WIEiK Grupa 12	Szymon Łukasik	Zespół nr 9	Data wykonania: 23.02.2001
Nr ćwiczenia: 1	Wyznaczanie przyspieszenia ziemskiego za pomocą wahadła prostego.	Ocena:	Podpis:

1.ZASADNICZE INFORMACJE NA TEMAT BŁĘDÓW I NIEPEWNOŚCI POMIAROWYCH

DEFINICJA BŁĘDU I NIEPEWNOŚCI POMIAROWEJ. PRZYCZYNY NIEPEWNOŚCI.

Dokładna wartość wielkości mierzonej nie jest znana. Każdy, nawet najstaranniej wykonany, pomiar obarczony jest niepewnością pomiarową. Wynika to z przypadkowego charakteru pomiarów (niepewności przypadkowe), jak rów­nież ze skończonej dokładności przyrządów (niepewności systematyczne).

Dlatego oprócz wyniku pomiaru musimy podać przedział, w którym znaj­duje się wartość rzeczywista. Połowę szerokości tego przedziału nazywamy niepewnością pomiarową.

Na wynik pomiaru wpływają również błędy, które wynikają z używania niesprawnych przyrządów, niewłaściwego ich stosowania lub z niepoprawnej metody pomiaru. Wyróżniamy błędy systematyczne, które w tych samych warunkach zawsze w ten sam sposób wpływają na wynik pomiaru oraz błędy grube (pomyłki), które można wyeliminować przez staranne wykonywanie pomiarów.

Przykładowe przyczyny niepewności systematycznych: skończona podziałka przyrządu, nieprawidłowość wzorcowania fabrycznego, szeroka wskazówka miernika, drgania wskazówki.

Przykładowe przyczyny niepewności przypadkowych: słaby refleks bądź koncentracja osoby wykonującej doświadczenie, zakłócenia zewnętrzne, szumy generowane w układzie pomiarowym.

OSZACOWANIE NIEPEWNOŚCI DLA POMIARU BEZPOŚREDNIEGO:

Na całkowitą niepewność pomiaru składają się: niepewność systematyczna i niepewność przypadkowa (jeśli jednak jedna z nich jest dominująca przyjmujemy ją jako całkowitą niepewność pomiaru).

a) niepewności przypadkowe:

Miarą niepewności przypadkowej pojedynczego pomiaru x; jest odchy­lenie standardowe pojedynczego pomiaru (odpowiednik odchylenia standar­dowego funkcji Gaussa), zdefiniowane następująco:

Miarą niepewności jaką jest obarczona średnia arytmetyczna (którą przyjmujemy za wartość najbardziej zbliżoną do wartości rzeczywistej) jest odchylenie standardowe średniej arytmetycznej zdefiniowane następująco:

- prawdopodobieństwo, że wartość rzeczywista mieści się w przedziale wynosi 0,683.

- jeżeli liczba pomiarów jest <10 ,należy wymnożyć
przez odpowiadający zadanemu poziomowi ufności wsp. Studenta-Fischera, aby otrzymać wartość
dla danego poziomu ufności

b) niepewności systematyczne:

Całkowitą niepewność systematyczną otrzymujemy sumując niepewności otrzymane w wyniku działania obserwatora i niepewność przyrządu. Najczęściej dominujący wpływ na wyniki w każdej serii pomiarów ma skończona podziałka przyrządu - można wtedy przyjąć, że całkowita niepewność systematyczna jest równa połowie najmniejszej działki przyrządu.

OSZACOWANIE NIEPEWNOŚCI POMIARÓW POŚREDNICH (NIEP. MAKSYMALNA, WZGLĘDNA, PROCENTOWA):

Załóżmy, że wielkość fizyczna y jest funkcją wielkości tzn:

Aby wyznaczyć niepewność pomiaru y i jej wartość najbardziej prawdopodobną należy wyznaczyć średnie oraz odchylenia standardowe . Wartość najbardziej prawdopodobna y jest równa:

Natomiast średnia niepewność kwadratowa (inaczej odchylenie standardowe pomiaru pośredniego lub błąd średni kwadratowy) wielkości y wynosi:

gdzie:

oznacza pochodną cząstkową funkcji f w punkcie

Jeżeli którąś z wielkości wyznaczamy przez pojedynczy pomiar (nie da się więc wyliczyć odpowiadającego jej odchylenia standardowego) korzystamy z metody różniczek zupełnych do wyznaczenia niepewności maksymalnej y (błędu maksymalnego).

Miarą dokładności metody pomiaru jest maksymalna niepewność względna (zwana również błędem względnym) - zdefiniowana jako stosunek niepewności maksymalnej y do wyniku pomiaru y:

Niepewność procentowa wyraża się wzorem:

Dla wzorów postaci:

gdzie A-dowolna stała

bardzo łatwo można obliczyć maksymalną niepewność względną :

(wz. 1)

2. Wprowadzenie do ćwiczenia

Przyspieszenie ziemskie g jest to przyspieszenie ciał spadających swobodnie w polu grawitacyjnym Ziemi (przy braku oporów ruchu).

Z prawa powszechnej grawitacji Newtona można wyliczyć, że na powierzchni Ziemi jego wartość dana jest wzorem:

gdzie G jest stałą grawitacji, a M_Z i R_Z są odpowiednio masą i promieniem Ziemi. Zatem na biegunach gdzie promień naszej planety jest najmniejszy, będzie ono miało największą wartość. Na wartość przyspieszenia wpływa również ruch obrotowy Ziemi - związane z nim przyspieszenie odśrodkowe zmniejsza mierzone przyspieszenie ziemskie na wszystkich szerokościach geograficznych poza biegunami. Oczywiście wartość przyspieszenia ziemskiego maleje wraz z wysokością nad powierzchnią Ziemi.

3. Metoda pomiaru

Przyspieszenie ziemskie wyznaczymy za pomocą wahadła prostego. Wahadło proste jest to mała kulka (zwykle metalowa) zawieszona na nierozciągliwej i lekkiej nici, której ciężar możemy zaniedbać. Kulka ma masę równą m i średnicę równą d natomiast nić ma długość l.

Wychylona z położenia równowagi i swobodnie puszczona kulka wykonuje ruch drgający prosty.

Na masę m działa siła ciężkości Q= mg , którą możemy rozłożyć na składowe F₁ i F₂. Ruch wahadła odbywa się pod wpływem siły:

Przy wychyleniu o małe kąty (przyjmując kąt
< 5^o ) można z dostatecznie dobrym przybliżeniem traktować ruch kulki jako ruch harmoniczny prosty i przyjąć że:

a ponieważ wtedy:

;
gdzie x-odległość kulki w poziomie od położenia równowagi

więc siła powodująca ruch kulki wyraża się wzorem:

czyli
określa stałą k w równaniu: F= -kx.

II zas. dynamiki Newtona dla kulki ma postać:

gdzie:
;
czyli:

- jest to równanie ruchu Newtona dla kulki

podstawiając
otrzymujemy równanie ruchu harmonicznego:

.

bo

i ostatecznie otrzymujemy:

gdzie l jest długością wahadła

Z powyższego wzoru na okres można wywnioskować że nie zależy on ani od masy kulki m , ani od kąta wychylenia ϕ.

Czyli:

(wz. 2)

Z tego wzoru można wyliczyć wartość przyspieszenia ziemskiego - mając wyznaczone doświadczalnie okres drgań i długość wahadła (jednak podany wzór jest słuszny dla drgań o bardzo małej amplitudzie więc tylko takie drgania należy wziąć pod uwagę).

4. Wyniki pomiarów i obliczenia

• Wyniki pomiarów

Lp	10T [s]	l [cm]	d [cm]
1.	18,6	86,3	1,9
2.	18,4	86,5	1,9
3.	18,7	86,2	1,9
4.	18,7	86,3	1,9
5.	18,2
6.	19,0
7.	18,9
8.	18,4
9.	18,6
10.	18,3
	18,580	86,325	1,900

• Obliczenie odchyleń standardowych l,10T,d

1)

2)

3)

n - liczba pomiarów

• Obliczenie niepewności przypadkowych (korzystając z tabeli Studenta-Fischera dla poziomu ufności 0,7)

Wykonano 4 pomiary d i l. Odpowiadający takiej liczbie pomiarów i stopniowi ufności 0,7 wsp. Studenta - Fischera wynosi:

więc:

Wartość 10T została zmierzona 10 razy - odpowiadający wsp. Studenta - Fischera :

• Niepewności systematyczne

Pomiar długości nici l wykonywany był linijką o najmniejszej działce = 1mm więc jako niepewność systematyczną tego pomiaru przyjmujemy połowę tej działki czyli:

Δl=0,05[cm]

Z kolei pomiar średnicy kulki wykonywany był suwmiarką o podziałce = 1mm czyli jako niepewność systematyczną tego pomiaru przyjmujemy:

Δd=0,05[cm]

Czas 10T mierzony był stoperem o podziałce 0,1s więc:

Δ10T=0,05[s]

• Obliczenie niepewności całkowitych d,l,T

Niepewności pomiarowe całkowite są sumą niepewności przypadkowych i systematycznych:

Δl_c=0,047[cm]+0,05[cm]=0,097[cm]

Δd_c=0,0[cm]+0,005[cm]=0,005[cm]

Δ10T_c=0,030[s]+0,05[s]=0,080[s]

a ponieważ:

więc:

ΔT_c=0,0080[s]

• Obliczenie g i błędu pomiarowego Δg

Ponieważ długość wahadła L powinniśmy mierzyć od punktu zaczepienia do środka kulki więc wzór na rzeczywistą wartość L ma postać:

(wz. 3)

,a błąd pomiarowy przy jej wyznaczaniu:

Aby policzyć najbardziej prawdopodobną wartość g należy podstawić za długość wahadła l we wzorze 1 policzone
(wzór 3).

Maksymalna niepewność względna określona wzorem (1) ma postać:

a dla danych zadania maksymalna niepewność względna wynosi:

niepewność procentowa:

1%

a obliczone ze wzorów (1),(3) g:

czyli:

niepewność maksymalna:

więc wynikiem doświadczenia jest otrzymana stała g równa:

5. Wnioski

g zmierzone i wyliczone z ćwiczenia:

g z tablic fizycznych (dla Krakowa):

różnica wynosi:

Tak więc, po porównaniu wartości przyspieszenia ziemskiego zmierzonej w laboratorium i przeze mnie obliczonej, z wartością g z tablic fizycznych, widać, że odchylenie od wartości tablicowej wynosi :

Wartość rzeczywista nie mieści się w oszacowanym maksymalnym błędzie pomiarowym.

Odchylenie od wartości tablicowej jest spowodowane :

• przyjęciem że ruch wahadła jest ruchem harmonicznym

• małą liczbą pomiarów długości nici (tylko 4)

• jej rozciągliwością

• zaniedbaniem oporu powietrza i masy nici

• zaniedbaniem tarcia nici w punkcie zawieszenia kulki

• zaniedbaniem rozmiarów kulki i traktowanie jej jako punktu materialnego (bez uwzględnienia jej momentu bezwładności)

• nie uwzględnieniem faktu, że ruch nie odbywa się dokładnie w jednej płaszczyźnie

• niedokładnością przyrządów pomiarowych lub osób posługujących się nimi

5

10T - 10 okresów drgań

d - średnica kulki

l - długość nici

---