A. Boole'a M=({0,1},∨,∧,~) KRZ Ukł. (A,+,*,-,1,0) jest algebrą Boole'a <=> (A,+,*) jest kratą rozdzielczą (A,+,*) jest kratą (A,+) jest półstrukturą addytywną ∀x∈A x+x=x idempotentność ∀x,y∈A x+y=y+x przemienność ∀x,y,z∈A x+(y+z)=(x+y)+z łączność (A,*) jest półstrukturą multiplikatywną ∀x∈A x*x=x idempotentność ∀x,y∈A x*y=y*x przemienność ∀x,y,z∈A x*(y*z)=(x*y)*z łączność ∀x,y∈A x(x+y)=x x+(xy)=x pr. Pochłaniania ∀x,y,z∈A x(y+z)=xy+xz pr. rozdzielności ∀x,y,z∈A x+(yz)=(x+y)(x+z) pr. rozdzielności x*1=x x+1=1 x+(-x)=1 x*0=0 x+0=x x*(-x)=0 Własności Algebry Bool'a ∀x,y∈A y=0 i x+y=1 => x=-y -1=0 -0=1 -(-x)=x x=y =>-x=-y (kontrapozycja) -(xy)= (-x) + (-y) pr. De Morgana -(x+y)=(-x) * (-y) Zb T jest najmn. zb. spełniającym poniższe warunki (A1) A→(B→A)∈T (A2) [A→(B→C)]→[(A→B)→(A→C)]∈T (A3) A∧B→A∈T (A4) A∧B→B∈T (A5) A→(B→ A∧B)∈T (A6) A → A B €T (A7) B→ A €T (A8) (A→C) → [(B→C) →(A→C] €T (A9) (~A→B) →[(~A→~B) →A] aksjomat. nieefektywny (A9) ↔ (A9.1) (A→B) →[(A→~B) →~A] €T (A9.2) ~A→(A→B) €T (A9.3) ~~A→A zasada wyłącznego środka ((A1-A8), (A9.1),RO) IRZ intuicjonistyczny RZ ((A1-A8) RO) logika pozytywna AKSJOMATYKA ŁUKASIEWICZA (Ł1) (A→B) → [(B→C) →(A→C)] €T (Ł2) (~A→A) → A €T (Ł3) A→(~A→B) €T (RO) A,A→B∈T=>B∈T ((Ł1)-(Ł3),RO) ≡ KRZ

Logicy starożytni: 1. Zenon z Elei 2. Sokrates 3. szkoła megarejska (Euklides z Megary) 4. Arystoteles 5. Euklides Matematyk (z Aleksandrii) 6. Stoicy Struktura Algebraiczna (A,h1^i1,...,hk^ik) jest str. <=> A≠∅ niepusty zb zwany uniwersum ∀j=1..k hj^ij, A^ij -> A jest ij argumentowym dział. wewn. A Funkcja konsekwencji logicznej F- zb formuł; P(F) - zb potęg Cn: P(F)⊃X →Cn(X)⊂P(F) ∀A∈X A∈Cn(X)<=> ∃ n∈N ∃ A1...An∈F An=A oraz ∀ i ≤n Ai∈TuX lub ∃ j,k <i Aj=Ak→Ai własnosci Cn: 1) X C Cn(x) 2)T = Cn(T)=Cn(≠ na gruncie zał. T da się dowieść tyle samo co na zb.  3) XCY => Cn(x)C Cn(y) im wiecej założe tym więcej mogę udowodnić 4) Cn(X) u Cn(Y) ⊂ Cn(XuY) 5) Cn (Cn(x)) C Cn(x) 6) Cn(x) jest zamknięty na RO A ∈ Cn(X), A→B∈Cn(X) => B∈Cn(X) 7) Cn({A∨B})= Cn({A}) ∧ Cn({B}) 8) Cn({A∧B})= Cn({A,B}) 9) Cn({A}) ∧ Cn({~A})= Cn() (nic sie nie da dowiesc) 10) Cn({A,~A})=F (wszystko da sie dowiesc) TDW Jeżeli B∈Cn(Xu A1, ... AN}, TO A1 →(A2 →…→(AN →B)…) € Cn(x) TDN Jeżeli C, ~C € Cn (Xu A1, ... AN , ~B}), TO A1 →(A2 →…→(AN →B)…) € Cn(x) Problem pełności KRZ T = E(M) ⊂ tw o trafności aksjomatyzacji (kazde tw jest prawdziwe) ⊃ tw o pełności (każdą prawde do się dowieść) Klasa równoważnościowa <=> S zwrotna <->∀x xSx S symetryczna <->∀x,y xSy => ySx S przechodnia <->∀x,y,z xSy ∧ ySz => xSz [x]= {y: xSy} Klasyczna teoria prawdy - Arystoteles Zdanie jest prawdziwe jeśli jest tak jak ono głosi - kłopoty drobne - trudności poważne -antynomie Kłopoty Czy 12.05.1841 był dniem mróżnym? Gdzie? Odpowiedź zależy od pewnej dziedziny, w której rozpatrujemy to zdanie. Czekolada orzechowa jest smaczna. /\ \/ x<y<z x,y€X z€X Zależy od x Kategoria prawdy nie jest absolutna zależy od x. Jest relatywna. Trudności Standardowe antynomie, paradoks logiczny: p∧~p p↔~p Antynomia sematyczna -antynomia wyrazów heterologicznych Wyraz „w” jest heterologiczny <=>gdy „w” nie jest w „w” -wyraz w -stan rzeczy, obiekt realny wyraz „kreda” nie jest kredą - wyraz heterologiczny wyraz „wyraz” jest wyrazem - wyraz NIE heterologiczny wyraz „słowo” jest słowem - wyraz NIE heterologiczny antynomie - odnieść do samej siebie wyraz „heterologiczny” jest heterologiczny <=> „heterologiczny” nie jest heterologiczny

---