Def: Funkcji wielu zmiennych

F.W.Z na zbiorze A zawartym w R
nazywamy przyporządkowanie każdemu punktowi ze zbioru A dokładnie jednego punktu ze zbioru B liczby y
R
A
R

y=f(x
….x
)

y=f(x)

x=(x
….x
)

Def: Odległością euklidesową dwóch punktów x i y ze zbioru R
nazywamy wielkość

d
(x,y )=
gdzie x=(x
….x
) , y=(y
….y
).

Def: otoczeniem punktu x

R
o promieniu r nazywamy zbiór

S(x
,r)={x
R
: 0< (x, x
)< r}, czyli

S(x
,r) = 0(x
,r)-{ x
}.

Def: Punkt p
nazywamy punktem skupienia zbioru A jeżeli do dowolnego sąsiedztwa punktu p
należy nieskończenie wiele elementów zbioru A.

Def: Zbiór A
R
nazywamy zbiorem otwartym jeżeli do każdego punktu należącego do zbioru A istnieje otoczenie tego punktu zawarte w A.

Def: Niech f będzie funkcja określonn w zbiorze A
R
. Niech x
będzie punktem skupienia zbioru A. Mówimy, że funkcja f posiada granicę g w skupieniu x
, jeżeli:

(0< d
(x
,x
)<
d
(f(x),g)<
,gdzie
f(x)=g

Def: Funkcja f:X
R gdzie X
, jest ciągła w punkcie x
,jeżeli:

1. jest określona w zbiorze x
   

2. posiada w tym punkcie granice

3. granica funkcji ma być równa wartości tej funkcji w punkcie.
   f(x)=f(x
   )

Def: Niech f:G
Rgdzie G
R
. Niech y=f((x
….x
). Jeżeli istnieje pochodna funkcji f ze względu na zmienną x
gdzie i
{1,2……k}, to nazywamy te pochodną cząstkową funkcji f po zmiennej x
.

Pochodną tą oznaczamy wzorem f
x,

Def: : Niech f:G
Rgdzie G
R
posiada w G pochodne cząstkowe
…
jeżeli pochodne cząstkowe
…
posiadają w punkcie x
pochodną względem x
…x
to pochodne te nazywamy pochodnymi cząstkowymi drugiego rzędu funkcji f w punkcie x
i oznaczamy f

x
x
dla i,j =1….k.

Tw. Schwarza

Jeżeli f: R

R posiada w obszarze G pochodne mieszane drugiego rzędu ciągłe w punkcie x

G to są one równe w tym punkcie.

Def: Minima i maksima noszą nazwe ekstremów lokalnych.

Def: Jeżeli funkcja f(x
….x
) określona w G
R
ma w punkcie p
=(x
…x
)
G ekstremum i istnieją w tym punkcie wszystkie pochodne cząstkowe rzędu pierwszego tej funkcji to są one równe 0 w punkcie p
,tzn.(
)
=0 dla i=1…..k.-Twierdzenie konieczne istnienia ekstremum funkcji wielu zmiennych.

Def: Punkt w którym zachodzą warunki .(
)
=0 dla i=1…..k nosi nazwe punktu stacjonarnego funkcji f.

---