z

WYKŁAD 19

Podczas tego wykładu zakładamy :

DEFINICJA 19.1 (FUNKCJE ANALITYCZNE)

Niech:
- obszar

Funkcja f jest analityczna na Ω

Co oznacza, że funkcja jest analityczna jeżeli lokalnie daje się rozwinąć w szereg potęgowy.

UWAGA:

Nie jest istotne, czy funkcja jest rozwijalna w ten sam szereg potęgowy na całym Ω

PRZYKŁAD 19.1

Niech
,

Ze wzoru Maclaurina:

;
0<θ<1

1)

Sprawdźmy czy: 2)

Bezpośrednie sprawdzenie czy zachodzi 2) może okazać się trudne, ale możemy sprawdzić czy szereg
jest zbieżny, gdyż jego zbieżność implikuje 2)

dla wszystkich

Zatem 2) jest prawdziwe.

Wobec 1) i 2)
jest równe sumie swego rozwinięcia

DEFINICJA 19.2 (EKSPONENTA)

Niech

UWAGA:

Jeśli z jest rzeczywiste eksponenta jest identyczna z
. Można więc traktować powyższą definicję jako rozszerzenie funkcji
na ciało liczb zespolonych. Powyższa uwaga dotyczy wszystkich zdefiniowanych dalej funkcji.

PRZYKŁAD 19.2

Niech
.

Analogicznie jak w przykładzie 19.1

;

Ponieważ
jest ograniczone więc

dla
.

Rozumując podobnie jak w przykładzie 19.1 stwierdzamy, że:

DEFINICJA 19.3 (FUNKCJA SINUS)

Niech

PRZYKŁAD 19.3

Niech
.

Analogicznie jak w przykładzie 19.1

;

Wszystko co stwierdziliśmy dla reszty występującej we wzorze Maclaurina dla funkcji sinus pozostaje prawdą, zatem

dla
.

DEFINICJA 19.4 (funkcja cosinus)

Niech

TWIERDZENIE 19.1 (WŁASNOŚCI FUNKCJI EXP, SIN, COS

W CIELE LICZB ZESPOLONYCH)

1. Funkcje exp, sin, cos są klasy
   w ciele liczb zespolonych

2. 
   

3. 
   

4. 
   

5. 
   

6. 
   

7. 
   

8. 
   

9. 
   

10. 
    

11. 
    

Dowód:

Ad. 1)

Wynika z faktu, że powyższe funkcje są określone jako sumy szeregów potęgowych klasy
o promieniu zbieżności R=+∞

Ad. 2)

;

gdzie:
- Iloczyn Cauchy'ego szeregów

Zauważmy, że:

Zatem:

Ad. 3)

Ponieważ szereg można różniczkować wyraz po wyrazie w swoim kole zbieżności zatem:

Zmiana dolnego indeksu sumy przy przejściu do szeregu pochodnych jest uzasadniona tym, że pierwszy wyraz przy starym indeksie jest stałą.

Ad. 4) Analogicznie

oraz

Ad. 5)

Ad. 6)

Ad. 7)

Ponieważ ten szereg jest zbieżny bezwzględnie a więc można grupować wyrazy, co w rezultacie daje:

Ad. 8)

.

Dodając lub odejmując obie równości stronami i wyznaczając odpowiednio cos(z) lub sin(z) otrzymamy żądany wynik.

Ad. 9)

Tak samo dowodzimy ad. 10)

Ad. 11)

UWAGA:

Funkcje cosinus i sinus zmiennej zespolonej mogą być większe od jedności (ew. mniejsze od -1). Można to sprawdzić np. dla cos(i) albo sin(π/2-i)

PODSUMOWANIE

Niech K=ℜ

1) W rozwinięciu funkcji w szereg potęgowy korzystamy ze wzorów:

2) Pamiętamy o wzorze
.

Zastosowanie powyższych faktów pokazują kolejne przykłady:

PRZYKŁAD 19.4

W przykładzie tym wykorzystamy 2) oraz pokażemy zastosowanie twierdzenia, które mówi, że:

Jeśli istnieje skończona granica funkcji w punkcie x₀ i szereg potęgowy, w który rozwija się funkcja jest w tym punkcie zbieżny to funkcja jest w x₀ równa sumie swojego rozwinięcia

Wyprowadzimy wzór na rozwinięcie
w otoczeniu 0

Zakładamy

.

Porównując pochodną funkcji z 2) stwierdzamy, że jeśli założymy
i przyjmiemy
to będziemy mogli wnioskować, że

.

Stąd

Powyższą operację mogliśmy wykonać ponieważ szereg potęgowy w kole zbieżności wolno całkować wyraz po wyrazie. Dolna granica całkowania jest po prostu punktem w otoczeniu którego rozwijamy funkcję

Szereg
jest bezwzględnie i niemal jednostajnie zbieżny

w ]-1,1[. Ponieważ założyliśmy
zatem musimy sprawdzić ewentualną zbieżność tylko w punkcie x=1.

Szereg
w punkcie x=1 ma postać
- jest to szereg naprzemienny, zbieżny według kryterium Leibniza. Co więcej
czyli spełnione są warunki cytowanego powyżej twierdzenia czyli funkcja
jest w x=1 równa sumie swojego rozwinięcia. Dowiedliśmy, że:

PRZYKŁAD 19.5

Rozwinąć w szereg potęgowy w otoczeniu x₀=2 funkcję
.

W takim przypadku najłatwiej jest wprowadzić pomocniczą zmienną y

Możemy wtedy sprowadzić funkcję do postaci znanego rozwinięcia
. Mianowicie przy naszych oznaczeniach:

Dokonujemy takiego przekształcenia, aby dostać żądaną postać przy dodatkowym warunku: zmienna „x” musi dążyć do 0 (rozwinięcie
jest słuszne w otoczeniu 0).

Pozostaje nam jeszcze sprawdzić dla jakich x to rozwinięcie jest prawdziwe

---