WIiTCh Grupa 15		Zespół nr	Data wykonania:
Nr ćwiczenia: 1	Wyznaczanie przyspieszenia ziemskiego za pomocą wahadła prostego.	Ocena:	Podpis:

1. Wprowadzenie do ćwiczenia

Przyspieszenie ziemskie g jest to przyspieszenie ciał spadających swobodnie w polu grawitacyjnym Ziemi (przy braku oporów ruchu).

Z prawa powszechnej grawitacji Newtona można wyliczyć, że na powierzchni Ziemi jego wartość dana jest wzorem:

gdzie G jest stałą grawitacji, a M_Z i R_Z są odpowiednio masą i promieniem Ziemi. Zatem na biegunach gdzie promień naszej planety jest najmniejszy, będzie ono miało największą wartość. Na wartość przyspieszenia wpływa również ruch obrotowy Ziemi - związane z nim przyspieszenie odśrodkowe zmniejsza mierzone przyspieszenie ziemskie na wszystkich szerokościach geograficznych poza biegunami. Oczywiście wartość przyspieszenia ziemskiego maleje wraz z wysokością nad powierzchnią Ziemi.

Przyspieszenie ziemskie wyznaczymy za pomocą wahadła prostego. Wahadło proste jest to mała kulka (zwykle metalowa) zawieszona na nierozciągliwej i lekkiej nici, której ciężar możemy zaniedbać. Kulka ma masę równą m i średnicę równą d natomiast nić ma długość. s.

Wychylona z położenia równowagi i swobodnie puszczona kulka wykonuje ruch drgający prosty.

Na ruch kulki o masie m odpowiedzialna jest tylko składowa jej ciężaru styczna do toru: F=mgsin
, która można rozłożyć na dwie składowe F1i F2, druga składowa - zgodna z kierunkiem napiętej nici - jest równoważona przez siłę napięcia sprężystego nici.

Przy wychyleniu o małe kąty (przyjmując kąt
< 5^o ) można z dostatecznie dobrym przybliżeniem traktować ruch kulki jako ruch harmoniczny prosty i przyjąć że:

Przy czym znak minus oznacza że siła jest przeciwnie skierowana do wychylenia.

a ponieważ wtedy:

Wtedy:

;
gdzie x-odległość kulki w poziomie od położenia równowagi

więc siła powodująca ruch kulki wyraża się wzorem:

czyli
określa stałą k w równaniu: F= -kx.

II. Zasada Dynamiki Newtona dla kulki ma postać:

gdzie:
;
czyli:

- jest to równanie ruchu Newtona dla kulki

podstawiając
otrzymujemy równanie ruchu harmonicznego:

.

bo

i ostatecznie otrzymujemy:

gdzie l jest długością wahadła

Z powyższego wzoru na okres można wywnioskować że nie zależy on ani od masy kulki m , ani od kąta wychylenia ϕ.

Czyli:

Z tego wzoru można wyliczyć wartość przyspieszenia ziemskiego - mając wyznaczone doświadczalnie okres drgań i długość wahadła (jednak podany wzór jest słuszny dla drgań o bardzo małej amplitudzie więc tylko takie drgania należy wziąć pod uwagę).

2. Metoda pomiaru

1. Wychylamy kulkę z położenia równowagi o nie więcej niż 5 stopni. Traktujemy wtedy ruch wahadła jako ruch wahadła harmoniczny prosty.

2. Przy użyciu stopera mierzymy czas trwania 10 okresów(20 wahnięć). Wykonujemy 10 pomiarów i wynik umieszczamy w tabeli.

3. Wykonujemy próbną serię 3 pomiarów długości nici s za pomocą przymiarki.

4. Suwmiarką mierzymy średnicę kulki (powtarzamy 3 razy).

5. Zapis pomiarów.

3. Wyniki pomiarów.

Wyniki pomiarów

Lp	10T [s]	l [cm]	d [mm]
1.	20,3	101,8	18,86
2.	20,6	101,6	18,85
3.	20,4	101,7	19,03
4.	20,1	101,5	19,04
5.	20,4	101,8	19,04
6.	20,8	101,4
7.	20,4
8.	20,4
9.	20,1
10.	20,8

4. Obliczenia i opracowanie wyników.

- dla okresu drgań:

nr. Pomiaru	10T [s]	T [s]	Tśr-Ti [s]	(Tśr-Ti)^2[s^2]
1	20,3	2,03	0,013	0,000169
2	20,6	2,06	-0,017	0,000289
3	20,4	2,04	0,003	0,000009
4	20,1	2,01	0,033	0,001089
5	20,4	2,04	0,003	0,000009
6	20,8	2,08	-0,037	0,001369
7	20,4	2,04	0,003	0,000009
8	20,4	2,04	0,003	0,000009
9	20,1	2,01	0,033	0,001089
10	20,8	2,08	-0,037	0,001369

- dla długości nici:

nr. pomiaru	S [cm]	Sśr-Si [cm]	(Sśr-Si)^2 [cm^2]
1	101,8	-0,166667	0,027778
2	101,6	0,0333333	0,001111
3	101,7	-0,066667	0,004444
4	101,5	0,1333333	0,017778
5	101,8	-0,166667	0,027778
6	101,4	0,2333333	0,054444

- dla średnicy kulki:

nr. pomiaru	d [mm]	dśr-di [mm]	(dśr-di)^2 [mm^2]
1	18,86	0,104	0,010816
2	18,85	0,114	0,012996
3	19,03	-0,066	0,004356
4	19,04	-0,076	0,005776
5	19,04	-0,076	0,005776

Obliczenia średnich arytmetycznych dla T, dla S i dla d:

-

-
=1,016 [m]

-

• Obliczenie odchyleń standardowych dla S,T i d:

Obliczenie niepewności przypadkowych (korzystając z tabeli Studenta-Fischera dla poziomu ufności
)

Wykonano 10 pomiarów T, 6 pomiarów S i 5 pomiarów d. Odpowiadający takiej liczbie pomiarów i stopniowi ufności
wsp. Studenta - Fischera wynosi:

więc:

*

• Niepewności systematyczne

- Czas 10T był mierzony stoperem o dokładności 0,2 s, a więc dla 10 T
.

- Długość nici mierzona była miernikiem o dokładności 0,1 [cm], a więc
.

- A średnica kulki była mierzona suwmiarką o dokładności 0,01 [cm], a więc

Obliczenie rozrzutów dla T,S i d.

- Tmax-Tmin=2,08-2,01=0,07 [s]

- Smax-Smin=101,8-101,4=0,4 [cm]

- dmax-dmin= 19,04-18,85=0,19 [mm]=0,019[cm]

• Obliczenie niepewności całkowitych dla d, S i T.

Niepewności pomiarowe całkowite są sumą niepewności przypadkowych i systematycznych, ale w naszym przypadku niepewności dominują nad systematycznymi, więc w obliczaniu niepewności całkowitej bierzemy pod uwagę tylko niepewności przypadkowe:

• Obliczenie g i błędu pomiarowego Δg

Ponieważ długość wahadła L powinniśmy mierzyć od punktu zaczepienia do środka kulki więc wzór na rzeczywistą wartość L ma postać:

,a błąd pomiarowy przy jej wyznaczaniu:

Aby policzyć najbardziej prawdopodobną wartość g należy podstawić za długość wahadła l we wzorze
policzone
, które jest w przybliżeniu równe:
.

Maksymalna niepewność względna określona wzorem, który ma postać:

a dla danych zadania maksymalna niepewność względna wynosi:

niepewność procentowa:

a obliczone ze wzorów g:

czyli:

niepewność maksymalna:

więc wynikiem doświadczenia jest otrzymana stała g równa:

5. Wnioski

G zmierzone i wyliczone z ćwiczenia:

g z tablic fizycznych (dla Krakowa):

różnica wynosi:

Tak więc, po porównaniu wartości przyspieszenia ziemskiego zmierzonej w laboratorium i przeze mnie obliczonej, z wartością g z tablic fizycznych, widać, że odchylenie od wartości tablicowej wynosi :

Wartość rzeczywista mieści się w oszacowanym przez nas maksymalnym błędzie pomiarowym.

Odchylenie od wartości tablicowej jest spowodowane :

• przyjęciem że ruch wahadła jest ruchem harmonicznym,

• małą liczbą pomiarów długości nici (tylko 6),

• jej rozciągliwością ,

• zaniedbaniem oporu powietrza i masy nici,

• zaniedbaniem tarcia nici w punkcie zawieszenia kulki,

• zaniedbaniem rozmiarów kulki i traktowanie jej jako punktu materialnego (bez uwzględnienia jej momentu bezwładności),

• nie uwzględnieniem faktu, że ruch nie odbywa się dokładnie w jednej płaszczyźnie,

• niedokładnością przyrządów pomiarowych lub osób posługujących się nimi.

1

10T - 10 okresów drgań

d - średnica kulki

l - długość nici

---