temat 23:

TWIERDZENIE O TRZECH PROSTOPADŁYCH

Jeśli prosta l nie jest równoległa ani prostopadła do płaszczyzny α, a prosta k jest zawarta w α i przechodzi przez punkt, w którym l przebija α, to k jest prostopadła do rzutu prostokątnego l na α wtedy i tylko wtedy, gdy k jest prostopadła do l.

rys.1

Zakładamy, że:

rzutem prostokątnym l na α jest prosta l' oraz że prosta l przebija α w punkcie A. (rys.1)

Dowód:

• proste l i l' wyznaczają płaszczyznę β. Jest to płaszczyzna prostopadła do α.

• Przeprowadźmy przez punkt A prostą p prostopadłą do α.

• Wtedy p zawiera się w płaszczyźnie β.

• Mamy:

l'⊥k -na podstawie założenia

p⊥k, bo p⊥α i k⊂α

• Stąd na podstawie twierdzenia o prostej prostopadłej do płaszczyzny (patrz: temat nr22) wnioskujemy, że k⊥β.

• Ponieważ l⊂β i A∈l, więc k⊥l.

Wykazaliśmy, że:

w jedną stronę twierdzenie jest prawdziwe. Dowód prawdziwości w drugą stronę przebiega podobnie.

opracowała: Dominika Ptak

---