14. Teoria względności

1905 - postulaty Einsteina:

I. Prawa przyrody są identyczne we wszystkich inercjalnych układach odniesienia.

II. Prędkość światła w próżni jest stała i taka sama we wszystkich inercjalnych układach odniesienia.

1984 → c = 299 792 458 m/s ⇒ wzorzec metra

Prędkość żadnego ciała przenoszącego energię lub informację nie może przekroczyć prędkości granicznej (niezależnie od czasu przyspieszania!). Eksperyment Bertozziego (1964) - przyspieszanie elektronów.

Szczególna teoria względności dotyczy jedynie inercjalnych układów odniesienia.

14.1. Transformacja Lorentza.

1893 - hipoteza Fitzgeralda, że wszystkie poruszające się względem eteru przedmioty ulegają skróceniu w tym samym kierunku, w którym odbywa się ruch przedmiotu.

1895 - Lorentz wzory transformacyjne dla układu poruszającego się:

y' = y z' = z

Podstawiając
otrzymamy dla transformacji odwrotnej wyrażenia:

x = γ(x' + v⋅ t') y = y' z = z'

Oczywiście gdy v << c to otrzymujemy wzory transformacji Galileusza:

x' = x - vt y' = y z' = z t' = t

Z postulatów Einsteina wynika konieczność innego niż dotychczas sposobu opisywania czasu i przestrzeni.

Obserwator siedzący w rakiecie obliczy prędkość impulsu świetlnego mierząc w czasie t' przebytą przez impuls drogę s'. Natomiast dla obserwatora stojący nieruchomo, impuls w czasie t przebędzie odcinek s.

Ale:
wynika z tego, że s' < s (droga przebyta w układzie poruszającym się musi być krótsza niż w układzie spoczywającym) oraz t' < t (czas płynący w układzie poruszającym się musi płynąć wolniej niż w układzie spoczywającym).

Drugą ważną konsekwencją postulatów Einsteina jest stwierdzenie, że zdarzenia jednoczesne w jednym układzie odniesienia nie muszą być jednoczesne gdy obserwujemy je z innego układu !

Światło z lampy umieszczonej w suficie padając na czujniki otwiera drzwi w obu końcach wagonu. Dla obserwatora poruszającego się drzwi otworzą się jednocześnie, ale dla obserwatora nieruchomego najpierw otworzą się tylne drzwi (które „doganiają” impuls świetlny). Obaj maja rację !!

14.2. Kontrakcja długości, dylatacja czasu.

Skrócenie (kontrakcja) długości

Pręt jest nieruchomy względem układu O' poruszającego się z szybkością v względem spoczywającego układu O.

Długość odcinka zmierzona w układzie O' :

l₀ = x'₂ - x'₁ = γ(x₂ - v⋅ t) - γ(x₁ - v⋅ t)

l₀ = γ (x₂ - x₁) = γ⋅ l

A więc
- zmierzona w układzie spoczywającym, długość poruszającego się pręta jest mniejsza od długości zmierzonej w układzie O'.

Jeżeli sytuacje odwrócimy:

Pręt nieruchomy w układzie O porusza się w stosunku do układu O'

l₀ = x₂ - x₁ = γ (x'₂ + v⋅ t) - γ(x'₁ + v⋅ t)

l₀ = γ (x'₂ - x'₁) = γ⋅ l

Długość pręta w ocenie obserwatora poruszającego się względem niego jest mniejsza.

Wniosek - zgodność z I postulatem Einsteina, że układy inercjalne są sobie równoważne we wszystkich układach odniesienia.

Wydłużenie (dylatacja) czasu

Zegar jest nieruchomy względem układu O' ⇒ Δt₀

W układzie O mierzony jest przedział czasu Δt

gdzie

Czyli Δt = γ⋅ Δt₀

Czas trwania zjawiska względem obserwatora w układzie O jest dłuższy.

Cząstki elementarne (o krótkim czasie życia) poruszające się z dużymi prędkościami v ≤ c mają długi czas życia dla obserwatora w laboratorium.

Pytanie - w znanym paradoksie bliźniąt, dlaczego astronauta wyruszający w kosmos będzie „młodszy” od bliźniaka pozostającego na Ziemi - skoro dla niego to właśnie Ziemia będzie się poruszać ?

Przykłady

1. W jaki sposób i z jaką szybkością powinien poruszać się prostopadłościenny kontener o wymiarach L₀ x L₀ x 1,5L₀ aby nieruchomy obserwator widział go jako sześcian ?

Odp. Ruch zgodny z najdłuższym wymiarem 1,5 L₀. Widziana długość L = 1,5 L₀ ma być równa L₀, a więc
stąd
czyli

Ostatecznie v = 0,75 c

2. Statek kosmiczny porusza się z szybkością 0,7c. na statku ustawiono stół konferencyjny wzdłuż osi statku. Długość stołu, jak zmierzył podczas lotu astronauta wynosiła 5m.

A. Jaka była długość stołu zmierzona przed odlotem z Ziemi 46 lat wcześniej?

B. O ile krótszy stół widzieliby podczas lotu obserwatorzy z Ziemi?

C. Ile lat wg czasu pokładowego minęło od startu?

Odp. A. O ile stół się nie skurczył ze starości, to w każdym układzie względem którego stół jest nieruchomy, jego długość wynosi 5.

Odp. B.
stąd L_Z = 3,57 m ΔL = 1,43 m

Odp. C. Δt_Z = γ⋅ Δt_S stąd Δt_S = 0,714⋅ 46 lat = 32,84 roku

3. W wyniku oddziaływania promieniowania kosmicznego na górne warstwy atmosfery powstają cząsteczki elementarne mezony π⁺, których czas życia liczony w układzie własnym (związanym z cząstką) wynosi 2,6⋅10^-8 s (0,924c). Zakładając, że powstające mezony mają prędkość V = 2,769⋅10⁸ m/s, obliczyć:

A. Czas życia mezonu w układzie związanym z laboratorium na Ziemi.

B. Długość drogi przebytej przez powstały mezon do chwili jego rozpadu mierzonej w układzie laboratoryjnym oraz w układzie własnym mezonu.

Odp. A. Δt_L = γ⋅ Δt_m
(ponad 2,5 razy dłuższy czas !!)

Odp.B. S_L = v⋅ Δt_L = 18,83 m natomiast w układzie własnym mezonu: S_m = v⋅ Δt_m = 7,19m

4. Długość nieruchomego pociągu jest taka sama jak długość tunelu i wynosi L₀. Pociąg ten jedzie z prędkością V = 0,1 c. Czy początek i koniec pociągu miną końce tunelu w tym samym czasie dla obserwatorów w pociągu i tunelu ? Jak długo trwał przejazd pociągu dla tych obserwatorów?

Odp. Dla obserwatora stojącego na ziemi długość pociągu będzie mniejsza niż długość tunelu:

L_p < L_t
L_p = 0.995⋅ L_t

Czas przejazdu całego pociągu przez tunel:

Dla obserwatora w pociągu długość tunelu będzie mniejsza niż pociągu:

L_p > L_t
stąd L_p = 1.005⋅ L_t

Czas przejazdu całego pociągu przez tunel:

y

O'

O

l₀

x₂

x₁

V

z'

V

Y'

y'

x

x'

z

z'

V

Y

X'

X

Z'

Z

O'

O

l₀

x₁'

x₂'

z

x'

x

y'

y

O'

O

Δt₀

L_t + L_p

L_p

V

z'

z

x'

x

y'

y

L_t + L_p

L_p

---