Zmienna losowa Z ma rozkład normalny standardowy Z∼N(0,1). Wyznacz P(Z>1), P(Z<-2), P(-1<Z<1).
Tętno mężczyzny w wieku od 18 do 25 lat ma rozkład normalny ze średnią 72 i odchyleniem standardowym 9,7 uderzeń na minutę. Jeżeli za niezdolnego do pełnienia służby wojskowej uważa się mężczyznę o tętnie przekraczającym 100 uderzeń na minutę oblicz, jaka część mężczyzn w wieku od 18 do 25 lat może być uznana za niezdolnych do pełnienia służby wojskowej.
Rozkład wzrostu dorosłych Polaków jest zmienna losową X∼N(176 cm, 5 cm).
a) Jaki procent tej populacji przekracza 185 cm?
b) Jaki procent tej populacji nie przekracza 170 cm?
c) Wyznacz minimalny wzrost w populacji 10% najwyższych Polaków.
d) Wyznacz maksymalny wzrost w populacji 10% najniższych Polaków.
Wadliwość produktu wynosi 5%. Z bieżącej produkcji pobrano losowo 100 sztuk towaru. Wyznaczyć prawdopodobieństwo, że w pobranej próbie udział wadliwych sztuk jest większy niż 4%, mniejszy od 5%, jest zawarty między 5% i 6%.
Dostawca pewnych detali twierdzi, że ich wadliwość nie przekracza 5%. W celu sprawdzenia jego stwierdzenia przeprowadzono eksperyment, w którym wybrano losowo 100 detali, wśród których było 8 wadliwych. Czy informacja zawarta w próbce daje podstawy do podważenia twierdzenia dostawcy? Przyjmij poziom istotności 0,05.
Firma zatrudniająca 2000 pracowników ma zamiar budować parking, ponieważ przypuszcza, że ponad 60% pracowników przyjeżdża do pracy samochodem. Sprawdzić, czy przypuszczenie jest prawdziwe, jeśli spośród 250 losowo wybranych osób 206 przyjeżdża do pracy swoim samochodem. Przyjmij poziom istotności 0,02.
Wyznacz oszacowanie dla parametru p dla w/w przykładów.
W windach osobowych znajduje się instrukcja następującej treści: „maksymalne obciążenie 13 osób lub 1000 kg”. Zakładając, że waga pasażera ma rozkład normalny N(70 kg, 3 kg) wyznaczyć prawdopodobieństwo, że waga 13 przypadkowych osób przekroczy dopuszczalne obciążenie 1000 kg.
Wśród 350 wybranych losowo wyrobów znaleziono 31 wyrobów wadliwych. Wykorzystując wynik badania kontrolnego,
a) na poziomie istotności 0,01 zweryfikować hipotezę, że odsetek wyrobów wadliwych nie przekracza 8%,
b) na poziomie ufności 0,95 wyznacz oszacowanie dla odsetka wyrobów wadliwych.
c) ile dodatkowych pomiarów należy wykonać, aby przy zadanym poziomie ufności dwukrotnie zwiększyć dokładność oszacowania?
Rozkład czasu naszego dziennego dojazdu do pracy jest w przybliżeniu rozkładem jednostajnym J[0,5 h; 1 h], oraz czasy dojazdów w różne dni są niezależne. Ile w przybliżeniu wynosi prawdopodobieństwo zdarzenia, że średni dzienny dojazd w ciągu 30 dni przekroczy 0,8 h? (dojazdy w ciągu 30 dni zajmą więcej niż dobę).
Dokonano 120 niezależnych pomiarów wytrzymałości gotowych elementów konstrukcji żelbetowych, dla których średnia wyniosła 340 kG/cm2 natomiast wariancja była równa 125 kG/cm2.
a)Na poziomie istotności 0,05 zweryfikuj hipotezę, że średnia wytrzymałość gotowych elementów konstrukcji nie przekracza 325 kG/cm2.
b)Na poziomie ufności 0,95 wyznacz oszacowanie dla średniej wytrzymałości gotowych elementów konstrukcji.
Dokonano 100 niezależnych pomiarów wytrzymałości pewnych elementów konstrukcji żelbetowych i otrzymano średnią 426 kG/cm2 oraz odchylenie standardowe równe 100 kG/cm2,
a) na poziomie istotności 0,05 zweryfikuj hipotezę o tym, że przeciętna wytrzymałość tych elementów przekracza 410 kG/cm2,
b) na poziomie istotności 0,05 zweryfikuj hipotezę, że wariancja wytrzymałości jest mniejsza od 150,
c) na poziomie ufności 0,95 wyznacz oszacowanie dla przeciętnej wytrzymałości tych elementów,
d) na poziomie ufności 0,95 wyznacz oszacowanie dla wariancji wytrzymałości tych elementów.
Wykonano 5 pomiarów wytrzymałości pewnego materiału budowlanego otrzymując następujące wyniki: 20,4 19,6 22,1 20,8 21,1 (w kgGcm2).
a) Zakładając, że wytrzymałość tego materiału jest zmienną losową o rozkładzie normalnym N(μ,σ), na poziomie istotności α=0,01 zweryfikować hipotezę, że przeciętna wytrzymałość nie przekracza 19 kG/cm2.
b) Wyznacz oszacowanie dla przeciętnej wytrzymałości przyjmując poziom ufności 1-α=0,99.
c) Ile obserwacji należy wykonać, aby przy poprzednim poziomie ufności dwukrotnie zwiększyć dokładność oszacowania przeciętnej wytrzymałości?
Wysunięto przypuszczenie, że jakość produkcji pewnego wyrobu po wprowadzeniu nowej, tańszej technologii, nie uległa zmianie. Wylosowano niezależnie 120 sztuk tego wyrobu spośród produkowanych starą technologią i otrzymano 12 sztuk wadliwych. Wśród wylosowanych 160 sztuk wyprodukowanych przy zastosowaniu nowej technologii było natomiast 20 sztuk wadliwych. Na poziomie istotności 0,05 sprawdzić hipotezę o jednakowych procentach braków przy produkcji obu metodami.
Z dwu wydziałów dużego zakładu produkcyjnego wylosowano dwie próby w celu zbadania, jak hałas wpływa na ubytki słuchu pracowników. Z wydziału o małym natężeniu hałasu wylosowano 100 pracowników i po zbadaniu okazało się, że 8 pracowników ma poważne ubytki słuchu, natomiast na 120 wylosowanych pracowników wydziału o dużym natężeniu hałasu 20 pracowników ma poważne ubytki słuchu. Na poziomie istotności 0,05 zweryfikować hipotezę, że hałas na wydziale zwiększa ubytki słuchu.
Maszyna wytwarza drobne metalowe płytki. Średnica płytki jest zmienną losową o średniej 5 mm. Tak długo, jak długo wariancja średnicy płytki nie przekracza 1 mm2 uważamy, że proces produkcyjny jest pod kontrolą i płytki mają dopuszczalne wymiary. Jeżeli jednak wariancja przekracza 1 mm2, maszyną trzeba naprawić. Kontroler jakości chce sprawdzić, czy proces produkcji jest pod kontrolą. Pobrał w tym celu losową próbę 31 płytek i stwierdził w niej wariancję równą 1,62 mm2. Czy są podstawy do przypuszczenia, że proces produkcyjny wymknął się spod kontroli. Przyjmij poziom istotności α=0,05? Zakładamy, że rozkład średnicy płytki jest normalny.
Dokonano 12 pomiarów woltomierzem pewnego napięcia prądu i otrzymano z tej próby s2=0,9. Należy na poziomie istotności α=0,05 sprawdzić hipotezę, że wariancja pomiarów napięcia tym woltomierzem nie przekracza 0,6. Zakładamy, że rozkład średnicy płytki jest normalny.
Dokonano po 10 pomiarów tego samego napięcia prądu przy użyciu dwóch różnych woltomierzy. Dla pierwszego woltomierza otrzymano wyniki (V): 1,07, 1,13, 1,15, 1,15, 1,11, 1,09, 1,10, 1,14, 1,15, 1,11; natomiast dla drugiego woltomierza otrzymano : 1,08, 1,05, 1,03, 1,06, 1,05, 1,12, 1,06, 1,02, 1,08, 1,15. Sprawdź, czy wariancje napięcia pomierzonego tymi woltomierzami różnią się istotnie. Przyjmij poziom istotności 0,05. Zakładamy, że rozkład średnicy płytki jest normalny.
Wysunięto hipotezę, że czas potrzebny na obróbkę pewnego metalowego detalu można zmniejszyć przez zastosowanie innego niż dotychczas typu obrabiarki. Przy niezmienionych innych warunkach zmierzono dla wybranych losowo sztuk czasy wykonywania tego detalu na dwóch typach obrabiarek i otrzymano dla obrabiarki nowej następujące wyniki w minutach:15, 12, 10, 18, 14, 15, 13, a dla starej obrabiarki : 17, 11, 22, 18, 19, 13, 14, 16. Zakładając, że rozkład czasu potrzebnego na obróbkę jest normalny oraz, że wariancje są równe, zweryfikować wysuniętą hipotezę na poziomie istotności 0,05.
Dokonano po 10 pomiarów tego samego napięcia prądu przy użyciu dwóch różnych woltomierzy. Dla pierwszego woltomierza otrzymano wyniki (V): 1,07, 1,13, 1,15, 1,15, 1,11, 1,09, 1,10, 1,14, 1,15, 1,11; natomiast dla drugiego woltomierza otrzymano : 1,08, 1,05, 1,03, 1,06, 1,05, 1,12, 1,06, 1,02, 1,08, 1,15. Zakładając, że rozkład wyników pomiarów jest normalny na poziomie istotności 0,05
a) zweryfikować hipotezę o jednakowych wariancjach pomiaru napięcia wykonanych obu woltomierzami,
a) zweryfikować hipotezę o jednakowych wynikach pomiaru napięcia wykonanych obu woltomierzami.
Zmierzono czas reakcji na pewien bodziec u 8 kierowców badanych w pracowni psychotechnicznej przed i w 15 minut po wypiciu 100 g wódki. Wyniki przed wypiciem wódki były następujące (w sekundach): 0,22 0,18 0,16 0,19 0,20 0,23 0,17 0,25, a po wypiciu wódki: 0,28 0,25 0,20 0,30 0,19 0,26 0,28 0,24. Na poziomie istotności 0,05 sprawdź hipotezę, że wódka zwiększa czas reakcji na bodziec.