1. Pojęcie ciągu. Ciągi liczbowe.

Definicja 1.: Ciągiem nazywamy funkcję

, której dziedziną jest zbiór liczb naturalnych
lub jego skończony odcinek początkowy
.

W pierwszym przypadku ciąg nazywa się ciągiem nieskończonym, a w drugim ciągiem skończonym, dokładniej m-elementowym lub m-wyrazowym.

Definicja 2.: Ciągiem liczbowym nazywamy ciąg, którego wyrazy są liczbami.

Ciąg liczbowy jest jednoznacznie określony przez podanie ogólnego wzoru, wyrażającego n-ty wyraz
jako funkcję zmiennej n, lub przez podanie wzoru rekurencyjnego wyrażającego
przez wyrazy wcześniejsze:
, musi być przy tym podany pierwszy wyraz. Nie każdy ciąg liczbowy można przedstawić tymi sposobami.


2. Ciągi ograniczone. Ciągi monotoniczne.

Definicja 3.: Ciągiem ograniczonym nazywamy ciąg liczbowy, którego zbiór wyrazów jest zbiorem ograniczonym.

Ciąg liczb rzeczywistych
jest ciągiem ograniczonym z góry lub odpowiednio z dołu, gdy zbiór jego wyrazów jest ograniczony z góry (z dołu). Mamy zatem:

* ciąg
jest ciągiem ograniczonym z góry


* ciąg
jest ciągiem ograniczonym z dołu


* ciąg
jest ciągiem ograniczonym
.


Definicja 4.: Ciąg liczb rzeczywistych
nazywamy ciągiem monotonicznym, jeśli spełnia jeden z dwóch warunków:

(1)
lub

(2)
.

Jeśli spełniony jest warunek (1), ciąg
jest ciągiem niemalejącym, jeśli warunek (2) - ciąg jest ciągiem nierosnącym. Gdy warunek (1) lub (2) jest spełniony w mocniejszej postaci, z nierównością

ostrą zamiast słabej, ciąg
nazywamy ciągiem rosnącym lub odpowiednio ciągiem malejącym. Ciąg, który jest malejący lub rosnący, nazywamy ciągiem ściśle monotonicznym.


3. Pojęcie granicy. Ciągi zbieżne i rozbieżne.

Definicja 5.: Liczbę g nazywamy granicą ciągu nieskończonego
, jeśli dla każdej liczby dodatniej
istnieje taka liczba k, że dla n>k zachodzi nierówność:


Definicja 6.: Ciągiem zbieżnym (rozbieżnym) nazywamy ciąg, który posiada granicę (nie posiada granicy).


4. Twierdzenia dotyczące ciągów i ich granic.

Twierdzenie 1.: Jeśli ciąg posiada granicę, to tylko jedną.

Twierdzenie 2.: Każdy ciąg zbieżny jest ograniczony.

Twierdzenie 3.: Przy założeniu, że ciągi
i
są zbieżne zachodzą następujące wzory:

(1)


(2)


(3)


(4)
, o ile
.

Wniosek z (3):
.

Twierdzenie 4.: Jeżeli ciąg
jest zbieżny i
, to
.

Twierdzenie 5.: Jeżeli ciąg
jest zbieżny to zachodzi:
.

Twierdzenie 6. (twierdzenie o trzech ciągach): Jeśli
i
, to ciąg
jest zbieżny, przy czym

Twierdzenie 7.: Zmiana skończonej ilości wyrazów ciągu nie wpływa na zbieżność tego ciągu ani na jego granicę.

Twierdzenie 8.: Podciąg ciągu zbieżnego jest zbieżny do tej samej granicy, co ciąg dany (jeśli
, to
).

Twierdzenie 9. (Bolzano-Weierstrassa): Każdy ciąg ograniczony zawiera podciąg zbieżny.

Dowód: Niech wszystkie wyrazy ciągu
należą do przedziału
. Podzielmy ten przedział na na połowy. Wówczas co najmniej w jednej połówce zawarte jest nieskończenie wiele wyrazów naszego ciągu, bo w przeciwnym wypadku w całym przedziale
byłoby tylko skończenie wiele wyrazów ciągu, co oczywiście jest niemożliwe. Niech więc
będzie tą połową przedziału, która zawiera nieskończenie wiele liczb
.
Podobnie robimy z przedziałem
, wydzielamy jego połowę
zawierającą nieskończenie wiele wyrazów ciągu
.
Powtarzając to postępowanie w nieskończoność, w k-tym kroku wydzielamy przedział
, zawierający również nieskończenie wiele wyrazów ciągu
.
Każdy z utworzonych w ten sposób przedziałów (począwszy od drugiego) zawiera się w poprzednim, stanowiąc jego połowę. Ponadto długość k-tego przedziału, równa
dąży do zera wraz ze wzrostem k.
Wiedząc, że jeśli granica dwóch ciągów jest zbieżna do zera, to są one zbieżne do wspólnej granicy, wnioskujemy, że
i
dążą do wspólnej granicy g. Podciąg
konstruujemy indukcyjnie. Jako
bierzemy dowolny (np. pierwszy) wyraz ciągu
zawarty w przedziale
. Jako
bierzemy dowolny z wyrazów ciągu
następujących po
i zawartych w przedziale
itd... Ogólnie jako
obieramy dowolny (np. pierwszy) z wyrazów
następujący po wyrazach
zawartych w przedziale
. Możliwość

takiego wyboru przebiegającego kolejno, zawdzięczamy temu, że każdy z przedziałów
zawiera nieskończenie wiele liczb
. Ponieważ
i
, z twierdzenia o trzech ciągach mamy, że
, Q.E.D.

Twierdzenie 10.: Jeśli ciąg
jest ograniczony i jeśli wszystkie jego podciągi zbieżne są zbieżne do tej samej granicy g, to również ciąg
jest zbieżny do granicy g.

Twierdzenie 11. (warunek Cauchy'ego): Na to, by ciąg
był zbieżny, potrzeba i wystarcza aby dla każdego
istniała taka liczba r, że dla n>r zachodzi nierówność


Twierdzenie 12.: Ciąg rosnący nieograniczony z góry jest rozbieżny do
.

Twierdzenie 13.: Jeśli
, to
.

Twierdzenie 14.: Jeśli
, zaś ciąg
jest ograniczony z dołu, to
.

Twierdzenie 15.: Jeśli
oraz stale
, przy czym
, to
.

Twierdzenie 16.: Jeśli
oraz
, to
.

Twierdzenie 17.: Jeśli
, to
.

Twierdzenie 18.: Jeśli
, to
.

Twierdzenie 19.: Jeśli
, to
.

Twierdzenie 20.: Jeśli
i jeśli
jest ciągiem liczb wymiernych zbieżnym do 0, to
.

Twierdzenie 21. (Stolza): Niech
, przy czym - choćby poczynając od pewnego miejsca -
rośnie wraz z n, tj.
. Wówczas

jeśli tylko istnieje granica po prawej stronie

(skończona lub nieskończona).

Twierdzenie 22.
Ciąg nieograniczony z góry (z dołu) zawiera podciąg rozbieżny do

Wniosek: (wraz z tw. B-W)
Każdy ciąg nieskończony zawiera podciąg mający granicę (skończoną lub nie).

Twierdzenie 23.
Jeśli
, to

Dowód: np. z tw. Stolza.
Twierdzenie odwrotne nie jest prawdziwe.
Wniosek z tw. 23:
Jeśli
, to

(wystarczy przyjąć
)


Twierdzenie 24.
Jeśli
oraz
, to

Dowód z wykorzystaniem poprzedniego twierdzenia i ciągłości funkcji logarytmicznej i wykładniczej:
Przyjmijmy


wtedy:



gdyż



Wniosek z tw.:

Jeżeli
, to

(przyjmujemy
)

I nierówność z tym związana: (założenie:
)



Twierdzenie 25.
Jeśli
lub
, to

(wykorzystanie kryteriów zbieżności szeregów).

---