Charakterystyka fazowo-częstotliwościowa.

Cechą znamienną tej charakterystyki jest szybka jej zmiana w obszarze rezonansowym

(gdy nie ma tłumienia, jest gwałtowne przejście od 0 do π). ξ=2h/ω_o=c/√km;

ξ- iloraz względny współczynnika tłumienia i częstości własnej.

Częstość drgań dla połączenia sprężyn.

k_II=k₂+k₃; 1/k=1/k₁+1/k_II; 1/k=k₁+k₂+k₃/k₁(k₂+k₃); k=k₁(k₂+k₃)/k₁+k₂+k₃;

ω_o=√k/m=√k₁(k₂+k₃)//m(k₁+k₂+k₃)

Częstość drgań swobodnych.

Nietłumionych: mx”+kx=0; x=Asinω_ot; x'=Aωcosωt; x”=-Aω_o²sinω_ot;

-mω_o²+k=0; k=mω_o²; ω_o=√k/m - częstość drgań własnych.

Tłumionych. mx”+cx'+kx=0//m; x”+c/m x'+ k/m x=0; c/m=2h; k/m=ω_o²; x”+2h x'+ω_o² x=0;

Drgania

Procesy w trakcie których wielkości fizyczne na przemian rosną i maleją w czasie

Dynamiczne eliminatory drgań,

np.: tłumiki dynamiczne; izolatory drgań; tłumiki statyczne.

Drgania wymuszone.

Powstają, gdy na układ działa siła wymuszająca. Tłumione mx”+cx'+kx=Psinωt; nietłumione:

mx”+kx=Psinωt.

Składniki ruchu wymuszonego:

a) drgania własne układu- wynikające z narzuconych warunków początkowych. Jeżeli warunki początkowe

są zerowe, to drgania te nie powstaną.

b) drgania o częstości własnej- niezależne są od warunków początkowych, a zależne jedynie od

amplitudy, częstości i fazy początkowej siły wymuszającej. Drgania te wywołane są działaniem siły

wymuszającej i powstają także przy zerowych warunkach początkowych.

c) drgania wymuszone o częstości siły wymuszającej.

Dudnienie

Zjawisko nakładania się drgań harmonicznych o zbliżonych okresach T_d=2ω/T₁-T₂.

Dodawanie dwóch ruchów harmonicznych w zależności od ω.

1. ω₁=ω₂; x₁=A₁sinωt; x₂=A₂sinωt; na skutek nakładania się dwóch ruchów harmonicznych, powstaje nowy ruch okresowy harmoniczny

2. ω₁≈ω₂; zjawisko dudnienia

3. ω₁≠ω₂; nakładanie się ruchów harmonicznych o różnych częstościach. Dodawanie dwóch ruchów harmonicznych o różnych okresach może dawać ruch okresowy ale zawsze nieharmoniczny

Interpretacja wektorowa drgań

(ruchu harmonicznego jako okresowego wektora). Rzut wirującego wektora na oś nazywany drganiem

harmonicznym. y=Asinωt.

Jak znaleźć doświadczalnie podatność?

Mierzymy siłę na wejściu i wyjściu, amplitudę oraz przesunięcie fazowe, wtedy jesteśmy w

stanie wykreślić wykres doświadczalnej próby. α_(iω)=x_(iω)/Pe^st.

Określić jednostki: mx”+cx'+kx=Psinωt.

m- masa [N*s₂/m=kg]; c- tłumienie [N*s/m=kg/s]; k- sztywność [N/m=kg/s₂];

P- siła wymuszająca [N=kg*m/s₂];x”- przyspieszenie [m/s₂]; x'- prędkość [m/s]; x- droga [m].

Okres początkowy drgań wymuszonych tłumionych.

W wyniku takiego nakładania się drgań, układ na początku wpada w duże drgania, a z czasem maleją

one do wartości samych drgań wymuszonych. Drgania swobodne tłumione: x”+cx'+kx=0; drgania

wymuszone: mx”+cx'+kx=Psinωt. x=x_swob+x_wym; x_swob=Ae^-st_­; x_swob=Ae^-ht(Asinω_oτt+Bcosω_oτt);

ω_oτ=√(ω_o²-h²); x_wym=Asinωt; A=P/k(1-ω²/ω_o²); x_wym=P/k(1-ω²/ω_o²) * sinωt.

Płaszczyzna fazowa- warunek stabilności.

Położenie pierwiastków na płaszczyźnie fazowej S mówi nam o zachowaniu układu. Układ jest stabilny,

jeśli pierwiastki równania charakterystycznego leżą na lewej półpłaszczyźnie. Gdy pierwiastki leżą na

prawej półpłaszczyźnie to układ jest niestabilny. Tłumienie ujemne - układ niestabilny. x=Ae^st;

x'=Ase^st; x”=As²e^st; s=iω; mx”+cx'+kx=0; (ms²+cs+h)Ae^st=0//m; s²+2hs+ω_o²=0; s=-h±√(h²-ω_o²);

układ stabilny, gdy h>ω_o → s<0; niestabilny, gdy h<ω_o → s>0.

Położenie pierwiastków na płaszczyźnie fazowej w zależności od wartości tłumienia.

a) h>ω_o silne tłumienie c>2√km;

b) h<ω_o słabe tłumienie c<2√km;

c) h=ω_o tłumienie krytyczne c=2√km.

Podatność dynamiczna (transmitancja).

Iloraz wyjścia do wejścia z uwzględnieniem przesunięcia fazowego pomiędzy dwoma wielkościami.

mx”+cx'+kx=Pe^st; x=Ae^st; (ms²+cs+k)A=P; A=P/(ms²+cs+k)=P*α_(iω); α_(iω)=1/k-mω²+ciω; x_(iω)=α_(iω)*Pe^st.

Podział drgań.

a) swobodne nietłumione: mx”+kx=0;

b) swobodne tłumione: mx”+cx'+kx=0;

c) wymuszone nietłumione: mx”+kx=Psinωt;

d) wymuszone tłumione: mx”+cx'+kx=Psinωt.

Drgania: a) zdeterminowane: - okresowe (harmoniczne, nieharmoniczne);

- nieokresowe (pseudookresowe, dowolnie okresowe);

b) stochastyczne: - stacjonarne; - niestacjonarne.

Rezonans. Występuje, gdy ω=ω_o; amplituda drgań wymuszonych nietłumionych wzrasta do ∞. Najlepszą

metodą zmniejszenia drgań w rezonansie jest zwiększenie tłumienia. Im większy stosunek ω/ω_o, tym mniejsze drgania. mx”+kx=Psinωt; x=Asinωt; x'=Aωcosωt; x”=-Aω²sinωt;

(-mω²+k)A=P; A=P/k(1-ω²/ω_o²); P/k=x^st - ugięcie statyczne;

x/x^st=1/(1-ω²/ω_o²).

Rodzaje wibroizolacji.

Siłowa- polega na odizolowaniu źródła drgań układu od środowiska (otoczenia).

Przemieszczeniowa- polega na odizolowaniu drgającego środowiska (otoczenia) od chronionego układu

(obiektu).

Ruch swobodny nietłumiony dla różnych warunków początkowych.

x=Asinω_ot+Bcosω_ot; x'=Aω_ocosω_ot-Bω_osinω_ot; x”=-Aω_o²cosω_ot-Bω_o²sinω_ot; mx”+kx=0.

a) t=0; x=a; x'=0; a=0+B; B=a; 0=ω_oA+0; A=0; x=acosω_ot;

b) uderzamy o masę, t=0; x=0; x'=v_o; 0=0+B; B=0; v_o=Aω_o-0; A=v_o/ω_o; x=v_o/ω_o sinω_ot;

c) t=0; x=a; x'=v_o; a=0+B; B=a; v_o=Aω_o-0; A=v_o/ω_o; x=v_o/ω_o sinω_ot+acosω_ot.

Ruch o dwóch stopniach swobody.

Układ mechaniczny o 2 stopniach swobody może być układem prostym (1 element) o dwóch

elementarnych ruchach przemiennych lub układem złożonych (2 elementy), którego każdy

element realizuje jeden przemienny ruch prosty. m₁x₁”+k₁x₁+k₂(x₁-x₂)=Psinωt; m₂x₂”+k₂(x₂-x₁)=0.

Sprężyny połączone szeregowo

k=P/f → f=P/k; f=f₁+f₂; P=P₁=P₂ P/k=P₁/k₁+P₂/k₂; 1/k=1/k₁+1/k₂; 1/k=k₁+k₂/k₁*k₂; k=k₁*k₂/k₁+k₂.

Sprężyny połączone równolegle.

f=f₁+k₂; P=P₁=P₂; k=P/f → P=k*f; k*f=k₁*f₁+k₂*f₂; k=k₁+k₂.

Sztywność k w przypadku prętów:

a) ściskanych ∆L=PL/EF; P/∆L=EF/L; k=EF/L;

b) zginanych k=P/f; f=PL³/3EI; k=3EI/L³;

c) skręcanych φ=ML/GI_o; k=M/φ; k=GI_o/L.

Sposoby zmniejszenia drgań:

zmniejszenie wymuszenia (wydłużenie czasu działania siły); zmiana podatności dynamicznej; zmiana

parametrów układu (k, m, c); zmiana struktury układu; do masy głównej dokładamy małą masę m₂=1/20 m₁

drgania nikną.

Tłumienie krytyczne.

h=ω_o; 2h=c/m; ω_o=√k/m; c/2m=√k/m; c²/4m=k; c²=4km; c=2√km.

Wpływ k, c, m na drgania.

x_(t)=α_(iω)*Pe^iωt; α_(iω)=1/k-mω²+cω; α_(iω)=1/[k(1-ω²/ω_o²)+cω];

I- niskie, II- średnie, III- wysokie częstotliwości; α_I≈1/k - duży wpływ sztywności; α_II≈1/cω - duży wpływ

tłumienia; α_III≈1/mω² - duży wpływ masy.

Wahadło matematyczne.

-εLm-mgsinφ=0; ω=φ'; ε=φ”; φ”l+gsinφ=0; φ”+g/l sinφ=0; φ”+ω_o²φ=0

Współczynnik przenoszenia siły (izolacji)

Q-P≤N≤Q+P; N=kx; mx”+kx=Psinωt; x=Asinωt; x”=-Aω²sinωt; (-mω²+k)A=P;

A=P/k-mω²=P/k(1-ω²/ω_o²); N=P/(1-ω²/ω_o²); N=P*υ; υ=1/(1-ω²/ω_o²).

Zależność między ω f T

T=1/f [s]; T=2π/ω [s]; f=1/T [1/s]; ω=2πf=2π/T [rad/s].

---