WIiTCh Grupa 15		Zespół nr	Data wykonania:
Nr ćwiczenia: 1	Wyznaczanie przyspieszenia ziemskiego za pomocą wahadła prostego.	Ocena:	Podpis:

1.ZASADNICZE INFORMACJE NA TEMAT BŁĘDÓW I NIEPEWNOŚCI POMIAROWYCH

DEFINICJA BŁĘDU I NIEPEWNOŚCI POMIAROWEJ. PRZYCZYNY NIEPEWNOŚCI.

Dokładna wartość wielkości mierzonej nie jest znana. Każdy, nawet najstaranniej wykonany, pomiar obarczony jest niepewnością pomiarową. Wynika to z przypadkowego charakteru pomiarów (niepewności przypadkowe), jak rów­nież ze skończonej dokładności przyrządów (niepewności systematyczne).

Dlatego oprócz wyniku pomiaru musimy podać przedział, w którym znaj­duje się wartość rzeczywista. Połowę szerokości tego przedziału nazywamy niepewnością pomiarową.

Na wynik pomiaru wpływają również błędy, które wynikają z używania niesprawnych przyrządów, niewłaściwego ich stosowania lub z niepoprawnej metody pomiaru. Wyróżniamy błędy systematyczne, które w tych samych warunkach zawsze w ten sam sposób wpływają na wynik pomiaru oraz błędy grube (pomyłki), które można wyeliminować przez staranne wykonywanie pomiarów.

Przykładowe przyczyny niepewności systematycznych: skończona podziałka przyrządu, nieprawidłowość wzorcowania fabrycznego, szeroka wskazówka miernika, drgania wskazówki.

Przykładowe przyczyny niepewności przypadkowych: słaby refleks bądź koncentracja osoby wykonującej doświadczenie, zakłócenia zewnętrzne, szumy generowane w układzie pomiarowym.

OSZACOWANIE NIEPEWNOŚCI DLA POMIARU BEZPOŚREDNIEGO:

Na całkowitą niepewność pomiaru składają się: niepewność systematyczna i niepewność przypadkowa (jeśli jednak jedna z nich jest dominująca przyjmujemy ją jako całkowitą niepewność pomiaru).

a) niepewności przypadkowe:

Miarą niepewności przypadkowej pojedynczego pomiaru x_i jest odchy­lenie standardowe pojedynczego pomiaru (odpowiednik odchylenia standar­dowego funkcji Gaussa), zdefiniowane następująco:

Miarą niepewności jaką jest obarczona średnia arytmetyczna (którą przyjmujemy za wartość najbardziej zbliżoną do wartości rzeczywistej) jest odchylenie standardowe średniej arytmetycznej zdefiniowane następująco:

- prawdopodobieństwo, że wartość rzeczywista mieści się w przedziale wynosi 0,683.

- jeżeli liczba pomiarów jest <10 ,należy wymnożyć
przez odpowiadający zadanemu poziomowi ufności wsp. Studenta-Fischera, aby otrzymać wartość
dla danego poziomu ufności

b) niepewności systematyczne:

Całkowitą niepewność systematyczną otrzymujemy sumując niepewności otrzymane w wyniku działania obserwatora i niepewność przyrządu.

Niepewności przyrządu:

-
- niepewność wynikająca ze skończonego odstępu podziałki i jest równa połowie najmniejszej działki przyrządu

-
- niepewność wzorcowania fabrycznego przyrządu i jest równa
, gdzie k - to klasa przyrządu a Z = to jego zakres.

Niepewność obserwatora:

-
- szerokość wskazówki miernika wyrażona w jednostkach skali,

-
- szerokość obszaru drgań wskazówki, wyrażona w jednostkach skali.

Najczęściej dominujący wpływ na wyniki w każdej serii pomiarów ma skończona podziałka przyrządu - można wtedy przyjąć, że całkowita niepewność systematyczna jest równa połowie najmniejszej działki przyrządu.

OSZACOWANIE NIEPEWNOŚCI POMIARÓW POŚREDNICH (NIEP. MAKSYMALNA, WZGLĘDNA, PROCENTOWA):

Załóżmy, że wielkość fizyczna y jest funkcją wielkości tzn:

Aby wyznaczyć niepewność pomiaru y i jej wartość najbardziej prawdopodobną należy wyznaczyć średnie oraz odchylenia standardowe . Wartość najbardziej prawdopodobna y jest równa:

Natomiast średnia niepewność kwadratowa (inaczej odchylenie standardowe pomiaru pośredniego lub błąd średni kwadratowy) wielkości y wynosi:

gdzie:

oznacza pochodną cząstkową funkcji f w punkcie

Jeżeli którąś z wielkości wyznaczamy przez pojedynczy pomiar (nie da się więc wyliczyć odpowiadającego jej odchylenia standardowego) korzystamy z metody różniczek zupełnych do wyznaczenia niepewności maksymalnej y (błędu maksymalnego).

Miarą dokładności metody pomiaru jest maksymalna niepewność względna (zwana również błędem względnym) - zdefiniowana jako stosunek niepewności maksymalnej y do wyniku pomiaru y:

Niepewność procentowa wyraża się wzorem:

Dla wzorów postaci:

gdzie A-dowolna stała

bardzo łatwo można obliczyć maksymalną niepewność względną :

(wz. 1)

2. Wprowadzenie do ćwiczenia

Przyspieszenie ziemskie g jest to przyspieszenie ciał spadających swobodnie w polu grawitacyjnym Ziemi (przy braku oporów ruchu).

Z prawa powszechnej grawitacji Newtona można wyliczyć, że na powierzchni Ziemi jego wartość dana jest wzorem:

gdzie G jest stałą grawitacji, a M_Z i R_Z są odpowiednio masą i promieniem Ziemi. Zatem na biegunach gdzie promień naszej planety jest najmniejszy, będzie ono miało największą wartość. Na wartość przyspieszenia wpływa również ruch obrotowy Ziemi - związane z nim przyspieszenie odśrodkowe zmniejsza mierzone przyspieszenie ziemskie na wszystkich szerokościach geograficznych poza biegunami. Oczywiście wartość przyspieszenia ziemskiego maleje wraz z wysokością nad powierzchnią Ziemi.

Przyspieszenie ziemskie wyznaczymy za pomocą wahadła prostego. Wahadło proste jest to mała kulka (zwykle metalowa) zawieszona na nierozciągliwej i lekkiej nici, której ciężar możemy zaniedbać. Kulka ma masę równą m i średnicę równą d natomiast nić ma długość l.

Wychylona z położenia równowagi i swobodnie puszczona kulka wykonuje ruch drgający prosty.

Na ruch kulki o masie m odpowiedzialna jest tylko składowa jej ciężaru styczna do toru: F=mgsin
, która można rozłożyć na dwie składowe F1i F2, druga składowa - zgodna z kierunkiem napiętej nici - jest równoważona przez siłę napięcia sprężystego nici.

Przy wychyleniu o małe kąty (przyjmując kąt
< 5^o ) można z dostatecznie dobrym przybliżeniem traktować ruch kulki jako ruch harmoniczny prosty i przyjąć że:

Przy czym znak minus oznacza że siła jest przeciwnie skierowana do wychylenia.

a ponieważ wtedy:

Wtedy:

;
gdzie x-odległość kulki w poziomie od położenia równowagi

więc siła powodująca ruch kulki wyraża się wzorem:

czyli
określa stałą k w równaniu: F= -kx.

II. Zasasda Dynamiki Newtona dla kulki ma postać:

gdzie:
;
czyli:

- jest to równanie ruchu Newtona dla kulki

podstawiając
otrzymujemy równanie ruchu harmonicznego:

.

bo

i ostatecznie otrzymujemy:

gdzie l jest długością wahadła

Z powyższego wzoru na okres można wywnioskować że nie zależy on ani od masy kulki m , ani od kąta wychylenia ϕ.

Czyli:

Z tego wzoru można wyliczyć wartość przyspieszenia ziemskiego - mając wyznaczone doświadczalnie okres drgań i długość wahadła (jednak podany wzór jest słuszny dla drgań o bardzo małej amplitudzie więc tylko takie drgania należy wziąć pod uwagę).

3. Metoda pomiaru

4. Wyniki pomiarów i obliczenia

Wyniki pomiarów

Lp	10T [s]	l [cm]	d [mm]
1.	20,3	101,8	18,86
2.	20,6	101,6	18,85
3.	20,4	101,7	19,03
4.	20,1	101,5	19,04
5.	20,4	101,8	19,04
6.	20,8	101,4
7.	20,4
8.	20,4
9.	20,1
10.	20,8

Obliczenia

- dla okresu drgań:

nr. Pomiaru	10T [s]	T [s]	Tśr-Ti [s]	(Tśr-Ti)^2[s^2]
1	20,3	2,03	0,013	0,000169
2	20,6	2,06	-0,017	0,000289
3	20,4	2,04	0,003	0,000009
4	20,1	2,01	0,033	0,001089
5	20,4	2,04	0,003	0,000009
6	20,8	2,08	-0,037	0,001369
7	20,4	2,04	0,003	0,000009
8	20,4	2,04	0,003	0,000009
9	20,1	2,01	0,033	0,001089
10	20,8	2,08	-0,037	0,001369

- dla długości nici:

nr. pomiaru	S [cm]	Sśr-Si [cm]	(Sśr-Si)^2 [cm^2]
1	101,8	-0,166667	0,027778
2	101,6	0,0333333	0,001111
3	101,7	-0,066667	0,004444
4	101,5	0,1333333	0,017778
5	101,8	-0,166667	0,027778
6	101,4	0,2333333	0,054444

- dla średnicy kulki:

nr. pomiaru	d [mm]	dśr-di [mm]	(dśr-di)^2 [mm^2]
1	18,86	0,104	0,010816
2	18,85	0,114	0,012996
3	19,03	-0,066	0,004356
4	19,04	-0,076	0,005776
5	19,04	-0,076	0,005776

Obliczenia średnich arytmetycznych dla T, dla S i dla d:

-

-

-

• Obliczenie odchyleń standardowych dla S,T i d:

• Obliczenie niepewności przypadkowych (korzystając z tabeli Studenta-Fischera dla poziomu ufności 0,99)

Wykonano 10 pomiary T, 6 pomiarów S i 5 pomiarów d. Odpowiadający takiej liczbie pomiarów i stopniowi ufności 0,99 wsp. Studenta - Fischera wynosi:

więc:

• Niepewności systematyczne

Czas 10T był mierzony stoperem o dokładności 0,2 s, a więc
.

Długość nici mierzona była miernikiem o dokładności o,1 [cm], a więc
.

A średnica kulki była mierzona suwmiarką o dokładności 0,01 [mm], a więc
.

• Obliczenie niepewności całkowitych dla d,S i T.

Niepewności pomiarowe całkowite są sumą niepewności przypadkowych i systematycznych:

a ponieważ:

więc:

ΔT_c=0,0080[s]

• Obliczenie g i błędu pomiarowego Δg

Ponieważ długość wahadła L powinniśmy mierzyć od punktu zaczepienia do środka kulki więc wzór na rzeczywistą wartość L ma postać:

(wz. 3)

,a błąd pomiarowy przy jej wyznaczaniu:

Aby policzyć najbardziej prawdopodobną wartość g należy podstawić za długość wahadła l we wzorze 1 policzone
(wzór 3).

Maksymalna niepewność względna określona wzorem (1) ma postać:

a dla danych zadania maksymalna niepewność względna wynosi:

niepewność procentowa:

1%

a obliczone ze wzorów (1),(3) g:

czyli:

niepewność maksymalna:

więc wynikiem doświadczenia jest otrzymana stała g równa:

5. Wnioski

g zmierzone i wyliczone z ćwiczenia:

g z tablic fizycznych (dla Krakowa):

różnica wynosi:

Tak więc, po porównaniu wartości przyspieszenia ziemskiego zmierzonej w laboratorium i przeze mnie obliczonej, z wartością g z tablic fizycznych, widać, że odchylenie od wartości tablicowej wynosi :

Wartość rzeczywista nie mieści się w oszacowanym maksymalnym błędzie pomiarowym.

Odchylenie od wartości tablicowej jest spowodowane :

• przyjęciem że ruch wahadła jest ruchem harmonicznym

• małą liczbą pomiarów długości nici (tylko 4)

• jej rozciągliwością

• zaniedbaniem oporu powietrza i masy nici

• zaniedbaniem tarcia nici w punkcie zawieszenia kulki

• zaniedbaniem rozmiarów kulki i traktowanie jej jako punktu materialnego (bez uwzględnienia jej momentu bezwładności)

• nie uwzględnieniem faktu, że ruch nie odbywa się dokładnie w jednej płaszczyźnie

• niedokładnością przyrządów pomiarowych lub osób posługujących się nimi

1

10T - 10 okresów drgań

d - średnica kulki

l - długość nici

---