CIĄGI SZEREGI FUNKCYJNE

Jeśli każdej liczbie naturalnej n przyporządkowana jest funkcja fn to jest to ciąg funkcyjny

Jeżeli dla każdego x ze zbioru argumentów A ciąg f1(x), f2(x) ,... jest zbieżny do granicy f(x) to mówimy że ciąg funkcji {fn} jest zbieżny do granicy f. Dla każdego x i dla każdego e > 0 istnieje takie k że dla n > k zachodzi /fn(x) - f(x)/ < e;

Liczbę k dobieramy przy danym e do każdego x z osobna; jeśli jednak ustalimy k niezależnie od x-ów to mówimy o zbieżności jednostajnej.

Ciąg {fn} jest zbieżny jednostajnie do funkcji f (na zbiorze A) jeśli dla każdego e > 0 istnieje takie k że dla n > k i każdego x (z A) zachodzi /fn(x) - f(x)/ < e;

Ciąg {fn} jest zbieżny jednostajnie jeśli dla każdej liczby e > 0 istniała taka liczba r, że dla każdego n > r zachodzi /fn(x) - fr(x)/ < e.

SZEREGI POTĘGOWE

S(x) = a0 + a1x + a2x2 + ... + anxn = E (n=0)anxn

Promień zbieżności szeregu potęgowego S(x) nazywamy kres górny zbioru bezwzględnych wartości x-ów dla których szereg ten jest zbieżny. W szczególności jeśli jest to zbiór nieograniczony to promieniem zbieżności jest oo ;

Przedział -r < x < r gdzie r oznacza promień zbieżności nazywamy przedziałem zbieżności. Jeśli r = oo przedział ten pokrywa się ze zbiorem R.

TW : W każdym przedziale domkniętym położonym wewnątrz przedziału zbieżności szereg jest zbieżny jednostajnie i bezwzględnie.

TW : Szereg potęgowy jest funkcją ciągłą wewnątrz przedziału zbieżności -r < x < r.

TW ABELA: Szereg potęgowy zbieżny w jednym z krańców przedziału zbieżności stanowi w tym punkcie funkcję ciągłą jednostronnie.

TW : Jeśli lim / an+1/an / = g to promień zbieżności szeregu potęgowego r = 1/g (przy tym jeśli g = 0 to r = oo jeśli g = oo to r = 0)

Analogicznie jeśli istnieje lim /an/(1/n) to r = 1/(lim /an/(1/n))

---