Politechnika Łódzka

Katedra Mechaniki Materiałów

Laboratorium Wytrzymałości Materiałów

INSTRUKCJA STATYSTYCZNEGO OPRACOWANIA WYNIKÓW BADAŃ

1. Wyznaczenie minimalnej liczności próby.

Minimalną liczność próby określa się na podstawie przeprowadzonej próby wstępnej

(m-elementowej).

1. Obliczyć wartość średnią x_o próby wstępnej

2. Obliczyć kwadrat odchylenia standardowego próby wstępnej.

1.3. Przyjąć wartość przedziału ufności 2∆x równą (0,6÷0,9)*(
)

gdzie:
wartość maksymalna i minimalna pomiaru w próbie wstępnej.

3. Wyznaczyć minimalną liczność próby ze wzoru.

gdzie: t_p odczytuje się z tablicy nr 5 dla zadanego poziomu

ufności p i stopni swobody υ , gdzie υ = m-1.

2. Badanie przynależności ekstremalnej do tej samej populacji (Test Dixsona).

Aby przeprowadzić powyższe badania należy:

1. Uszeregować wyniki pomiarów w porządku niemalejącym

X₁≤ X₂≤........ X_i≤ ....Xn

2. Obliczyć statystykę r stanowiącą sprawdzian hipotezy

gdzie: wartości i, j przyjmujemy wg poniższej tabeli

n	3-7	8-10	11-13	14-30
i	2	2	3	3
j	n	n-1	n-1	n-2

Dla zadanego poziomu istotności α oraz liczby pomiarów określić wartość krytyczną r_ij

z tabeli 2.

Jeżeli wartość r przekracza wartość krytyczną (dla odpowiedniego poziomu ufności) to wówczas odrzucamy ten pomiar jako nienależący do badanej populacji.

W przypadku odrzucenia najmniejszego pomiaru należy powtórzyć badanie dla kolejnej najmniejszej wartości zmiennej losowej.

3. Uszeregować wyniki pomiarów w porządku nierosnącym.

X₁≥ X_2≥........ X_i≥....≥Xn

4. Powtórzyć test jak w pkt. 2.2.

3. Sprawdzenie normalności rozkładu zmiennej losowej - test Kolmogorowa.

Obliczenia rachunkowe przeprowadza się w tabeli.

WYNIKI POMIARU	LICZBA WYNIKÓW POMIARU	SKUMULOWANE LICZBY WYNIKÓW POMIARÓW	Fe	Ft
1	2	3	4	5	6
X1	n1	n1	Fe(x1)	Ft(x1)
X2	n2	n1+ n2	Fe(x2)	Ft(x2)
......	.....	........	.....	.....	.........
Xi	ni	n1+ n2+..+ ni	Fe(xi)	Ft(xi)

1. Do kolumny 1 w pisać wyniki w kolejności niemalejącej bez powtórzeń.

2. Do kolumny 2 wpisać liczbę powtórzeń wartości X_i pomiaru.

3. Do kolumny 3 wpisać skumulowaną liczbę pomiarów.

4. Do kolumny 4 wpisać wartość dystrybuanty empirycznej obliczonej ze wzoru

F(x_i) =
(n₁+..... n_i)

gdzie: n- całkowita liczba pomiarów

5. Do kolumny 5 wpisać wartość dystrybuanty teoretycznej obliczonej ze wzoru

dla x_i<x_o

dla x_i>x_o

gdzie:
,

a funkcję
odczytujemy z tablicy 3.

6. Do kolumny 6wpisać wartość
   i podkreślić największą z nich i oznaczyć ją symbolem b,

3.7. Obliczyć wartość empiryczną λ_e statystyki λ Kołmogorowa

3.8. Dla poziomu istotności α obliczyć wartość Q(λ_o) = 1-α i dla wartości Q(λ_o) odczytać

z tablicy 4 wartość teoretyczną λ_t

Porównując wartości λ_e i λ_t można stwierdzić, że:

- jeśli λ_e < λ_t to hipoteza jest prawdziwa

- jeśli λ_e > λ_t to hipotezę trzeba odrzucić

4. Określenie przedziału ufności.

1. Wyznaczyć średnie odchylenie standardowe

2. Znaleźć statystykę t_p rozkładu Studenta dla liczby stopni swobody υ = n - 1 na podstawie tablicy 5.

Szerokość przedziału ufności wynosi.

5. Uwagi.

Potrzebne do obliczeń tablice statystyczne 1÷5 można znaleźć w następujących podręcznikach.

Tablica 1

Wartości dla rozkładu normalnego

-pozycja I str. 324,

Tablica 2

Krytyczne wartości sprawdzianu r w teście Dixsona

-pozycja I str. 329,

Tablica 3

Całka Laplace'a z rozkładu prawdopodobieństwa

-pozycja I str. 323, II str. 331, III str. 294,

Tablica 4

Rozkład Kołmogorowa-Smirnowa

-pozycja II str. 343, III str. 298,

Tablica 5

Wartości t_p dla rozkładu t studenta o r stopniach swobody

-pozycja I str. 328.

1. A. Strzałkowski, A. Sliżyński - Matematyczne metody opracowania

wyników pomiarów, PWN 1973

2. C. Platt - Problemy rachunku prawdopodobieństwa i statystyki

matematycznej, PWN 1977

3. A. Plucińska, E. Pluciński - Elementy probabilistyki PWN 1979.

Tablica ROZKŁAD NORMALNY

α	0,00	0,01	0,02	0,03	0,04	0,05	0,06	0,07	0,08	0,09
0,0	0,0000	0,0251	0,0502	0,0753	0,1004	0,1257	0,1510	0,1764	0,2019	0,2275
0,1	0,2533	0,2793	0,3055	0,3319	0,3585	0,3853	0,4125	0,4399	0,4677	0,4959
0,2	0,5244	0,5534	0,5828	0,6128	0,6433	0,6745	0,7063	0,7388	0,7722	0,8064
0,3	0,8416	0,8779	0,9154	0,9542	0,9945	1,0364	1,0803	1,1264	1,1750	1,2265
0,4	1,2816	1,3408	1,4051	1,4758	1,5548	1,6449	1,7507	1,8808	2,0537	2,3263
α	0,000	0,001	0,002	0,003	0,004	0,005	0,006	0,007	0,008	0,009
0,40	1,2816	1,2878	1,2930	1,2988	1,3047	1,3106	1,3165	1,3225	1,3285	1,3346
0,41	1,3408	1,3469	1,3532	1,3595	1,3658	1,3722	1,3787	1,3852	1,3917	1,3984
0,42	1,4051	1,4118	1,4187	1,4255	1,4325	1,4395	1,4466	1,4538	1,4611	1,4684
0,43	1,4758	1,4833	1,4908	1,4985	1,5063	1,5141	1,5220	1,5301	1,5382	1,5654
0,44	1,5548	1,5632	1,5718	1,5805	1,5893	1,5982	1,6072	1,6164	1,6258	1,6352
0,45	1,6442	1,6546	1,6646	1,6747	1,6849	1,6954	1,7060	1,7169	1,7279	1,7392
0,46	1,7507	1,7624	1,7744	1,7866	1,7991	1,8119	1,8250	1,8384	1,8522	1,8636
0,47	1,8808	1,8957	1,9110	1,9268	1,9431	1,9600	1,9774	1,9954	2,0141	2,0335
0,48	2,0537	2,0749	2,0969	2,1201	2,1444	2,1701	2,1973	2,2262	2,2571	2,2904
0,49	2,3263	2,3656	2,4089	2,4573	2,5121	2,5758	2,6521	2,7478	2,8782	2,0902

Tablica 2. Krytyczne wartości sprawdzianu r_ij dla badania przynależności ekstremalnej próby do populacji -test Dixsona

Sprawdzian	Liczba pomiarów n	Poziom istotności
				α = 0,05	α = 0,01
		3	0,941	0,988
		4	0,765	0,889
		5	0,642	0,780
		6	0,560	0,698
		7	0,507	0,637
		8	0,554	0,683
		9	0,512	0,635
		10	0,477	0,597
		11	0,576	0,679
		12	0,546	0,642
		13	0,521	0,615
		14	0,546	0,641
		15	0,525	0,616
		16	0,507	0,595
		17	0,490	0,577
		18	0,475	0,561
		19	0,462	0,547
		20	0,450	0,535
		21	0,440	0,524
		22	0,430	0,514
		23	0,421	0,505
		24	0,413	0,497
		25	0,406	0,489
		26	0,399	0,486
		27	0,393	0,475
		28	0,387	0,469
		29	0,381	0,463
		30	0,376	0,457

---