SZEREGI LICZBOWE (c.d.)

TWIERDZENIE 16.1 (KRYTERIUM D'ALAMBERTA)

Z:

T:

1. Jeżeli
   to
   - zbieżny

2. Jeżeli
   to
   - rozbieżny

3. Jeżeli
   - przypadek wątpliwy (tzn. kryterium nie rozstrzyga czy
   jest zbieżny czy rozbieżny).

Dowód:

Ad.1.

Niech g < r < 1. Z faktu, że

W szczególności nierówność będzie prawdziwa dla:

n=n₀:
, co jest równoważne, że

:

…………………………………………

:
(1)

Weźmy pod uwagę szereg:
(szereg geometryczny zbieżny). (2)

Z (1) i (2) wynika, na podstawie I kryterium porównawczego,

że
jest zbieżny. (3)

Zauważmy, że
(4)

Z (3) i (4) wynika, że
jest zbieżny.

Ad. 2.

Niech 1 < s < g

Z faktu, że

W szczególności dla:

n=n₁:

n=n₁+1:

Tak samo postępując dla n=n₁+k:
, co zachodzi dla każdego k∈N. (1)

Zauważmy, że
- szereg geometryczny rozbieżny. (2)

Z (1) i (2) wynika, że
- rozbieżny

Ad. 3.

Wystarczy wskazać 2 przykłady, takie, że:

a)
- rozbieżny

c)
- zbieżny

- trzeba więc szukać innego kryterium.

Z dowodu TW. 10.1 wynika:

WNIOSEK 16.1

Z:

T:

Weźmy
,

1. 
   
   
   
   - zbieżny

2. 
   
   
   
   - rozbieżny

Uwaga!

1. Wystarczy żeby założenia z TW.16.1 i WN.16.1 były spełnione począwszy od pewnego n₀.

2. Jeżeli
   to:
   - zbieżny,

jeżeli
- przypadek wątpliwy.

Więcej przykładów kryteriów porównawczych można znaleźć w książce Fichtenholtz'a

„Analiza matematyczna i rachunek różniczkowy”

TWIERDZENIE 16.2 (KRYTERIUM CAUCHY'EGO)

Z:

T:

1. Jeżeli
   - zbieżny

2. Jeżeli
   - rozbieżny

3. Jeżeli
   - przypadek wątpliwy

Dowód:

Ad.1. Niech g < r < 1

(1)

- szereg geometryczny zbieżny (2)

Z (1) i (2)
- zbieżny (I kryterium porównawcze).

Ad.2.

,

zatem
- rozbieżny.

Ad. 3.

a)
- rozbieżny i

-kryterium porównawcze nie rozwiązuje problemu.

b)
- zbieżny i

PRZYKŁAD 16.1

Niech
. Zbadać zbieżność
.

Rozwiązanie:

Podejrzewamy, że mianownik jest na tyle większy od licznika, że podany szereg jest zbieżny.

,
(1)

Z kryterium d'Alamberta
- zbieżny. (2)

Z (1) i (2)
- zbieżny (I kryterium porównawcze).

TWIERDZENIE 16.3 (KRYTERIUM CAŁKOWE)

Z:
,

f - ciągła i malejąca

Niech
,
,

T:
- zbieżny
- zbieżna.

Szereg i całka są jednocześnie zbieżne lub jednocześnie rozbieżne.

Dowód:

Zauważmy, że przedział [k,k+1] ma długość 1.

Czyli

W szczególności dla:

k=m₀:

k=m₀+1:

ogólnie dla k=m₀+n:

Sumujemy nierówności stronami:

a)
- zbieżna

Na podstawie nierówności (1)
- zbieżny
- zbieżny

b)
- rozbieżna

Stąd jeżeli (1) dąży do nieskończoności to (2) szybciej dąży do nieskończoności, więc:

- rozbieżny

Dowód:

a) [
- zbieżna
- zbieżny]
[
- rozbieżny
-rozb.]

b)
- rozbieżna
- rozb.]
[
- zbieżny
- zbieżna]

PRZYKŁAD 16.2

Zbadać zbieżność następującego szeregu:
.

Rozwiązanie:

, n≥2

- malejąca dla x≥2

Są spełnione założenia kryterium całkowego. Przy badaniu za pomocą kryterium porównawczego i d'Alamberta granica przyjmuje wartość 1, więc powyższe kryteria nie rozstrzygną tego przypadku.

WNIOSEK: Całka rozbieżna
- rozbieżny.

Wszystkie dotychczasowe kryteria dotyczyły szeregów o wyrazach nieujemnych.

DEFINICJA 16.1 (SZEREG ZNAKOZMIENNY)

Jeżeli
, to
- szereg znakozmienny.

DEFINICJA 16.2 (SZEREG NAPRZEMIENNY)

Jeżeli

malejący i zmierzający do 0, to szereg
- jest naprzemienny.

TWIERDZENIE 16.4 (KRYTERIUM LEIBNITZA)

Każdy szereg naprzemienny jest zbieżny.

Dowód:

Rozważmy ciąg
(podciąg ciągu
). Pokażemy, że ma granicę skończoną. Weźmiemy ciąg
i pokażemy, że również ma granicę skończoną. Na końcu pokażemy, że obie granice są równe.

1. 
   

(czyli jest ograniczony od dołu).

Tak więc ciąg
jest malejący i ograniczony od dołu

2)

- rosnący i ograniczony od góry

Skoro każdy z nich posiada granicę skończoną, to różnica również będzie mieć granicę:

6

- rozbieżny

0 g r 1

0 1 s g

0 g r 1

m₀ k k+1 x

y

f(k)

f(k+1)

(1) (2)

≥0 ≥0

≥0

---