Ciągłość funkcji 1


Ciągłość funkcji

Funkcja 0x01 graphic
jest ciągła w punkcie 0x01 graphic
, gdy ;

1) 0x01 graphic
;

2) istnieje 0x01 graphic
;

3) 0x01 graphic
.

1. Zbadać ciągłość funkcji :

a) 0x01 graphic
.

Dziedziną funkcji jest zbiór 0x01 graphic
. Dla 0x01 graphic
funkcję można zapisać wzorem : 0x01 graphic
, która jest ciągła w całej dziedzinie . Zatem zbadamy ciągłość funkcji 0x01 graphic
w punkcie 0x01 graphic
:

0x01 graphic
0x01 graphic
= 0x01 graphic
co oznacza , że funkcja jest ciągła w punkcie 0x01 graphic
, zatem i w zbiorze 0x01 graphic
.

b) 0x01 graphic
.

Mamy : 0x01 graphic
i 0x01 graphic
. Zbadamy teraz istnienie granicy w punkcie 0x01 graphic
. Ponieważ

0x01 graphic
, więc 0x01 graphic
, 0x01 graphic
. Granice jednostronne są różne , więc funkcja nie ma granicy w punkcie 0x01 graphic
, a tym samym podana funkcja nie jest ciągła w punkcie 0x01 graphic
.

2. Określić funkcję tak , aby była ciągła w punkcie 0x01 graphic
:

a) 0x01 graphic
.

0x01 graphic
i 0x01 graphic
= 0x01 graphic
.

Punkt 0x01 graphic
, więc funkcja nie jest ciągła w tym punkcie . Ale 0x01 graphic
. Zatem funkcja określona następująco :

0x01 graphic
= 0x01 graphic
jest ciągła w punkcie 0x01 graphic
.

b) 0x01 graphic
. Dziedziną funkcji jest zbiór 0x01 graphic
. Funkcja ta nie jest ciągła w punkcie 0x01 graphic
, bo nie jest ona określona w tym punkcie . Sprawdzimy istnienie granicy . Ponieważ 0x01 graphic

i 0x01 graphic
, to 0x01 graphic
. Zatem funkcja 0x01 graphic
jest ciągła w punkcie 0x01 graphic
.

c) 0x01 graphic
. 0x01 graphic
= 0x01 graphic
= R\0x01 graphic
.

Funkcja nie jest ciągła w punktach 0x01 graphic
dla 0x01 graphic
. Zauważmy , że 0x01 graphic
. (błąd ! - granica jest liczona w punktach 0x01 graphic
- poprawić - wstawić 0x01 graphic
) !!!

Funkcja określona wzorem : 0x01 graphic
jest ciągła w 0x01 graphic
.

Dla 0x01 graphic
z powyższego otrzymujemy wniosek : funkcja 0x01 graphic
jest ciągła w punkcie 0x01 graphic
.

3. Dla jakiej wartości parametru 0x01 graphic
funkcja jest ciągła w punkcie 0x01 graphic
:

a) 0x01 graphic
, 0x01 graphic
.

Aby funkcja była ciągła w punkcie 0x01 graphic
musi spełniać warunek : 0x01 graphic
. Mamy :

0x01 graphic
, 0x01 graphic

0x01 graphic
.

Zatem dla 0x01 graphic
0x01 graphic
0x01 graphic
funkcja 0x01 graphic
jest ciągła .

b) 0x01 graphic
, 0x01 graphic
.

Mamy :

0x01 graphic
, 0x01 graphic
. Stąd 0x01 graphic
0x01 graphic
0x01 graphic
0x01 graphic
0x01 graphic
lub 0x01 graphic

Zatem dla 0x01 graphic
i dla 0x01 graphic
podana funkcja jest ciągła w punkcie 0x01 graphic
.

4 . Czy następujące funkcje są ciągłe w przedziale 0x01 graphic
?

a) 0x01 graphic
.

Funkcja 0x01 graphic
jest sklejeniem funkcji kwadratowej i liniowej , które są ciągłe jako funkcje elementarne . Zatem funkcja 0x01 graphic
może być nieciągła w punkcie 0x01 graphic
( w punkcie sklejenia ) . Mamy : 0x01 graphic
. Zbadamy istnienie granicy w tym punkcie . Obliczamy granice jednostronne ponieważ po obu stronach punktu 0x01 graphic
funkcja określona jest różnymi wzorami .

0x01 graphic
, 0x01 graphic
. Z równości granic jednostronnych wynika , że funkcja ma granicę i 0x01 graphic
. Widać , że 0x01 graphic
co oznacza , że funkcja jest ciągła w przedziale 0x01 graphic
.

b) 0x01 graphic
.

Badamy ciągłość w punkcie 0x01 graphic
( wyjaśnienie jak wyżej ) .

0x01 graphic
. 0x01 graphic
, 0x01 graphic
. Granice jednostronne są różne więc funkcja nie ma granicy w punkcie 0x01 graphic
, tym samym jest nieciągła w tym punkcie , co dalej oznacza , że jest nieciągła w przedziale 0x01 graphic
.

5 . Wyznaczyć punkty nieciągłości danej funkcji i określić ich rodzaj :

a) 0x01 graphic
.

Funkcja określona jest w przedziale 0x01 graphic
.

` Badamy ciągłość tej funkcji w punktach , w których zmienia się wzór (punkty sklejenia ) . Punktami tymi są 0x01 graphic
i 0x01 graphic
.

W punkcie 0x01 graphic
mamy : 0x01 graphic
. Obliczamy granice jednostronne :

0x01 graphic
; 0x01 graphic
. Granice te są różne co oznacza , że funkcja jest nieciągła w punkcie 0x01 graphic
( bo nie istnieje granica - warunkiem istnienia granicy jest istnienie i równość granic jednostronnych ) . Ponieważ funkcja 0x01 graphic
jest określona w punkcie 0x01 graphic
i granice jednostronne są różne ale skończone , to funkcja ma w tym punkcie nieciągłość I-szego rodzaju - w punkcie 0x01 graphic
jest skok funkcji .

Sprawdzamy teraz warunki ciągłości funkcji w punkcie 0x01 graphic
. Mamy : 0x01 graphic
.

0x01 graphic
, 0x01 graphic
. Ponieważ granice te są różne więc funkcja nie ma w tym punkcie granicy i , zatem , nie jest ciągła . Jest to nieciągłość pierwszego rodzaju typu skok (uzasadnienie jak wyżej ) .

b) 0x01 graphic
.

Sprawdzamy ciągłość funkcji w punktach : 0x01 graphic
, 0x01 graphic
, 0x01 graphic
.

0x01 graphic
0x01 graphic
. 0x01 graphic

0x01 graphic
; 0x01 graphic
0x01 graphic
0x01 graphic
. Ponieważ wartość funkcji w punkcie 0x01 graphic
i granica w tym punkcie są różne , to funkcja jest nieciągła . Jest to nieciągłość pierwszego rodzaju .

0x01 graphic
0x01 graphic
.

0x01 graphic
; 0x01 graphic
, 0x01 graphic
.Granice te są różne więc granica funkcji nie istnieje i stąd funkcja w tym punkcie jest nieciągła . Granice jednostronne są skończone i różne , jest to więc nieciągłość pierwszego rodzaju typu skok .

0x01 graphic
0x01 graphic
.

0x01 graphic
; 0x01 graphic
, 0x01 graphic
. Funkcja jest nieciągła w punkcie 0x01 graphic
, bo nie ma w tym punkcie granicy . Jest to także nieciągłość pierwszego rodzaju .

6 . Jeżeli funkcja 0x01 graphic
określona w przedziale domkniętym 0x01 graphic
jest w nim ciągła i 0x01 graphic
, to istnieje punkt 0x01 graphic
taki , że 0x01 graphic
.

0x01 graphic
, 0x01 graphic
.

Zbadamy ciągłość tej funkcji w punkcie 0x01 graphic
, w którym funkcja zmienia wzór . Mamy 0x01 graphic
i 0x01 graphic
, 0x01 graphic
. Ponieważ granice jednostronne są różne więc nie istnieje granica funkcji w tym punkcie . Oznacza to , że funkcja jest nieciągła w punkcie 0x01 graphic
i tym samym jest nieciągła w przedziale 0x01 graphic
. Stąd wniosek : nie istnieje punkt 0x01 graphic
taki , w którym 0x01 graphic
.

7 . Czy funkcja 0x01 graphic
przybiera wartość 0x01 graphic
wewnątrz przedziału 0x01 graphic
?

Podana funkcja jest ciągła w przedziale 0x01 graphic
jako suma funkcji elementarnych ( które są ciągłe ) .

Korzystamy tu z następującej własności funkcji ciągłych :

Jeżeli funkcja określona w przedziale 0x01 graphic
jest w nim ciągła i przyjmuje w punktach 0x01 graphic
dwie rożne wartości 0x01 graphic
, 0x01 graphic
, to w przedziale 0x01 graphic
0x01 graphic
przyjmuje wszystkie wartości pośrednie , tj. dla każdego 0x01 graphic
zawartego między 0x01 graphic
i 0x01 graphic
istnieje takie 0x01 graphic
, że 0x01 graphic
.

Zauważmy , że 0x01 graphic
, liczba 0x01 graphic
leży między liczbami 1 i 5 , więc istnieje taka liczba 0x01 graphic
, że 0x01 graphic
, tzn. 0x01 graphic
.

3



Wyszukiwarka

Podobne podstrony:
5 Ciagi,granica i ciaglosc funkcji
Granica i ciągłość funkcji
Granica i ciągłość funkcji zadania
Ciągłość funkcji
Matematyka cw5 Granice funkcji Ciaglosc funkcji Asymptoty
granice funkcji ciaglosc funkcji (1)
ciągłość funkcji
8 Zadania do wykladu Granica funkcji Ciaglosc funkcji 1
3 granica i ciaglosci funkcji i Nieznany (2)
Granica i ciągłość funkcji
ciągłość funkcji
GRANICE I CIAGLOSC FUNKCJI, Inżynieria środowiska
Granice i ciaglosc funkcji, IB Nieznany
ciaglosc funkcji, nieciaglosc w punkcie sciaga z matematyki na egzamin ustny
Ciągłość funkcji, SZKOŁA, Matematyka, Matematyka
ciągłość funkcji asymptory ćwiczenia, matematyka sokołowska
7. Ciągłość funkcji
Granica i ciągłość funkcji

więcej podobnych podstron