nasz schemat jest prawda logiczna, bo ma wartosc “1”. 

---