Macierz rozproszenia S, transmisyjna macierz rozproszenia T wielowrotnika

Właściwości obwodów mikrofalowych można opisać za pomocą różnych macierzy : impedancyjnej, admitancyjnej, łańcuchowej, rozproszenia itd.

Macierze impedancyjne, admitancyjne są powszechnie stosowane w teorii obwodów o stałych skupionych. Można je stosować również do opisu właściwości układów o stałych rozłożonych, ale należy pamiętać, że występujące w nich impedancje nie mają jednoznacznych odpowiedników w elementach przedstawionego obwodu. W technice mikrofalowej o impedancji elementu możemy mówić tylko wtedy gdy wymiary tego elementu są dużo mniejsze od długości fali, ale i wtedy należy zdefiniować sposób włączenia elementu w tor mikrofalowy, płaszczyznę odniesienia, impedancję charakterystyczną prowadnicy falowej.

Najczęściej stosowane macierze do opisu właściwości układów mikrofalowych to macierze rozproszenia, transmisyjne macierze rozproszenia oraz macierze łańcuchowe.

Załóżmy, że mamy dwuwrotnik jak na rysunku:

Macierz łańcuchową definiujemy tak jak w przypadku układów o niskiej częstotliwości z tym, że musimy podać tzw. płaszczyzny odniesienia, w których wyznaczone są prądy i napięcia oraz impedancje charakterystyczne do których dołączony jest dwuwrotnik.

(1)

W opisie układów mikrofalowych często stosuje się macierze wykorzystujące wielkości znormalizowane do impedancji wrót wejściowych i wyjściowych.

(2)

Stosunek u₁/i₁ jest teraz bezwymiarowy i równy impedancji wejściowej układu znormalizowej do impedancji charakterystycznej toru wejściowego. Natomiast u₁ i₁ = U₁ I₁.

Łatwo można wyprowadzić zależność na znormalizowaną macierz [A^'].

(3)

Jeżeli dwuwrotnik jest odwracalny: det A = 1

Jeżeli dwuwrotnik jest bezstratny: A₁₂, A₂₁ - urojone, A₁₁, A₂₂ - rzeczywiste

Jeżeli mamy dwa dwuwrotniki o macierzy [A] i [B] to dwuwrotnik wypadkowy ma macierz
[C] = [A] [B] przy czym A jest od strony wejścia układu natomiast B od strony wyjścia.

W technice mikrofalowej najczęściej stosowanymi macierzami jest macierz rozproszenia. Jest to związane z parametrami obwodu które możemy mierzyć tj. : współczynnik odbicia oraz współczynnik transmisji, czyli współczynniki które wiążące ze sobą fale padające, odbite i przechodzące przez wielowrotnik.

[b] = [S] [a]

[S] jest to tzw. macierz rozproszenia. Współczynniki S_{n n} są nazywane reflektancjami a współczynniki S_{n m.} n ≠ m. transmitancjami. Macierz rozproszenia wiąże ze sobą wektor fal odbitych [b] od wielowrotnika z wektorem fal padających [a] na wielowrotnik.

Jeżeli znamy macierze rozproszenia np. dwóch dwuwrotników to nie możemy ich pomnożyć, tak jak w przypadku macierzy łańcuchowych. Możemy mnożyć tylko macierze które wiążą ze sobą parametry obwodów wejściowych z parametrami obwodów wyjściowych. Dlatego wprowadza się transmisyjne macierze rozproszenia [T], które wiążą ze sobą fale padające i odbite na wejściu z odpowiednikami tych fal na wyjściu.

Uwaga! W przypadku wielowrotników istnieje wiele możliwości zdefiniowania transmisyjnej macierzy rozproszenia. Np. dla dwuwrotnika macierz T możemy zdefiniować następująco:

lub

Wyznaczymy teraz transmisyjną macierz rozproszenia dla wielowrotnika, który ma ilość wrót wejściowych i wyjściowych taką samą.

Następnie wprowadzimy oznaczenia:

b_in - wektor fal odbitych od wejścia wielowrotnika

b_out - wektor fal odbitych od wyjścia wielowrotnika

a_in - wektor fal padających na wejście wielowrotnika

a_out - wektor fal padających na wyjście wielowrotnika

przy czym współczynniki S_ij tej macierzy rozproszenia są macierzami

Np. dla czterowrotnika przy numeracji wrót jak na rysunku poniżej:

Poniżej wyprowadzono zależności pomiędzy parametrami macierzy rozproszenia S a parametrami transmisyjnej macierzy rozproszenia T.

(4)

(5)

Z ostatniej zależności możemy wyprowadzić wzajemne związki pomiędzy parametrami macierzy

S i T

T₁₁ = S₁₂ - S₁₁ S₂₁^-1 S₂₂ T₁₂ = S₁₁ S₂₁^-1

T₂₁ = - S₂₁^-1 S₂₂ T₂₂ = S₂₁^-1 (6a)

S₁₁ = T₁₂ T₂₂^-1 S₁₂ = T₁₁ - T₁₂ T₂₂^-1 T₂₁

S₂₁ = T₂₂^-1 S₂₂ = - T₂₂^-1 T₂₁ (6b)

Jak wynika z tych zależności macierz S₂₁ musi być macierzą nieosobliwą.

Przykład 1

Wyznaczyć macierz S oraz T układu jak na rys.

; S₂₁ = S₁₂

Z zależności (6a) wyznaczamy parametry macierzy T:

Przykład 2

Wyznaczyć macierz S oraz T odcinka linii o długości θ i impedancji charakterystycznej Z₀. (impedancje odniesienia na wejściu i wyjściu są równe Z₀).

Macierz S wyraża się zależnością: . Korzystając z zależności (6a) obliczamy macierz T₂ =

Przykład 3

Wyznaczyć macierz S oraz T odcinka linii o impedancji Z i długości θ dołączonego do impedancji Z₀.

Korzystając z wyników przykładów 1 i 2 należy obliczyć najpierw macierz T:

W taki sam sposób wyznaczamy pozostałe parametry.

Korzystając z zależności (6b) wyznaczamy parametry macierzy S:

Ponieważ układ jest symetryczny i odwracalny to: S₁₂ = S₂₁: S₁₁=S₂₂

Przykład 4

Wyznaczyć macierz S oraz T układu jak na rys.

S₁₂ = S₂₁

Jeżeli ilość wrót wejściowych nie jest równa ilości wrót wyjściowych należy macierz S rozszerzyć tak aby S₂₁ było macierzą nieosobliwą. Obwód rozszerzony przedstawia poniższy rysunek.

Wektor wymuszeń a_e = 0

(7)

S_b, S_c, S_d - są to bloki rozszerzające macierz S₂₁ do macierzy nieosobliwej. Elementami bloków rozszerzających są 0 lub 1.Z zależności tej między innymi wynika, że b_e = S_c a_in

Ponieważ powyższe równanie macierzowe należy przekształcić do następującego równania:

(8)

rozpatrzmy dwa ostatnie równanie z zależności (7):

b_out = S₂₁ a_in + S_b a_e + S₂₂ a_out

b_e = S_c a_in + S_d a_e

Równania te (nieznacznie przekształcając) można zapisać w postaci macierzowej:

(9)

Mnożąc przez macierz otrzymujemy:

(10)

Dodając do tego równania zależność b_in = S₁₁ a_in + S₁₂ a_out oraz eliminując z niego a_in otrzymujemy:

(11)

Z zależności tej wyznaczamy parametry transmisyjnej macierzy rozproszenia T.

W ogólnym przypadku macierz S₂₁ o wymiarze n × m i rzędzie r, może być rozszerzona do postaci

(12)

S₁ - jest minorem macierzy S₂₁ o wymiarze r

Jeżeli macierz S₁ jest nieosobliwa to macierz ma rząd równy r wtedy i tylko wtedy gdy zachodzi zależność S₄ = S₂⋅S₁^-1 ⋅ S₃

Macierz odwrotna [S₂₁^e]^-1 wyraża się zależnością:

(13)

Ogólnie zachodzą trzy możliwości:

1. n < m , wówczas S₂₁^e dane jest zależnością:

(14)

• T_22a = [S₁^-1 , 0] T_22c = [-S₁^-1 S₃ , 1_in] (15)

Podstawiając zależność (15) do (11) otrzymujemy:

(16)

2. n = m , wówczas transmisyjną macierz rozproszenia obliczamy z zależności (6a)

3) n > m , wówczas S₂₁^e dane jest zależnością:

(17)

• (18)

Podstawiając zależność (18) do zależności (11) otrzymujemy:

(19)

Przykład 5

Wyznaczyć transmisyjną macierz rozproszenia jednowrotnika dołączonego do wrót wyjściowych układu.

Jeżeli podstawimy a = b_e to równanie b = Γ⋅a możemy zapisać:

. Tak więc transmisyjna macierz rozproszenia tego jednowrotnika wynosi T₁ =

Przykład 6

Obliczyć współczynnik odbicia na wejściu linii z przykładu 2 obciążonego impedancją o znanym współczynniku odbicia Γ.

Wypadkowa transmisyjna macierz rozproszenia T₃ jest równa iloczynowi T₂ ⋅T₁:

b = Γ e^-jθ b_e a = Γ e^jθ b_e ⇒ b/a = Γ(θ) = Γ e^-2jθ

Literatura

1. Dobrowolski J. - Introduction to Computer Methods for Microwave Circuit Analysis and Design - Artech House, Boston - London, 1991, rozdz.. 2

2. Miazga P. - Metoda analizy obwodów mikrofalowych wykorzystujących transmisyjne macierze rozproszenia - rozp. Doktorska, IRPW, W-wa 1989

3. Kaczorek T. - Macierze w automatyce i elektronice - WNT, W-wa, 1984

Technika mikrofalowa - Macierz rozproszenia S, transmisyjna macierz rozproszenia T 2

Jolanta Zborowska

---