14. Teoria względności

14.3. Prędkość w układach inercjalnych.

Względem układu O' punkt materialny ma szybkość

Natomiast względem układu O ma szybkość

.

Skoro x = γ⋅ (x' + vt') to dx = γ⋅ (dx' + vdt')

Natomiast
więc

A zatem

Ostatecznie
dla v = 0 (układ O' w spoczynku) v₂ = v₁

Przykłady

1. Dwa akceleratory dają strumienie cząstek poruszające się w przeciwne strony - każdy z szybkością v₁ = v₂ = 0,9c. Obliczyć względną szybkość strumieni cząstek.

Klasyczna superpozycja: v_wzgl = v₁ + v₂ = 1,8 c ⇒ wynik zły !! v_wzgl > c

Dodawanie relatywistyczne:

2. Podczas zbliżania rakiety lecącej z szybkością 0,7c do pewnego układu słonecznego, wystrzelono z niej sondę, której szybkość względem słońca tego układu wynosiła 0,8c. Jaka była szybkość sondy względem rakiety ?

Dane: v = 0,7c; v₂ = 0,8c

Klasyczne dodawanie prędkości: v_wzgl = v₂ = v + v₁ stąd v₁ = v₂ - v = 0,1c - źle ! Wartość zaniżona!!

Dodawanie relatywistyczne:
stąd po przekształceniu

0,8c² - 0,7c² = (1 - 0,56)v₁c a zatem v₁ = 0,23c

14.4. Masa, energia.

II zasada dynamiki w ujęciu relatywistycznym:

Przyrost pędu ciała jest proporcjonalny do wartości działającej na ciało siły wypadkowej i czasu działania siły:
gdzie wartość pędu ciała wyraża się wzorem:

Einstein założył, że dla dużych prędkości przestaje być słuszny wzór
gdyż oznaczałoby to, że dowolna siła działając przez odpowiednio długi czas byłaby w stanie rozpędzić ciało nawet do prędkości przekraczających prędkość światła.

Ze wzoru Einsteina na pęd wynika, że zgodnie z teoria względności masa ciała rośnie wraz z prędkością układu, w którym ciało się znajduje. Tak więc wartość masy poruszającego się obiektu można obliczyć ze wzoru:

gdzie m₀ jest tzw. masą spoczynkową - masą ciała mierzoną w układzie, w którym ciało spoczywa.

Oczywiście, dla v << c m = m₀ a wzory na pęd ciała przybierają postać klasyczną.

Przykłady

1. Sonda, która znalazła się na orbicie wokółsłonecznej zarejestrowała uderzenia elektronów pochodzących z wiatru słonecznego, które poruszały się względem słońca z prędkością 0,8c. Ile razy masa tych elektronów była większa od masy elektronów sondy ?

2. Z jaką co najwyżej prędkością może poruszać się pojazd kosmiczny, aby masa podróżującej nim kosmonautki była maksymalnie o 5% większa od jej (niewielkiej zapewne) masy spoczynkowej ?

czyli maksymalna prędkość to v = 0,3c.

Związek między masą a energią.

Pęd relatywistyczny
podstawiając

Różniczkując po v otrzymujemy

Czyli

A więc

Skoro

Podstawiając otrzymujemy:

Całkując

Po podstawieniu granic całkowania otrzymujemy:

Ostatecznie

Każda zmiana energii związana jest ze zmianą masy - Δm

E₀ = m₀ c² - jest to energia spoczynkowa

E = m⋅ c² - energia całkowita

A więc ΔE = Δm⋅ c²

Przykłady

1. Wykazać, że relatywistyczna energia kinetyczna przechodzi dla v << c w klasyczną energię kinetyczną.

Rozwijamy wyrażenie γ w szereg:

A więc energia kinetyczna:

co było do udowodnienia.

2. Ile powinno wynosić napięcie przyspieszające elektron aby uzyskał on prędkość v = c ?

E_k = E_całk - E₀

wynika stąd, że jeżeli v → c to U → ∝

3. Spoczywające ciało o masie M rozpada się na dwa, o masach spoczynkowych m₀₁ oraz m₀₂. Wyznaczyć energie kinetyczne powstałych fragmentów uwzględniając efekty relatywistyczne.

Założenie F_zew = 0

Gdzie E₁ i E₂ - energie całkowite

0 = p₁ + p₂

Skoro
więc

A zatem

Stąd

Czyli

Ostatecznie

4. Słońce emituje w ciągu sekundy energię równą 6,5⋅10²¹ kWh. Przyjmując, że promieniowanie Słońca jest niezmienne, obliczyć po jakim czasie masa Słońca zmaleje do połowy.

E = ΔM⋅ c² oraz E = P⋅ t

Ponieważ

Stąd
przyjmując masę Słońca M = 1,99⋅10³⁰ kg

otrzymujemy: t = 1,23⋅10¹¹ lat - a więc - bez obaw !!

V

Y'

Y

X'

X

Z'

Z

p₁

dla c >> v

V₂

V₁

m₀₁

P₂

m₀₂

---