4 MACIERZ ROZPROSZENIA [S], TRANSMISYJNA MACIERZ ROZPROSZENIA [T] WIELOWROTNIKA

Właściwości obwodów mikrofalowych można opisać za pomocą różnych macierzy: impedancyjnej, admitancyjnej, łańcuchowej, rozproszenia itd.

Macierze impedancyjne, admitancyjne są powszechnie stosowane w teorii obwodów o stałych skupionych. Można je stosować również do opisu właściwości układów o stałych rozłożonych, ale należy pamiętać, że występujące w nich impedancje nie mają jednoznacznych odpowiedników w elementach przedstawionego obwodu. W technice mikrofalowej o impedancji elementu możemy mówić tylko wtedy, gdy wymiary tego elementu są dużo mniejsze od długości fali, ale i wtedy należy zdefiniować sposób włączenia elementu w tor mikrofalowy, płaszczyznę odniesienia, impedancję charakterystyczną prowadnicy falowej.

Najczęściej stosowane macierze do opisu właściwości układów mikrofalowych to macierze rozproszenia, transmisyjne macierze rozproszenia oraz macierze łańcuchowe.

4.1 MACIERZ ŁAŃCUCHOWA

Załóżmy, że mamy dwuwrotnik jak na rysunku:

Rys.1

Macierz łańcuchową definiujemy tak jak w przypadku układów o niskiej częstotliwości z tym, że musimy podać tzw. płaszczyzny odniesienia, w których wyznaczone są prądy i napięcia oraz impedancje charakterystyczne do których dołączony jest dwuwrotnik.

(1)

W opisie układów mikrofalowych często stosuje się macierze wykorzystujące wielkości znormalizowane do impedancji wrót wejściowych i wyjściowych.

(2)

Stosunek u₁/i₁ jest teraz bezwymiarowy i równy impedancji wejściowej układu znormalizowej do impedancji charakterystycznej toru wejściowego. natomiast u₁ i₁ = U₁ I₁.

Łatwo można wyprowadzić zależność na znormalizowaną macierz [A^'].

(3)

WARUNEK ODWRACALNOŚCI

Układ jest odwracalny jeżeli spełnione twierdzenie Lorentza o wzajemności.

W tym przypadku, jeżeli spełniony jest warunek:

(4)

U₁ = A₁₁ U₂ - A₁₂ I₂

I₁ = A₂₁ U₂ - A₂₂ I₂

Dla U₂ = 0, otrzymujemy:

(5)

Dla U₁ = 0:

0 = A₁₁ U₂ - A₁₂ I₂

I₁ = A₂₁ U₂ - A₂₂ I₂ (6)

Z zależności (6) otrzymujemy:

Po prostych przekształceniach i uwzględnieniu warunku (5) otrzymujemy:

(7)

Tak więc aby spełniona była zależność (4), musi być spełniony warunek;

A₁₁A₂₂ - A₁₂A₂₁= 1 czyli det [A] = 1.

Jeżeli dwuwrotnik jest odwracalny: det A = 1

Jeżeli dwuwrotnik jest bezstratny: A₁₂, A₂₁ - urojone, A₁₁, A₂₂ - rzeczywiste

Jeżeli mamy dwa dwuwrotniki o macierzy [A] i [B] to dwuwrotnik wypadkowy ma macierz
[C] = [A] [B] przy czym A jest od strony wejścia układu natomiast B od strony wyjścia.

4.2 MACIERZ ROZPROSZENIA

W technice mikrofalowej najczęściej stosowaną macierzą jest macierz rozproszenia

W 1965r. K. Kurokawa zdefiniował zespolone wielkości nazwane „falami mocy”

(8a)

(8b)

Rys. 2

Macierz rozproszenia jest zdefiniowana następująco:

[b] = [S] [a] (9)

Zależności odwrotne do wyrażeń (8a) i (8b):

(10a)

(10b)

W dalszej części (dla uproszczenia) rozpatrywać będziemy czwórnik oraz założymy, że impedancje linii do których dołączony jest czwórnik są rzeczywiste. Schemat układu przedstawiono na rysunku.

Rys. 3

Napięcie (prąd) jest sumą napięć (prądów) fali padającej i odbitej
(
)

Uwzględniając zależności na a₁ i b₁:

otrzymujemy:

(11)

------------------------------------------------------------------------------------------------

Interpretacja fizyczna parametrów a, b oraz parametrów rozproszenia S

(12)

Następnie wyznaczmy |a₁|²

(13)

Wyrażenie (13) określa nam moc dysponowaną źródła - P_SA

Obliczymy teraz wielkość |a₁|² - |b₁|²

(14)

Jest to moc czynna wydzielająca się w impedancji Z_WE (tak samo będzie na i-tych zaciskach).

Definicja parametrów macierzy rozproszenia

współczynnik odbicia na wejściu, gdy Z_OB = Z₀₂

współczynnik transmisji z wejścia na wyjście, gdy Z_OB = Z₀₂

współczynnik transmisji z wyjścia na wejście, gdy Z_S = Z₀₁

współczynnik odbicia na wyjściu, gdy Z_S = Z₀₁

Współczynniki S_{n n} są nazywane reflektancjami a współczynniki S_{n m.} n ≠ m. transmitancjami. Macierz rozproszenia wiąże ze sobą wektor fal odbitych [b] od wielowrotnika z wektorem fal padających [a] na wielowrotnik.

|S₁₁|² współczynnik odbicia mocy na wejściu przy Z_OB = Z₀₂

|S₂₁|² skuteczne wzmocnienie mocy z wejścia na wyjście przy Z_S = Z₀₁, Z_OB = Z₀₂

|S₁₂|² skuteczne wzmocnienie mocy z wyjścia na wejście przy Z_S = Z₀₁, Z_OB = Z₀₂

|S₂₂|² współczynnik odbicia mocy na wyjściu przy Z_S = Z₀₁

------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

Oprócz skutecznego wzmocnienia mocy, definiujemy również wzmocnienie mocy jako stosunek mocy czynnej wydzielonej w obciążeniu do mocy czynnej dostarczonej do wejścia czwórnika.

-----------------------------------------------------------------------------------------------------------------

Właściwości macierzy rozproszenia

Układ odwracalny- zasada wzajemności

przenumerowujemy k→ n

n→ k

S_kn = S_nk

Układ bezstratny

(15)

(16)

Jeżeli pomnożymy prawostronnie zależność (16) przez sprzężoną wartość zależności (15) to otrzymamy:

(17)

Jeśli [S^T][S^*] = 1

b₁b₁^* + b₂b₂^* = a₁a₁^* + a₂a₂^*

Czyli suma mocy wychodzących z układu jest równa sumie mocy wchodzących do układu. Tak więc jeżeli macierz rozproszenia [S] spełnia warunek: [S^T][S^*]=1, układ jest bezstratny.

-----------------------------------------------------------------------------------------------------------------

Transformacja reflektancji

Po prostych przekształceniach otrzymujemy:

Ponieważ zależność ta ma być spełniona dla każdej wartości fal a₁,a₂, więc wyznacznik macierzy

musi być równy zero.

Załóżmy również, że dwuwrotnik jest odwracalny: S₁₂ = S₂₁.

(gdy Γ_k → 0 to Γ_w → S₁₁

(homografia)

------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

Współczynnik transformacji reflektancji (impedancji)

Bezstratny dwuwrotnik transformujący:

|a₁|² - |b₁|² = |b₂|² - |a₂|²

b₁ = Γ_wa₁ ; a₂ = Γ_kb₂ (18)

więc:
(19)

Dwuwrotnik odwracalny:
(20)

Podstawiając zależność (18) do zależności (20) otrzymujemy:

(21)

Dzieląc (21) przez (19) z „primami” i bez „primów” otrzymujemy:

(22)

Wielkość Δ jest niezmiennikiem transformacji współczynnika odbicia przez czwórnik bezstratny.

UWAGA: Zależność (22) możemy przekształcić wyrażając współczynniki odbicia za pomocą impedancji, które je wywołują. Wówczas otrzymujemy:

UWAGA: Gdy dwuwrotnik jest stratny wówczas:
,

gdzie: η jest współczynnikiem sprawności układu dla różnych obciążeń.

------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

Jeżeli zasadę wzajemności zastosujemy dla czterech różnych obciążeń, otrzymamy:

(23)

UWAGA: Wyrażenie jest niezmiennikiem dowolnej transformacji homograficznej (nie zależy od stratności, odwracalności). Taką samą postać mają wyrażenia na impedancje i admitancje.

------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

Przykład 1:

Dwuwrotnik bezstratny dopasowuje rzeczywistą impedancję Z_L do impedancji rzeczywistej Z_c . Wykazać, że po zamianie wyjścia z wejściem i obciążeniu dwuwrotnika impedancją Z_c będzie on na wejściu dopasowany do impedancji Z_L.

Rozwiązanie:

Jeśli macierz [S] jest odniesiona do impedancji Z_L, Z_c, to S₁₁ = 0 ⇒ |S₁₂|² = |S₂₁|² = 1 (układ bezstratny) ⇒ S₂₂ = 0.

Przykład 2.

Dwuwrotnik bezstratny dopasowuje do siebie dwie różne impedancje charakterystyczne prowadnic falowych - wejściowej i dołączonej do wyjścia. Wykazać, że przy obciążeniu niedopasowanym, scharakteryzowanym przez współczynnik odbicia Γ_k , na wejściu wystąpi niedopasowanie, przy czym |Γ_w| = |Γ_k|.

Rozwiązanie:

Δ_w = Δ_k

Γ_w1 = 0, Γ_k1 = 0

Γ_w2 = ? , Γ_k2 = Γ_k (dane)

|Γ_w2| = |Γ_k|

4.3 TRANSMISYJNA MACIERZ ROZPROSZENIA

Jeżeli znamy macierze rozproszenia np. dwóch dwuwrotników to nie możemy ich pomnożyć, tak jak w przypadku macierzy łańcuchowych. Możemy mnożyć tylko macierze, które wiążą ze sobą parametry obwodów wejściowych z parametrami obwodów wyjściowych. Dlatego wprowadza się transmisyjne macierze rozproszenia [T], które wiążą ze sobą fale padające i odbite na wejściu z odpowiednikami tych fal na wyjściu.

Uwaga! W przypadku wielowrotników istnieje wiele możliwości zdefiniowania transmisyjnej macierzy rozproszenia. Np. dla dwuwrotnika macierz T możemy zdefiniować następująco:

lub

Wyznaczymy teraz transmisyjną macierz rozproszenia dla wielowrotnika, który ma ilość wrót wejściowych i wyjściowych taką samą.

Następnie wprowadzimy oznaczenia:

b_in - wektor fal odbitych od wejścia wielowrotnika

b_out - wektor fal odbitych od wyjścia wielowrotnika

a_in - wektor fal padających na wejście wielowrotnika

a_out - wektor fal padających na wyjście wielowrotnika

przy czym współczynniki S_ij tej macierzy rozproszenia są macierzami

Np. dla czterowrotnika przy numeracji wrót jak na rysunku poniżej:

Poniżej wyprowadzono zależności pomiędzy parametrami macierzy rozproszenia S a parametrami transmisyjnej macierzy rozproszenia T.

(24)

(25)

Z ostatniej zależności możemy wyprowadzić wzajemne związki pomiędzy parametrami macierzy

S i T

T₁₁ = S₁₂ - S₁₁ S₂₁^-1 S₂₂ T₁₂ = S₁₁ S₂₁^-1

T₂₁ = - S₂₁^-1 S₂₂ T₂₂ = S₂₁^-1 (26a)

S₁₁ = T₁₂ T₂₂^-1 S₁₂ = T₁₁ - T₁₂ T₂₂^-1 T₂₁

S₂₁ = T₂₂^-1 S₂₂ = - T₂₂^-1 T₂₁ (26b)

Jak wynika z tych zależności macierz S₂₁ musi być macierzą nieosobliwą.

Przykład 3

Wyznaczyć macierz S oraz T układu jak na rys.

; S₂₁ = S₁₂

Z zależności (6a) wyznaczamy parametry macierzy T:

Przykład 4

Wyznaczyć macierz S oraz T odcinka linii o długości θ i impedancji charakterystycznej Z₀. (impedancje odniesienia na wejściu i wyjściu są równe Z₀).

Macierz S wyraża się zależnością: . Korzystając z zależności (6a) obliczamy macierz T₂ =

Przykład 5

Wyznaczyć macierz S oraz T odcinka linii o impedancji Z i długości θ dołączonego do impedancji Z₀.

Korzystając z wyników przykładów 1 i 2 należy obliczyć najpierw macierz T:

W taki sam sposób wyznaczamy pozostałe parametry.

Korzystając z zależności (6b) wyznaczamy parametry macierzy S:

Ponieważ układ jest symetryczny i odwracalny to: S₁₂ = S₂₁: S₁₁=S₂₂

Przykład 6

Wyznaczyć macierz S oraz T układu jak na rys.

S₁₂ = S₂₁

4.4 ZWIĄZEK POMIĘDZY PARAMETRAMI MACIERZY ROZPROSZENIA [S] i PARAMETRAMI MACIERZY ŁAŃCUCHOWEJ [A]

------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

Dla przypomnienia:

Napięcie (prąd) jest sumą napięć (prądów) fali padającej i odbitej
(
)

Uwzględniając zależności na a₁ i b₁:

otrzymujemy:

------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

(27)

⇒
(28)

Po podstawieniu (27) do (28) i prostych przekształceniach otrzymujemy:

⇓

Porównując poszczególne wyrazy powyższej macierzy i prostych przekształceniach otrzymujemy:

(29)

Zależności odwrotne:

(30)

4.5 WŁAŚCIWOŚCI WIELOWROTNIKÓW SYMETRYCZNYCH

Wiele urządzeń mikrofalowych charakteryzuje się symetrią lustrzaną względem pewnej płaszczyzny. Do takich wielowrotników można zastosować, do wyznaczenia parametrów macierzy [S], metodę pobudzeń w fazie i przeciwfazie.

Dwuwrotniki

Dwuwrotnik ten jest układem symetrycznym i odwracalnym. Dla takiego układu S₁₁ = S₂₂, S₁₂ = S₂₁.

b₁ = S₁₁ a₁ + S₁₂ a₂

Jeżeli dwuwrotnik ten pobudzimy w fazie , tzn a₁ = a₂ = 1 to w płaszczyźnie symetrii tworzy się ściana magnetyczna (rozwarcie) .

b₁ - jest równe współczynnikowi odbicia tak powstałego jednowrotnika Γ_e

Γ_e = S₁₁ + S₁₂ (31)

Jeżeli dwuwrotnik pobudzimy w przeciwfazie, tzn. a₁ = -a₂ = 1 to w płaszczyźnie symetrii tworzy się ściana elektryczna (zwarcie) .

b₁ - jest równe współczynnikowi odbicia tak powstałego jednowrotnika Γ₀

Γ₀ = S₁₁ - S₁₂ (32)

Z zależności (31) i (32) wyznaczamy parametry macierzy [S].

(33)

(34)

Przykład 7

Wyznaczyć parametry macierzy rozproszenia układu przedstawionego na rys. (tłumik typu T)

Układ ten jest równoważny układowi:

Schemat układu przy pobudzaniu w fazie

Schemat układu przy pobudzaniu w przeciwfazie

Uwaga ! Analizowany układ jest typowym tłumikiem typu T stosowanym w mikrofalach.

Przykład 8

Dobrać parametry układu z poprzedniego przykładu tak aby tłumik spełniał następujące warunki:

S₁₁ = 0, S₂₁ = k (tłumienie)

S₁₁ = 0 gdy R₁² - Z₀² + 2 R₁ R₂ = 0 ⇒

Z warunku: S₂₁ = k oraz po podstawieniu zależności na R₂ obliczamy R₁, a następnie R₂.

Zadanie: Obliczyć parametry tłumika typu π.

Czterowrotniki

Jeżeli wrota 1 i 4 pobudzimy w fazie a₁ = a₄ =1 to w płaszczyźnie symetrii tworzy się ściana magnetyczna i tak powstałe dwa dwuwrotniki opisane są parametrami macierzy [S_e]

b_1e = S₁₁ a₁ + S₁₄ a₄ = S₁₁ + S₁₄ b_1e - jest równe S_11e

b_2e = S₂₁ a₁ + S₂₄ a₄ = S₂₁ + S₂₄ b_2e - jest t równe S_21e

S_11e = S₁₁ + S₁₄ (35a)

S_21e = S₂₁ + S₂₄ (35b)

Jeżeli teraz wrota 1 i 4 pobudzimy w przeciwfazie a₁ = - a₄ = 1 to w płaszczyźnie symetrii tworzy się ściana elektryczna . Dwuwrotniki opisane są parametrami macierzy [S₀]

S₁₁₀ = S₁₁ - S₁₄ (36a)

S₂₁₀ = S₂₁ - S₂₄ (36b)

Z równań (35a) i (36a) obliczmy S₁₁ oraz S₁₄, a z równań (35b) i (36b) obliczamy S₂₁ oraz S_24.

Z symetrii układu wynika , że S₁₁ = S₄₄ , natomiast z odwracalności : S₁₄ = S₄₁, S₂₁ = S₁₂, S₂₄ = S₄₂.

Postępując w identyczny sposób pobudzając w fazie i przeciwfazie wrota 2 i 3, otrzymujemy:

S_21e = S₂₁ + S₁₃ (37a)

S_22e = S₂₂ + S₂₃ (37b)

S₂₁₀ = S₂₁ - S₁₃ (38a)

S₂₂₀ = S₂₂ - S₂₃ (38b)

Z równań (37a) i (38a) wynika, że S₁₃ = S₂₄, z odwracalności: S₁₃ = S₃₁.

Z równań (37b) i (38b) wyznaczamy S₂₂ i S₂₃.

Z symetrii wynika, ze S₂₂ = S₃₃ , S₃₄ = S₂₁ z odwracalności, że S₂₃ = S₃₂, S₄₃ = S₃₄.

Trójwrotniki

(39)

Przy pobudzaniu w fazie macierz [S]_e jest równa

Przy pobudzaniu w przeciwfazie [S]₀ =

(40)

(41)

(42)

(43)

Muszą być spełnione warunki:

Z powyższych zależności wynika:

S₁₁ = S₂₂ = S₁₁^', S₁₂ = S₂₁ = S₁₂^'

Korzystając ze wzorów na obliczanie parametrów macierzy [S] czterowrotnika , otrzymujemy:

S₃₃ = S_22e

DODATEK

Jeżeli ilość wrót wejściowych nie jest równa ilości wrót wyjściowych należy macierz S rozszerzyć tak aby S₂₁ było macierzą nieosobliwą. Obwód rozszerzony przedstawia poniższy rysunek.

Wektor wymuszeń a_e = 0

(D1)

S_b, S_c, S_d - są to bloki rozszerzające macierz S₂₁ do macierzy nieosobliwej. Elementami bloków rozszerzających są 0 lub 1.Z zależności tej między innymi wynika, że b_e = S_c a_in

Ponieważ powyższe równanie macierzowe należy przekształcić do następującego równania:

(D2)

rozpatrzmy dwa ostatnie równanie z zależności (D1):

b_out = S₂₁ a_in + S_b a_e + S₂₂ a_out

b_e = S_c a_in + S_d a_e

Równania te (nieznacznie przekształcając) można zapisać w postaci macierzowej:

(D3)

Mnożąc przez macierz otrzymujemy:

(D4)

Dodając do tego równania zależność b_in = S₁₁ a_in + S₁₂ a_out oraz eliminując z niego a_in otrzymujemy:

(D5)

Z zależności tej wyznaczamy parametry transmisyjnej macierzy rozproszenia T.

W ogólnym przypadku macierz S₂₁ o wymiarze n × m i rzędzie r, może być rozszerzona do postaci

(D6)

S₁ - jest minorem macierzy S₂₁ o wymiarze r

Jeżeli macierz S₁ jest nieosobliwa to macierz ma rząd równy r wtedy i tylko wtedy gdy zachodzi zależność S₄ = S₂⋅S₁^-1 ⋅ S₃

Macierz odwrotna [S₂₁^e]^-1 wyraża się zależnością:

(D7)

Ogólnie zachodzą trzy możliwości:

1. n < m , wówczas S₂₁^e dane jest zależnością:

(D8)

• T_22a = [S₁^-1 , 0] T_22c = [-S₁^-1 S₃ , 1_in] (D9)

Podstawiając zależność (D9) do (D5) otrzymujemy:

(D10)

2. n = m , wówczas transmisyjną macierz rozproszenia obliczamy z zależności (26a)

3) n > m , wówczas S₂₁^e dane jest zależnością:

(D11)

• (D12)

Podstawiając zależność (D12) do zależności (D5) otrzymujemy:

(D13)

Przykład D1

Wyznaczyć transmisyjną macierz rozproszenia jednowrotnika dołączonego do wrót wyjściowych układu.

Jeżeli podstawimy a = b_e to równanie b = Γ⋅a możemy zapisać:

. Tak więc transmisyjna macierz rozproszenia tego jednowrotnika wynosi T₁ =

LITERATURA:

1. Rosłoniec S. - Metody matematyczne w projektowaniu układów elektronicznych o parametrach rozłożonych - WNT, Warszawa, 1988

2. Rosłoniec S. - Liniowe obwody mikrofalowe - Metody analizy i syntezy - WKŁ, Warszawa 1999

3. Dobrowolski J. - Technika wielkich częstotliwości - Oficyna Wydawnicza Politechniki Warszawskiej, W-wa 2001

4. Kaczorek T. - Macierze w automatyce i elektronice - WNT, W-wa, 1984

5. Dobrowolski J. - Introduction to Computer Methods for Microwave Circuit Analysis and Design - Artech House, Boston - London, 1991, rozdz.. 2

Macierz rozproszenia S, transmisyjna macierz rozproszenia T 4-7

------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

b_N

a_N

b_i

a_i

b₂

a₂

T_i

T₂

T₁

T_N

a₁

T₂

T₁

Czwórnik

(dwuwrotnik)

I₂

Z₀₂

b₁

U₂

Z₀₁

U₁

I_i

T₁, T₂ ..T_N - płaszczyzny odniesienia

U_i

U₂

I₁

I₂

T₂

T₁

Czwórnik

(dwuwrotnik)

Z_WE

Z₀₂

E

U₂

Z₀₁

U₁

a₁

a₂

b₁

b₂

I₁

I₂

Z_OB

Γ_w →

a₂

b₂

b₁

a₁

Γ_k

[S]

Z_S

I_N

U_N

I₁

U₁

Z_0N

Z_0i

Z₀₂

Z₀₁

N - wrotnik

---