1.Teoria

Teoria obwodów prądu stałego opiera się na trzech podstawowych prawach jakimi są dwa prawa Kirchhoffa oraz prawo Ohma. Pierwsze prawo Kirchcoffa dotyczy węzła. Matematyczny zapis wygląda następująco
. Opisowo można powiedzieć, że suma wszystkich prądów w węźle jest równa 0, lub suma prądów wpływających do węzła jest równa sumie prądów wypływających z węzła. Drugie prawo Kirchhoffa opisuje zależność w oczku. Suma napięć zasilających (sił elektromotorycznych) jest równa sumie spadków napięć w oczku co matematycznie wyraża zapis
. Prawo Ohma dla obwodu zamkniętego opisane jest jednym wzorem
gdzie ε jest to siła elektromotoryczna działająca w obwodzie, a R jest całkowitym oporem obwodu.

W pierwszej części ćwiczenia należy wykonać pomiary rezystancji przy pomocy mostka Wheatstone'a. Ogólny schemat mostka przedstawia rysunek.

Ramiona mostka tworzą rezystory
gdzie
jest badaną rezystancją. Pomiar polega na doprowadzeniu mostka do stanu równowagi. Mostek jest zrównoważony gdy przez galwanometr nie płynie prąd. Oznacza to, że różnica potencjałów pomiędzy punktami C i D jest równa zeru, a więc napięcie pomiędzy punktami A i C jest równe napięciu pomiędzy punktami A i D (

). Ponieważ w stanie równowagi przez galwanometr nie płynie prąd, więc przez rezystory
płynie ten sam prąd o natężeniu I₁ ,a przez rezystory R₃ i R₄ prąd o natężeniu I₂ . Na podstawie prawa Ohma powyższe zależności można zapisać I₁R_x=I₂R₃ oraz I₁R₂=I₂R₄. Dzieląc stronami powyższe równania otrzymamy

W tym ćwiczeniu przyrządem pomiarowym jest liniowy mostek Wheatstone'a, który różni się od standardowego mostka tym, ze rezystory R₃ i R₄ zastąpiono opornikiem drutowym o stałym przekroju i ustalonej długości. Wzdłuż drutu ślizga się kontakt połączony z galwanometrem. Schemat liniowego mostka przedstawia rysunek.

Stosunek
można zastąpić stosunkiem
(korzystając z zależności
gdzie S jest przekrojem poprzecznym drutu, a ρ jego oporem właściwym) Korzystając z poprzedniej zależności można podać wzór roboczy, który ma postać

W pomiarach mostkiem Wheatstone'a dąży się do tego aby R₃≈R₄ (l₁≈l₂) , wówczas dokładność pomiarów będzie największa. Z tego powodu pomiar odbywa się w dwóch etapach. W pierwszym etapie dla dowolnej wartości rezystancji R₂ doprowadza się mostek do równowagi i określa szacunkową wartość rezystancji badanej. Następnie ustawia się rezystancję R₂ bliską szacunkowej wartości rezystancji badanej i ponownie doprowadza mostek do równowagi. Przy takim ustawieniu stosunek
będzie bliski jedności.

W drugiej części ćwiczenia polega na pomiarach oporu właściwego przewodnika metodą techniczną. Są dwa układy, w których można dokonywać pomiarów: układ poprawnie mierzonego napięcia (służy do pomiaru małych rezystancji
) oraz układ poprawnie mierzonego prądu (służy do pomiaru dużych rezystancji
). Schemat połączeń w układzie poprawnie mierzonego napięcia jest przedstawiony na rysunku.

W układzie tym woltomierz jest włączony równolegle do mierzonego opornika. Woltomierz wskazuje napięcie, które jest takie samo jak na końcówkach badanego rezystora. Miliamperomierz wskazuje natężenie prądu, który jest sumą prądu płynącego przez badany opornik i prądu płynącego przez woltomierz
. Jeżeli rezystancja wewnętrzna woltomierza
to rezystancję mierzoną można obliczyć z wzoru

W układzie poprawnie mierzonego prądu woltomierz jest włączony równolegle do badanej rezystancji i amperomierza co pokazuje rysunek.

Przy takim połączeniu amperomierz wskazuje natężenie prądu płynącego przez badaną rezystancję, a woltomierz wskazuje napięcie, które jest sumą napięcia na badanym oporniku i na rezystancji wewnętrznej amperomierza. Rezystancja wewnętrzna amperomierza określona jest wzorem
. Uwzględniając poprzednią zależność można przedstawić wzór roboczy określający rezystancję badaną

2.Wyniki i obliczenia

a. Pomiary oporów elektrycznych metodą mostka Wheatstone'a

Dla nieznanej wartości R_x

Lp.	R2[Ω]	l1[m]	l2[m]	Rx[Ω]
1	400	0,667	0,333	801,20
2	800	0,132	0,868	121,66
3	500	0,119	0,881	67,54
4	400	0,109	0,891	48,93

Dla znanej wartości R_x

Lp.	R2[Ω]	l1[m]	l2[m]	Rx[Ω]
1	801	0,5	0,5	801
2	121	0,507	0,493	124,4361055
3	67	0,508	0,492	69,17886179
4	48	0,511	0,489	50,1595092

Dla szeregowego połączenia oporników

R2[Ω]	l1[m]	l2[m]	Rx szereg[Ω]
1039	0,504	0,0496	1055,758065

Dla równoległego połączenia oporników

R2[Ω]	l1[m]	l2[m]	Rx równo[Ω]
22	0,512	0,488	23,08

b. Pomiar oporności właściwej przewodnika oporowego metodą techniczną

Dokładny pomiar napięcia

Lp.	l [m]	Ia [A]	Uv [V]	Rx [Ω]	Lp.	l [m]	Ia [A]	Uv [V]	Rx [Ω]
1	0,5	0,2	1,25	6,265664	9	0,34	0,2	0,85	4,257237
2	0,48	0,2	1,2	6,014435	10	0,32	0,2	0,8	4,00641
3	0,46	0,2	1,15	5,763255	11	0,3	0,2	0,75	3,755633
4	0,44	0,2	1,1	5,512127	12	0,28	0,2	0,7	3,504907
5	0,42	0,2	1,05	5,261048	13	0,26	0,2	0,65	3,25423
6	0,4	0,2	1	5,01002	14	0,24	0,2	0,6	3,003604
7	0,38	0,2	0,95	4,759042	15	0,22	0,2	0,55	2,753028
8	0,36	0,2	0,9	4,508115	16	0,2	0,2	0,5	2,502503

Dokładny pomiar natężenia

Lp.	l [m]	Ia [A]	Uv [V]	Rx [Ω]	Lp.	l [m]	I a[A]	Uv [V]	Rx [Ω]
1	0,5	0,2	1,3	6,35	9	0,34	0,2	0,9	4,35
2	0,48	0,2	1,25	6,1	10	0,32	0,2	0,85	4,1
3	0,46	0,2	1,2	5,85	11	0,3	0,2	0,8	3,85
4	0,44	0,2	1,15	5,6	12	0,28	0,2	0,75	3,6
5	0,42	0,2	1,1	5,35	13	0,26	0,2	0,7	3,35
6	0,4	0,2	1,05	5,1	14	0,24	0,2	0,65	3,1
7	0,38	0,2	1	4,85	15	0,22	0,2	0,6	2,85
8	0,36	0,2	0,95	4,6	16	0,2	0,2	0,55	2,6

d=
- średnica drutu

R_v=2500Ω - oporność wewnętrzna woltomierza

R_A=0,15Ω - oporność wewnętrzna miliamperomierza

3. Szacowanie niepewności pomiarowych

1. Pomiary oporów elektrycznych metodą mostka Wheatstone'a

Niepewnością pomiarową w tym ćwiczeniu obarczone są następujące wartości mierzone

l_1, l₂ i R_2. Niepewność pomiaru długości odpowiednich odcinków przewodów (l₁ i l₂) wynika z zastosowania do pomiaru ich długości przyrządu o określonej dokładności wzorcowania. W naszym przypadku zastosowaliśmy przyrząd, którego najmniejsza działka wynosiła 0,001m, a więc dla obydwu długości dokładność wzorcowania wyniesie
. Natomiast niepewność pomiaru wyniesie

.

Niepewność pomiaru oporu R₂ wynika z budowy przyrządu, każda z dekad jest z osobna obarczona pewnym błędem, który wywiera wpływ na niedokładność całego przyrządu. Niepewność bezwzględny najniższej dekady wynosi 0,1%, a pozostałych dekad 0,05%. Dokładność wzorcowania dla poszczególnych dekad określona jest przez iloczyn niepewności bezwzględnej i wartości odczytanej z danej dekady. Niepewność pomiarową oporu R₂ możemy określić następującym wzorem

,

gdzie ΔR_i - dokładność wzorcowania dla poszczególnych dekad.

Całkowita niepewność pomiarowa nieznanego oporu R_x będącego wielkością złożoną określona jest przez pierwiastek sumy kwadratów niepewności pomiarowej poszczególnych wielkości mierzonych pomnożonych przez kwadrat odpowiednich pochodnych cząstkowych, a więc

.

Po podstawieniu wzoru na R_x i obliczeniu odpowiednich pochodnych cząstkowych otrzymujemy

.

Niepewność rozszerzoną nieznanego oporu R_x otrzymujemy przez pomnożenie całkowitej niepewności pomiarowej przez odpowiedni współczynnik k_α zależny od poziomu ufności. My przyjmujemy współczynnik ufności α=0,95 dla którego współczynnik ten wynosi k_α=2.

Wartość niepewności pomiarowych dla poszczególnych doświadczeń przedstawia poniższa tabela

Lp.	UB(l1) [m]	UB(l2) [m]	UB(R2) [Ω]	U(Rx) [Ω]
1	0,00057735	0,00057735	0,230941	2,656516
2	0,00057735	0,00057735	0,029445	0,411012
3	0,00057735	0,00057735	0,017786	0,228989
4	0,00057735	0,00057735	0,012437	0,165987
Poł. Szeregowe	0,00057735	0,00057735	0,288852	3,49803
Poł. Równoległe	0,00057735	0,00057735	0,005888	0,076455

2. Pomiar oporności właściwej przewodnika oporowego metodą techniczną

Gdy dwie wartości x i y związane są ze sobą równaniem liniowym postaci y=ax+b,

analizę niepewności pomiarowej opiera się na metodzie regresji liniowej. Wykonując pomiary tych dwu wielkości x i y uzyskujemy pary liczb (x_i, y_i) i naszym zadaniem jest znaleźć równanie linii prostej (tzn. parametry a i b w równaniu prostej), najlepiej "pasującej" do nich. Niech równanie to będzie miało postać

a "dopasowanie" zgodnie z metodą najmniejszych kwadratów oznacza, że

gdzie a i b są empirycznymi współczynnikami regresji liniowej.

Jak łatwo zauważyć, wyrażenie w nawiasie w tym równaniu jest odchyleniem punktu eksperymentalnego (liczonym wzdłuż osi y) od odpowiadającej mu wartości wynikającej z równania prostej. Poszukując ekstremum związanego powyższego równania udowadnia się, że

gdzie i = 1,2,3,...,n, czyli n jest ilością par punktów (x_i, y_i).

Stąd otrzymujemy równanie prostej określającej zależność pomiędzy wartościami x i y. Za pomocą tego równania możemy dokonać analizy niepewności pomiarowej badanej wielkości. W naszym ćwiczeniu zależnością liniową charakteryzują się długość przewodnika l i opór R_x. Postępując zgodnie z wyżej opisaną metodą otrzymaliśmy równanie prostej dla dokładnego pomiaru napięcia (równanie a) i dla dokładnego pomiaru natężenia (równanie b)

1. R_x = 12,544 l - 0,0072

2. R_x = 12,5 l + 0,1

Współczynnik kierunkowy a w równaniu jest równy tangensowi kąta nachylenia prostej o danym równaniu do osi l, czyli stosunkowi R_x do l. Jeśli więc współczynnik a pomnożymy przez przekrój przewodnika S to otrzymamy oporność właściwą przewodnika ρ

.

Całkowita niepewność pomiarowa oporności właściwej będącej wielkością złożoną określona jest przez pierwiastek sumy kwadratów niepewności pomiarowej poszczególnych wielkości mierzonych pomnożonych przez kwadrat odpowiednich pochodnych cząstkowych, a więc

Po podstawieniu wzoru na ρ i obliczeniu odpowiednich pochodnych cząstkowych otrzymujemy

.

Niepewność pomiarowa przekroju poprzecznego przewodnika S wynika z zastosowania do pomiaru średnicy d przyrządu o określonej dokładności wzorcowania. W naszym przypadku zastosowaliśmy przyrząd, którego najmniejsza działka wynosiła
, więc niepewność pomiarową obliczamy metodą pochodnej cząstkowej z wzoru
, stąd otrzymujemy wartość równą
.

Niepewność pomiarowa współczynnika kierunkowego jest określona następującym wzorem

gdzie t_nα -odpowiedni współczynnik Studenta-Fishera zależny od liczby pomiarów n oraz poziomu ufności α (dla 16 pomiarów i poziomu ufności 0,95 t_nα=2,3),
-średnia arytmetyczna długości przewodu,
-poszczególne wartości długości przewodu,
-określona jest wzorem

,

gdzie R_xi -opór otrzymany doświadczalnie w danej próbie,
-opór teoretyczny otrzymany z równania prostej, n -liczba pomiarów.

Niepewność rozszerzoną oporności właściwej otrzymujemy przez pomnożenie całkowitej niepewności pomiarowej przez odpowiedni współczynnik k_α zależny od poziomu ufności. My przyjmujemy współczynnik ufności α=0,95 dla którego współczynnik ten wynosi k_α=2.

Podstawiwszy dane doświadczalne do wzorów otrzymujemy.

Dla dokładnego pomiaru napięcia

- oporność właściwa -

- niepewność rozszerzona oporności właściwej -

Dla dokładnego pomiaru natężenia

- oporność właściwa -

• niepewność rozszerzona oporności właściwej -
  

Po zaokrągleniu wyników otrzymujemy następujące wartości

Dla dokładnego pomiaru napięcia

- oporność właściwa -

Dla dokładnego pomiaru natężenia

- oporność właściwa -

4.Wnioski

Metoda techniczna poprawnie mierzonego napięcia jest w tym przypadku bardziej odpowiednią metodą pomiaru, gdyż służy ona do pomiaru małych rezystancji. Jednak znając wartości rezystancji wewnętrznych przyrządów można obliczyć faktyczną wartość badanej wielkości. Z wyników obliczeń widać, że właściwości przyrządów pomiarowych można obie metody uznać za jednakowo dokładne.

W przypadku pomiarów mostkiem Wheatstone'a należy dążyć do sytuacji, w której stosunek
będzie bliski jedności. Wówczas pomiar będzie najbardziej dokładny.

---