OPIS TEORETYCZNY

TEORIA PASMOWA CIAŁA STAŁEGO

Teoria pasmowa ciała stałego jest naturalną konsekwencją kwantowego modelu budowy atomu. Jak wiadomo w modelu tym stany elektronów w atomie nie są dowolne, lecz określone są przez tzw kwantowe reguły wyboru. Jedną z konsekwencji tej teorii jest to, że jeden poziom energetyczny mogą zajmować nie więcej niż dwa elektrony i to różniące się własnym momentem pędu (spinem). Innymi słowy, nie może zdarzyć się sytuacja, aby więcej niż dwa elektrony miały taką samą energię, a te elektrony, które mają równe energie wirują w przeciwne strony. Mówimy, że dozwolone poziomy energetyczne elektronów są dyskretne, to znaczy, że energie elektronów nie mogą różnić się dowolnie mało, gdyż tylko pewne wartości energii są dla elektronów "udostępnione" przez prawa fizyki . W przypadku ciała stałego struktura energetyczna jest bardziej skomplikowana. Po pierwsze, elektrony oddziaływują nie tylko z jądrem i elektronami własnego atomu lecz znajdują się w polu krystalicznym będącym wypadkową wszystkich oddziaływań jąder i elektronów. W rezultacie dyskretne poziomy energetyczne dozwolone "rozmywają się" tworząc tzw. pasma energetyczne. W ramach takiego pasma elektrony mogą przyjmować praktycznie dowolne wartości energii (oczywiście pod warunkiem, że równocześnie tej samej energii nie przyjmują więcej niż dwa elektrony). Takich pasm energetycznych może być wiele, ale przedzielone są one tzw. pasmami wzbronionymi. Pasma wzbronione, nazywane też przerwami energetycznymi, są to zakresy energii, których elektronom nie wolno zajmować. Na wykresie energetycznym można to przedstawić tak jak poniżej.



Niższe pasma energetyczne są zazwyczaj zapełnione, to znaczy wszystkie możliwe energie tych pasm są wykorzystane przez elektrony. Zatem elektrony z tych pasm nie mogą zmieniać swych energii. Byłoby to możliwe, gdyby w pasmie były jakieś wolne poziomy energetyczne, nie zajęte przez inne elektrony. Taka sytuacja jest możliwa w najwyższych, częsciowo zapełnionych pasmach. Należy jednak zwrócić uwagę, że sytuacja jest różna w zależności od tego, czy omawiane ciało jest przewodnikiem, półprzewodnikiem czy dielektrykiem.

-Dielektryki charakteryzują się tym, że szerokość przerwy energetycznej jest duża, a przy tym wszystkie pasma są w całkowicie zapełnione.

-Przewodniki z kolei mają bardzo wąskie pasma wzbronione tak, że czasami pasma przewodnictwa praktycznie zachodzą na siebie i elektrony z górnych pasm swobodnie mogą zmieniać swoją energię.

-Połprzewodniki charakteryzują się pośrednią wartoscią przerwy energetycznej. Prowadzi to do tego, że część elektronów z najwyższego pasma może przeskoczyć przez pasmo wzbronione do następnego pasma dozwolonego, w którym jest wiele wolnych poziomów i w ramach którego elektron może przemieszczać się już swobodnie. W temperaturze bliskiej zera absolutnego półprzewodnik zachowuje się tak jak izolator, to znaczy ma bardzo dużą oporność. Po prostu wszystkie pasma są zapełnione. Aby elektron mógł przeskoczyć do pasma przewodnictwa musi uzyskać energię wyższą niż szerokość przerwy energetycznej. Najprościej dostarczyć mu tę energię podgrzewając półprzewodnik lub np oswietlając go swiatłem o odpowiednio dużej energii kwantów.
Warto jeszcze omówić mechanizm przewodzenia prądu na gruncie teorii pasmowej. Gdy przykładamy do przewodnika bądź półprzewodnika napięcie, elektrony są przyspieszane polem elektrycznym, pobierajac od tego pola energię, co na wykresie energetycznym przedstawić można jako przemieszczanie się elektronu ku górze w obrębie pasma. Taką możliwość mają oczywiście tylko elektrony z pasma przewodnictwa, bo pasma walencyjne są zapełnione. W którymś momencie elektron ulega oczywiście rozproszeniu, zderząjac się z jonem sieci krystalicznej. Traci przy tym energię, czyli "spada" na dół pasma, skąd znowu może być przyspieszany itd. Energię od pola elektrycznego elektron pobiera w spósob ciągły, dlatego może się dzięki niej przemieszczać w ramach pasma, a nie może przeskoczyć do następnego pasma, gdyż to wymaga dużej porcji energii (większej niż szerokość pasma).

Większość metali jest dobrymi przewodnikami prądu, co oznacza, że część elektronów jest słabo związana z jonami sieci krystalicznej i może swobodnie przemieszczać się w metalu (tzw. elektrony swobodne). Na gruncie teorii pasmowej oznacza to, że w paśmie przewodnictwa znajduje się w normalnych warunkach duża ilość elektronów, a odległość od najbliższego pasma walencyjnego (przerwa energetyczna) jest niewielka, co umożliwia elektronom stałe "zasilanie" pasma przewodnictwa. Jednak mimo to, że elektrony te są "swobodne" w obrębie danego metalu, nie oznacza to wcale , iż mogą łatwo wydostać się na zewnątrz metalu. Znajdują się bowiem one w zasięgu działania sił elektrycznych pola krystalicznego wytwarzanego przez jony sieci krystalicznej. Aby więc opuścić ciało, elektron musi posiadać odpowiednio dużą energię do przezwyciężenia tych oddziaływań. Energię tę może uzyskać w rozmaity sposób, na przykład pod wpływem kwantu światła (zjawisko fotoelektryczne), pod wpływem bardzo silnego pola elektrycznego (tzw. efekt polowy), czy też wysokiej temperatury (zjawisko termoemisji). Właśnie ze zjawiskiem termoemisji mamy do czynienia w tym doświadczeniu.
Prąd przepływający przez katodę diody lampowej (we wczesnym stadium rozwoju elektroniki stosowano lampy elektronowe z tzw. bezpośrednio żarzoną katodą i tu właśnie taka lampa jest wykorzystywana) powoduje rozgrzewanie jej do wysokiej temperatury, znacznie powyżej 1000K. Jak wiadomo rozgrzewanie przewodnika spowodowane przepływem prądu wywołane jest rozpraszaniem elektronów na jonach sieci krystalicznej i przekazywaniem im swojej energii kinetycznej. Tak więc temperatura katody zależy od dostarczonej energii elektrycznej. Od tejże energii zależy również energia elektronów, a więc i zdolność ich do odrywania się od katody czyli termoemisja.
Zależność między gęstoścą prądu termoemisji a temperaturą (w skali Kelwina) wyraża wzór Richardsona.


gdzie:
I_n - prąd nasycenia
S - powierzchnia katody
B - stała
A - praca wyjścia z metalu (tu - katody wolframowej)
T - temperatura w skali Kelwina
k - stała Boltzmana

Wzór Richardsona podaje nam zależność między anodowym prądem nasycenia lampy, a temperaturą włókna lampy emitującego elektrony. Scharakteryzujmy najpierw pokrótce pracę takiej lampy. Aby zapoczątkować jej pracę, należy przez włókno jej katody przepuścić prąd o wystarczająco dużym natężeniu (rzędu amperów). Rozżarzone włókno nie tylko świeci (ten efekt nas nie interesuje), ale przede wszystkim emituje elektrony. Elektrony te wylatują z różnymi, przypadkowymi prędkościami tworząc wokół katody chmurę. Ilość elektronów, które opuściły katodę zależy ściśle od temperatury. Po prostu elektrony, które już opuściły metal odpychają inne elektrony, próbujące wyrwać się z elektrody ( ładunek tego samego znaku). Każdy elektron opuszczający katodę, zwiększa wypadkową siłę powstrzymującą następne elektrony. Kolejne elektrony będą opuszczać metal do chwili, gdy energia kinetyczna elektronów w metalu będzie wystarczająca do pokonania pracy wyjścia elektronów z metalu powiększoną o energię potencjalną sił odpychania elektronów w metalu przez chmurę elektronów wokół katody. Podkreślmy to wyraźnie: praca wyjścia z metalu jest oczywiście stała, natomiast energia sił odpychających między elektronami w metalu i na zewnątrz jest tym większa, im więcej elektronów opuściło już katodę. Czyli: gdyby usunąć tę chmurę elektronów tylko praca wyjścia ograniczałaby liczbę elektronów opuszczających metal. Jednak w każdym z tych przypadków po pewnym czasie wytworzy się dynamiczna równowaga i kolejne elektrony przestaną opuszczać katodę. Jeśli w tej sytuacji przyłożymy napięcie między katodę i anodę lampy (plus do anody) to elektrony chmury elektronowej będą pod wpływem tego dodatkowego pola elektrycznego popychane w kierunku anody, powodując przepływ prądu anodowego. (Ten prąd, w odróżnieniu od prądu żarzenia, płynie przez próżnię lampy od anody do katody .) Im większe będzie to napięcie tym więcej elektronów dopłynie w jednostce czasu do anody, czyli tym wiekszy będzie prąd anodowy. Jednak natężenie to nie może rosnąć bez końca. Po prostu w pewnym momencie wszystkie elektrony, które zdołały wyjść z katody będą "porywane" przez pole elektryczne w kierunku anody i dalsze zwiększanie napięcia niczego nie da, gdyż nie ma więcej elektronów. Przedstawia to poniższa charakterystyka, na której odcinek poziomy krzywej odpowiada właśnie temu przypadkowi.Tę maksymalną wartość natężenia prądu anodowego nazywamy prądem nasycenia.


Gdybyśmy rozżarzyli katodę do wyższej temperatury, zwiększając tym samym liczbę emitowanych elektronów, zwiększylibyśmy równocześnie wartość prądu nasycenia (wartość nasycenia osiągana byłaby wówczas przy nieco wyższym napięciu). Rodzinę takich charakterystyk przedstawia rysunek poniżej.

CEL ĆWICZENIA

Celem ćwiczenia jest wyznaczenie pracy wyjścia elektronów z wolframu na podstawie pomiaru anodowego prądu nasycenia bezpośrednio żarzonej diody lampowej. Pracę wyjścia należy wyznaczyć w oparciu o prawo Richardsona.

METODA POMIAROWA

Jeżeli teraz ponownie przyjrzymy się wzorowi Richardsona.


zauważymy, że aby wyznaczyć występującą w wykładniku pracę wyjścia A trzeba jakoś wyznaczyć temperaturę katody T oraz zmierzyć wartość prądu nasycenia I_n, a także znać inne, właściwe dla danego egzemplarza lampy parametry S i B. Ułatwimy sobie zadanie eliminując S i B w nastepujący sposób. Zapiszemy wzór Richardsona w odniesieniu do dwóch różnych temperatur T₁ i T₂.





Podzielimy te równania stronami i zlogarytmujemy, otrzymując po uporządkowaniu .


Wyznaczymy pracę wyjścia: .


Jest to wzór, który posłuży nam bezpośrednio do wyznaczenia pracy wyjścia. W tym celu wyznaczymy cztery charakterystyki prądowo-napięciowe lampy (podobne do tych na powyższych wykresach) odpowiadające czterem różnym temperaturom włókna katody. Te różne temperatury otrzymamy ustalając różne wartości prądu żarzenia I_ż płynącego przez wolframową katodę. Znając tę wartość natężenia prądu żarzenia i mierząc spadek napięcia na katodzie wyznaczymy, korzystając z prawa Ohma, oporność włókna katody w danej temperaturze:


a w oparciu o znajomość oporności wyznaczymy temperaturę włókna. Skorzystamy z zależności oporności przewodników od temperatury: .


gdzie:
R_T - oporność w temperaturze T;
R₀ - oporność w temperaturze T₀ =273K
 - temperaturowy współczynnik oporu (dla wolframu =0,0046 K^-1)
Uwzględniając to, że


otrzymamy :

3

---