Kryterium Michajlowa pozwala na wykreslne sprawdzenie stabilnosci ukladu regulacji automatycznej. Rownanie charakterystyczne ukladu zamknietego

(1)

mozna przedstawic w postaci

gdzie s1, s2...sn sa pierwiastkami tego rownania.

Jako zmienna niezalezna s mozemy wybrac miedzy innymi zbior punktow polozonych na osi liczb urojonych wowczas s= jω i lewa strona rownania charatkerystycznego przyjmuje nastepujaca postac

Kazdy z czynnikow jω- sk mozna przedstawic graficznie jako roznice 2 wektorow wektora jω oraz wektora sk przedstawiajacego k-aty pierwiastek rownania charatterystycznego

Funkcje N(jω) jako funkcje zmiennej zespolonej mozna przedstawic w postaci wykladniczej

gdzie

Oznacza modul funkcji N(jω), natomiast

oznacza argument funkcji N(jω)

Zmiana argumentyu kazdego z czynnikow jω-sk przy pulsacji ω zmieniajacej sie od -nieskonczonosc do +nieskonczonosc wynosi +pi dla pierwiastka sk polozonego w lewej polplaszczyzniej oraz -pi dla pierwiastka sk polozonego w prawej polplaszczyznie plaszczyzny zmiennej zespolonej s

Jezeli przyjmiemy ze z posrod n pierwiastko rownania charakterystycznego n-m pierwiastkow znajduje sie w lewej polplaszczyznie a m pierwiastkow w prawej to zmiana argumentu N(jω) przy mianie ω -nieskonczonosc do + nieskonczonosc wyniesie

Poniewaz warunkiem stabilnosci Re(sk) <0 jets aby wszytkie pierwiastki rownania charaklterystycznego mialy ujene czesci rzeczywiste uklad bedize wiec stabilny jezeli m=0 tzn jeseli

warunek ten mozna uproscic jezeli wykazemy ze N(jω) jest krzywa symetryczna wzgledem osi liczb rzeczywistych. Podstawiajac w rownaniu (1) s=jω zapiszemy lewa strone w postaci

czesci rzeczywista i urojona N(jω) wynosza

mamy zatem

oraz

Kryterium Michajłowa mozna sformuowac ostatecznie : uklad regulacji automatycznej jest stabilny wtedy i tylko wtedy gdy zmiana argumentu krzywej N(jω) przy zmianie pulscaji od 0 do +nieskonczonosci wynosi n*pi/2 gdzie n- stopien rownania charakterystycznego

Krzywa N(jω) nazywa sie krzywa charatkerystyczna lub hodografem Michajlowa.

---