3. Kinematyka punktu materialnego

Kinematyka jest działem mechaniki zajmującym się ruchem postępowym ciała i jego cechami bez uwzględniania rozmiarów, i masy ciała. Do opisu takiego ruchu wystarczy zbadanie ruchu jednego jego punktu (tzw. „punktu materialnego”, w którym skupiona jest cała masa ciała). Pod pojęciem punktu materialnego rozumiemy ciało o rozmiarach znacznie mniejszych od odległości występujących w danym zagadnieniu. Przykładem takiego punktu materialnego może być zarówno elektron w atomie jak i Ziemia w układzie Słonecznym.

1. Układy odniesienia

Aby mówić o stanie kinematycznym ciała musimy podać jego położenie w jakimś układzie odniesienia. Położenie to określa tzw. wektor położenia lub wektor wodzący położenia. Najczęściej stosowanymi 3-wymiarowymi układami odniesienia są: układ współrzędnych prostokątnych, układ cylindryczny (lub biegunowy) i sferyczny. Rysunek 14 przedstawia te trzy układy i sposoby przeliczania współrzędnych na współrzędne prostokątne.

Rys 14 Układy współrzędnych: prostokątny, cylindryczny i sferyczny

x = r cosϕ x = r sinθ cosϕ

y = r sinϕ y = r sinθ sinϕ

z = z z = r cosθ

Łatwo sprawdzić, że we wszystkich układach:

x² + y² + z ² = r ².

Ruch ciała to nic innego jak zmiany położenia ciała (wektora wodzącego) w czasie
. Tor ruchu to wykres przestrzenny tej funkcji lub inaczej mówiąc zbiór kolejnych punktów, w których znajduje się ciało z upływem czasu. Ruch ciała możemy podzielić na ruch postępowy i ruch obrotowy bryły.

3.2. Ruch postępowy i obrotowy

Ruch postępowy to taki ruch, w którym nie zmienia się orientacja ciała w przestrzeni (np. ruch postępowy Ziemi wokół Słońca w ciągu roku). Ruch obrotowy to taki ruch, w którym potrafimy wskazać przynajmniej chwilową oś obrotu (oś obrotu to zbiór punktów nieruchomych). Mówimy wtedy także o osiowo symetrycznym polu prędkości punktów ciała materialnego. Przykładem tego ostatniego może być ruch wirowy Ziemi wokół własnej osi.

3.3. Prędkość, pęd, przyspieszenie

Podstawową wielkością kinematyczną opisującą ruch postępowy ciała jest prędkość
będąca pochodną wektora wodzącego
po czasie. Możemy zapisać wzór na prędkość średnią:

,

oraz na prędkość chwilową:

lub we współrzędnych prostokątnych:

,
,
.

W układzie cylindrycznym (3-wymiarowym) lub radialnym (2-wymiarowym) można określić składowe prędkości: radialną
(wzdłuż promienia wodzącego
) i transwersalną
(prostopadłą do promienia wodzącego
).

Uwzględniając zapis wektorowy otrzymujemy:

,
.

Pamiętajmy, że z prędkością związany jest pęd ciała równy iloczynowi masy i prędkości ciała (
).

Wielkością pochodną w stosunku do prędkości jest przyspieszenie
informujące o szybkości zmian wektora prędkości w czasie. W układzie współrzędnych prostokątnych:

oraz

.

We współrzędnych biegunowych otrzymujemy przyspieszenie radialne:

i transwersalne:

.

Ostatni składnik przyspieszenia związany jest z siłą Coriolisa odpowiadającą za podmywanie brzegów rzek płynących z prędkościami posiadającymi niezerowe składowe wzdłuż południka.

Można również przedstawić współrzędne w układzie środka krzywizny toru. Otrzymujemy wtedy składową normalną
(wzdłuż promienia krzywizny R) i styczną
(wzdłuż stycznej do toru).

,
.

Rozkład przyspieszenia na składowe w obu układach obrazuje rysunek 15.

Rys. 15 Rozkład przyspieszenia na składowe biegunowe i w układzie środka krzywizny

Rozpatrzymy teraz przypadek ruchu po okręgu ze stałą prędkością. Ponieważ wartość promienia jest stała dlatego składowa radialna prędkości jest równa zero. Składowa styczna prędkości jest równa:

,

a składowe przyspieszenia:

,

(pamiętając, że
).

Rys. 16 Prędkości i przyspieszenia w ruchu po okręgu

Ostatnią składową przyspieszenia w zapisie wektorowym można przedstawić (sprawdź zgodność kierunków i zwrotów na rysunku 16):

.

Przyspieszenie średnie liczymy podobnie jak prędkość średnią:

.

Mając podane definicje prędkości i przyspieszenia można przeprowadzić podział na różne rodzaje ruchu postępowego (analogicznie - obrotowego). Podział taki dla ruchu postępowego przedstawia rysunek 17.

W postępowym ruchu jednostajnie zmiennym szybkość (prędkość w ruchu prostoliniowym) oraz drogę obliczamy z wzorów:

,

.

Analogiczne wzory stosujemy dla obrotowego ruchu jednostajnie zmiennego.

Rys. 17 Podział ruchu postępowego

3.4. Układy inercjalne i nieinercjalne

Stwierdziliśmy, że aby mówić o ruchu trzeba ustalić układ odniesienia, w którym będziemy opisywać ruch. Wyobraźmy sobie dwa układy odniesienia. Jeden nieruchomy mający początek w punkcie O i drugi poruszający się ruchem postępowym względem pierwszego w kierunku osi OX ze stałą prędkością unoszenia
i mający początek w punkcie O' (rysunek 18).

Rys. 18 Ruch ciała w dwóch układach odniesienia

Wektory wodzące w układzie ruchomym
i w układzie nieruchomym
są ze sobą powiązane wektorem położenia układu ruchomego w układzie nieruchomym
.

Obliczając obustronnie pochodne otrzymujemy względność ruchu na poziomie prędkości ciał:

.

Policzenie kolejnej pochodnej prowadzi do związku między przyspieszeniami:

.

Wyliczając z ostatniego równania
i mnożąc obustronnie przez masę otrzymamy związek między siłami rejestrowanymi w obu układach odniesienia:

,

gdzie siła bezwładności:

.

W obu układach występuje siła rzeczywista
(posiadająca rzeczywiste źródło w postaci konkretnego ciała fizycznego). W układzie ruchomym rejestrowana jest także pozorna siła bezwładności, która nie ma realnego źródła w postaci jakiegoś ciała a pojawia się wskutek rachunkowych przekształceń związku wektorów wodzących (przejścia z jednego układu odniesienia do drugiego). Chcąc doprowadzić do jednakowej postaci równania ruchu w obu układach odniesienia:

należy przyjąć, że siła bezwładności jest równa zero. Warunek ten jest równoważny założeniu, że prędkość unoszenia jest stała. Tak więc możemy powiedzieć, że oba układy są równoważne w opisie ruchu - czyli inercjalne względem siebie gdy nie rejestrujemy w nich sił bezwładności lub inaczej mówiąc gdy poruszają się względem siebie ze stałą prędkością unoszenia (oczywiście także gdy są nieruchome względem siebie).

Z siłami bezwładności mamy do czynienia na każdym kroku (ruszający samochód lub winda, jazda na wirażu, wirówki, karuzele itd.). Wiele nieporozumień budzi pojęcie ciężaru. Dla wyjaśnienia rozważmy stan nieważkości czyli stan braku siły nacisku na podłoże (np. wagę). Ciężar ciała w tym przypadku jest równy zero chociaż działa na niego siła grawitacji. Tak więc na ciężar składają się siła grawitacji i rejestrowane w układzie nieinercjalnym siły bezwładności. Fakt ten (i elipsoidalny kształt Ziemi) powoduje różny ciężar tego samego ciała na różnych szerokościach geograficznych. Na równiku, przeciwna do siły grawitacyjnej, siła odśrodkowa (wynikająca z ruchu wirowego Ziemi) najbardziej wpływa na zmniejszenie mierzonego ciężaru.

5. Ruch w polu grawitacyjnym, rzuty

Na zakończenie tego rozdziału przeanalizujemy ruch ciała w polu grawitacyjnym (rzut ukośny). Jest to doskonały przykład na zastosowanie zasady niezależności ruchów. Mówi ona, że ruch ciała można analizować niezależnie wzdłuż różnych kierunków. Pomijając opory ruchów można powiedzieć, że ciało będzie poruszać się w kierunku poziomym ruchem jednostajnym prostoliniowym natomiast w pionie ruchem jednostajnie zmiennym (rysunek 19).

Rys. 19 Rzut ukośny

Zapisując współrzędne x i y jako funkcje czasu otrzymujemy:

,

.

Wyeliminowanie z nich czasu prowadzi do równania y(x) będącego równaniem paraboli z gałęziami skierowanymi w dół.

.

Z równania tego można wyliczyć zasięg „z” w rzucie ukośnym,

oraz stwierdzić, że maksymalny zasięg uzyskujemy dla kąta  o wartości 45^o (sin2α=1).

3.6. Elementy teorii względności

W poprzednich rozdziałach poznaliśmy takie pojęcia jak: układ odniesienia, ruch względność ruchu, układy inercjalne i nieinercjalne. Pierwsza zasada dynamiki postuluje istnienie układu odniesienia, w którym ciało spoczywa lub porusza się ruchem jednostajnym prostoliniowym, jeśli wypadkowa działających na niego sił jest równa zero. Układy nieruchome lub poruszające się ze stałą prędkością względem takiego układu odniesienia nazywamy układami inercjalnymi względem siebie. Zakładając, że układ ruchomy O' porusza się z prędkością unoszenia u w kierunku osi x względem nieruchomego układu O (patrz rozdział 3.4) otrzymujemy transformację Galileusza dla współrzędnych prostokątnych:

x' = x - ut,

y' = y,

z' = z,

t' = t.

Różniczkując pierwsze równanie po czasie otrzymujemy znany z mechaniki klasycznej związek między prędkościami:

.

Kolejna pochodna po czasie daje związek między przyspieszeniami:

.

Mnożąc ostatnie równanie przez masę ciała uzyskujemy związek między siłą
rejestrowaną w układzie nieinercjalnym a siłą rzeczywistą
(posiadającą konkretne źródło w postaci jakiegoś ciała) oraz pozorną siłą (siłę bezwładności)
. Pochodzenie tej ostatniej wynika z przyspieszenia ruchu jednego układu względem drugiego i nie wiąże się z istnieniem rzeczywistego jej źródła.

Zauważmy, że w transformacji Galileusza milcząco zakładamy niezmienniczość takich wielkości jak: czas i masa oraz nie ograniczamy możliwości dodawania prędkości.

Zastanowimy się teraz nad możliwością (szybkością) przekazu informacji (energii). Najszybszym znanym nam nośnikiem jest w tym przypadku światło. Przypomnijmy sobie teorię Wielkiego Wybuchu (BB). Posadźmy obserwatora bez masy na fotonie, który powstał po przekroczeniu progu Plancka i poruszał się bez przeszkód razem z horyzontem wszechświata. Patrząc przed siebie obserwator „widzi nic za horyzontem”. Obracając się do tyłu widzi to co było na początku fazy I inflacji tuż po BB. Sytuacja ta wiąże nie tylko osobliwość początkową z końcową ale uświadamia nam szczególną rolę transmisji informacji za pomocą światła. Postawiono pytanie dotyczące prędkości światła w różnych układach odniesienia. Rysunek 20 przedstawia doświadczenie Michelsona-Morleya mające wyznaczyć prędkość światła w różnych układach odniesienia.

Rys.20. Doświadczenie Michelsona-Morleya (M-M - Sz.Szczeniowski, Fizyka Doświadczalna)

Uzyskane wyniki świadczyły o tym, że prędkość światła (w próżni) jest stała we wszystkich układach inercjalnych i nie obowiązuje prawo składania prędkości wynikające z transformacji Galileusza.

Wprowadźmy do transformacji Galileusza współczynnik K (M.Sawicki, Elementy teorii względności) zależny od prędkości obiektu i o wartości zmierzającej do 1 dla małych wartości prędkości. Zapiszmy wzory transformujące współrzędną x dla przeciwnych prędkości
:

x = K (x' + ut'),

x' = K (x - ut).

Uwzględniając stałość prędkości światła:

x = ct,

x' = ct'.

Wstawiając t i t' do poprzednich wzorów otrzymujemy:

x = K (x' +
x') = Kx' (1+
) ,

x' = K (x -
x) = Kx (1-
)

gdzie
=
. Mnożąc stronami ostatnie równania otrzymujemy:

x x' = K² x x' (1 -
²),

.

Współczynnik K spełnia spełnia powyższy postulat. K zmierza do 1 przy wartości prędkości u znacznie mniejszej od prędkości światła w próżni (
.

Ponieważ
, stąd

,

.

Tak więc transformacja Lorentza ma postać:

,

y' = y,

z' = z,

.

Sprawdźmy teraz jakie są konsekwencje transformacji Lorentza dla takich niezmienników klasycznych jak: długość, czas, masa i składanie prędkości.

Niech w układzie odniesienia O długość pręta wynosi l, a w układzie O' - l'.

l = x₂ - x₁

l' = x₂' - x₁'

Z transformacji Lorentza:

,

,

stąd:

.

Ponieważ współrzędne końców pręta zmierzono w układzie O' w tym samym czasie stąd t₂'=t₁'. Momenty t₁ i t₂ wyznaczymy wykorzystując transformację Lorentza.

,

Z porównania obu czasów otrzymujemy:

,

a po wstawieniu do wzoru na l':

.

Ponieważ l = x₂-x₁ otrzymamy ostatecznie:

.

Oznacza to, że ze wzrostem prędkości układu O' (
) obserwujemy (obserwator w układzie O) skrócenie długości pręta. Zależność tą ilustruje rysunek 21.

Rys.21. Relatywistyczne skrócenie długości

Przy obliczaniu długości l' zakładaliśmy stałość czasu t₂'=t₁'. Przy wyznaczaniu upływu czasu musimy założyć stałość położenia x₂' = x₁', w którym obserwator w układzie O' zmierzy odstęp czasu t'=t₂'-t₁'. Wykorzystując odwrotną transformację Lorentza dla czasu (
):

,

i uwzględniając stałość położenia w O' otrzymamy:

t = t₂ - t₁ =
.

Wyobraźmy sobie wzrost kaktusa zabranego na statek kosmiczny i wysłanego w przestrzeń z dużą prędkością (
). W tej sytuacji normalny, dla kapitana statku wzrost roślinki będzie trwał dla obserwatora na Ziemi znacznie dłużej. Obserwator na Ziemi stwierdzi spowolnienie czasu wzrostu iglastego stwora. Może się zdarzyć, że kaktus wracając na Ziemię nie osiągnie wieku dojrzałego, podczas gdy na Ziemi wyginą ostatnie pokolenia kaktusów.

Wykorzystajmy odwrotną transformację Lorentza do uzyskania wzoru na dodawanie prędkości (np. w kierunku osi x).

,

Ponieważ
, stąd:

.

Z wzoru na v_x wynika, że jeśli wartości obu prędkości v_x' oraz u są równe c to prędkość w układzie O jest także równa c (a nie 2c).

Okazuje się również, że dla ciał poruszających się z dużymi prędkościami należy zamiast masy spoczynkowej m uwzględniać masę relatywistyczną m_r , gdzie:

.

Z wzoru tego wynika, że masa relatywistyczna rośnie gwałtownie do
przy wartości prędkości zmierzającej do c co ilustruje rysunek 22.

Rys.22. Masa relatywistyczna w funkcji prędkości

Przypomnijmy sobie zasadę zachowania materii z rozdziału 2. Mówi ona o zachowaniu energii wynikającej z ruchu ciała i energii odpowiadającej masie ciała w układzie izolowanym. Przekształćmy wzór na masę relatywistyczną. Podnieśmy do kwadratu i mnóżmy obie strony przez mianownik.

m_r² (1-
) = m²

W powyższym wzorze przyjmujemy, że v = u, tzn. wiążemy układ O' z poruszającym się ciałem. Mnożąc to równanie przez c⁴ uzyskujemy związek:

m_r²c⁴ = m²c⁴ + m²v²c².

Ponieważ mv jest równe pędowi ciała p, m_rc² całkowitej energii relatywistycznej E_r ciała a mc² energii odpowiadającej masie spoczynkowej ciała otrzymujemy:

E_r² = m²c⁴ + p²c².

Wzór ten łączący trzy rodzaje energii łatwo zapamiętać bazując na twierdzeniu Pitagorasa dla trójkąta prostokątnego (rysunek 23).

Rys.23. Graficzna ilustracja związku między energią relatywistyczną i masy spoczynkowej oraz pędem ciała

Uwzględniając efekty relatywistyczne wiążące odległość i czas z prędkością obiektu a także wyróżnioną wartość prędkości światła w próżni wprowadza się tzw. cztero-wymiarową przestrzeń Minkowskiego. Każde zdarzenie posiada w niej 3 współrzędne przestrzenne x, y, z i jedną czasową ict. Rysunek 24 przedstawia odpowiedni diagram Minkowskiego. Dla uproszczenia zaznaczono na nim współrzędną przestrzenną jako r a czasową jako współrzędną zespoloną ct.

Rys.24 Przestrzeń Minkowskiego

Punkt 0 oznacza teraźniejszość. Zdarzenia leżące wewnątrz górnego stożka odpowiadają przesyłaniu informacji lub poruszaniu się w przestrzeni z dozwolonymi prędkościami v<c. Stożek ten jest ograniczony linią świata fotonu czyli obiektu poruszającego się z maksymalnie dopuszczalną prędkością.

Inwariantem I (niezmiennikiem) w takiej czasoprzestrzeni jest:

I = s² = r² - c²t².

Dla światła jego wartość wynosi 0. Oznacza to, że światło i jego prędkość wyznaczają granice (linie świata), do których mogą dotrzeć obiekty fizyczne. Kolejny raz uwidacznia się rola światła w rozwoju i możliwościach poznawczych wszechświata.

Ciekawym i fundamentalnym zagadnieniem jest czas traktowany jako następstwo obserwowanych zjawisk. Popatrzmy na sytuację przedstawioną na rysunku 25. Wyobraźmy sobie dwie gwiazdy wybuchające w punktach: A i B. Wybuchają one w tym samym momencie dla obserwatora O₁ znajdującego się między nimi. Przyjmując stałą wartość prędkości światła stwierdzimy, że zjawisko jako równoczesne będzie rejestrowane przez wszystkich obserwatorów znajdujących się w płaszczyźnie symetrii punktów A i B. Dla wszystkich obserwatorów znajdujących się po stronie ciała A wcześniej wybucha gwiazda A (ze względu na krótszy czas dotarcia sygnału świetlnego). Analogicznie dla obserwatorów znajdujących się po stronie ciała wcześniej wybucha gwiazda B.

Rys.25 Relatywizm chronologii zdarzeń

Przedstawiony wyżej relatywizm chronologii zdarzeń może prowadzić do wątpliwości co do ustalonego (założonego) kierunku upływu czasu (strzałki czasu). Podobnie jednoczesne (z dużej odległości) zdarzenia w punktach A i B będą odbierane przez obserwatora znajdującego się na prostej przechodzącej przez te punkty w różnej kolejności, w zależności od tego, po której stronie źródeł będzie znajdował się obserwator.

---