Klasyfikacja par kinematycznych- pary kinematyczne dzielimy na klasy, podstawą podziału jest liczba stopni swobody danej pary kinematycznej

Para 1 klasy- 3 ruchy obrotowe, 2 ruchy postępowe, liczna więzów 1; 2 klasy- 3ro., 1rp, lw.1 3 klasy- 3ro, lw.3 4 klasy- 1ro, 1rp, lw.4, 5 klasy- 1rp, lw.1

Klasyfikacja par i łańcuchów kinem.- *niższe- pary w których występuje styk powierzchniowy np.: łożysko toczne, panewka, *wyższe- pary w których występuje styk liniowy lub punktowy np.: zęby koła zębatego, *pary kinematyczne wielokrotne

Łańcuchy kinematyczne- *proste- jeśli w skład wchodzi nie więcej niż 2 pary kinematyczne, *złożone- każdy człon łańcucha kinem. wchodzi w więcej niż 2 pary

Ruchliwość mechanizmu- liczba więzów, które należałoby nałożyć na człony ruchome mechanizmu, aby je unieruchomić względem podstawy. Liczba stopni swobody mechanizmu względem podstawy s=6*k-p1-2*p2-3*p3-4*p4-5*p5=6k-SUMA(i=1 do 5) ipi s-stopnie swobody k- liczba członów pi liczba par od 1 do 5 klasy. Ruchliwość mechanizmu: w=6n - SUMA(i=1 do 5) ipi n-ilość członów ruchomych (k-1) dla mech, płaskich: w= 3n-p4-2p5

Więzy bierne-takie ograniczenie ruchu względem członów łańcucha kinem. które są ścisłym powtórzeniem już istniejących więzów, są to więzy pozorne będące powtórzeniem więzów już nałożonych w inny sposób i nie wprowadzają żadnych nowych ograniczeń ruchu /_/_/

Zbędne stopnie swobody- nie mają wpływu na ruch mechanizmu jako całości. Dają one pewne lokalne możliwości ruchu, stosowanie zbędnych stopni swobody jest na ogół pożądane gdyż służą zmniejszeniu oporów ruchu np.: rolka w popychaczu

Metoda planów prędkości i przyspieszeń:

Opiera się na znanym twierdzeniu mechaniki, które mówi, że rzuty dwóch punktów należących do ciała sztywnego na prostą łączącą dwa punkty są równe.

Metoda planów prędkości i przyspieszeń:

*Planem prędkości członu sztywnego nazywamy miejsce geometryczne końców wektorów prędkości bezwzględnych odłożonych z jednego punktu zwanego biegunem planu prędkości. Plan prędkości członu jest do niego podobny pod względem konfiguracji i odwrócony w stosunku do niego o kąt90.

*Planem przyspieszeń członu sztywnego nazywamy miejsce geometryczne końców wektorów przyspieszeń bezwzględnych odłożonych z jednego punktu zwanego biegunem planu przyspieszeń. Plan prędkości jest do niego podobny pod względem konfiguracji punktów i obrócony w stosunku do niego o kąt α, którego tg opisany jest zależnością tgα=$\frac{\mathbf{\varepsilon}}{\mathbf{w}^{\mathbf{2}}}$.

Metoda analityczna: wyznaczania prędkości i przysp. Jest metodą ścisłą i pozwala z dowolną dokładnością wyznaczyć prędkości i przyspieszenia w poszukiwanych punktach mechanizmu.

Założenia: 1. Mechanizm zastępujemy zamkniętym wielobokiem wektorów, które w czasie ruchu mechanizmu mogą zmieniać swoją długość i położenie. 2. Tak zastąpiony mechanizm lokujemy w przyjętym kartezjańskim układzie współrzędnych. 3. Przez kąt wektora z osią rozumiemy zawsze dodatni kąt, o który należy obrócić oś, aby jej dodatni zwrot pokrył się z dodatnim zwrotem wektora. 4. Zależność między wektorami: $\sum_{i = 1}^{i = m}{li = 0}$ 5. Rzutując wektory na osie układu współrzędnych otrzymujemy zależności:

x:$\sum_{i = 1}^{i = m}{\text{li}*\cos\varphi_{i} = 0}$ y: $\sum_{i = 1}^{i = m}{\text{li}*\sin\varphi_{i} = 0}$

Mechanizmy krzywkowe

Mech. Krzywkowym nazywamy mechanizm składający się z krzywki i popychacza. Krzywka porusza się zwykle ruchem obrotowym (rzadziej postępowym). Popychacz porusza się ruchem postępowo-zwrotnym(rzadziej wahadłowym). M.k. tworzą parę kinematyczną o styku liniowym lub punktowym 4 klasy. Mogą być płaskie lub przestrzenne. W przypadku, gdy oś popychacza i oś obrotu krzywki leżą na jednej linii to mamy do czynienia z popychaczem umieszczonym centralnie. W przypadku, gdy oś popychacza i oś obrotu krzywki nie leżą na jednej linii mówimy o popychaczu umieszczonym mimośrodowo (mimośród „e”). Rodzaje popychaczy: -ostrzowy, grzybkowy, talerzykowy, wahadłowy.

Analiza mechanizmu krzywkowego:

sprowadza się do znalezienia wzniosu, prędkości, przyspieszenia popychacza w funkcji czasu lub kąta obrotu krzywki. Analiza m.k. może być prowadzona w sposób analityczny lub graficzny.

Główną zaletą m.k. jest łatwość uzyskania dowolnego przebiegu przemieszczenia, prędkości i przyspieszenia popychacza przy nieskomplikowanej, lekkiej konstrukcji. Wadą natomiast jest niecelowość stosowania przy dużych obciążeniach. M.k. stosowane są głównie przy wszelkiego rodzaju sterowaniach(rozrząd).

a)metoda analityczna:

h= ρ-r ; h=A-B ; h(φ)= ρ(φ)-r ; ρ=ρ(φ) ; φ= ω*t ; h=h(φ) ; φ= ω*t ; u= φ(t) ; h=h(t) ; v=$\frac{\text{du}}{\text{dt}}$ ; p=$\frac{\text{dv}}{\text{dt}}$

b) metoda graficzną: Jeżeli analizy m.k. nie da się przeprowadzić metodą analityczną lub gdy analiza jest bardzo utrudniona stosujemy metodę graficzną. Sposób postępowania w tej metodzie jest następujący:

Unieruchamiamy krzywkę i zmuszamy popychacz do ślizgania się po jej powierzchni aż do zajęcia położenia określonego kątem φ, przy którym chcemy znaleźć wznios. Następnie łukiem okręgu równym promieniowi krzywizny krzywki ρ odpowiadającym położeniu kątowemu φ wracamy z powrotem na pierwotną oś popychacza. Różnica przemieszczeń pomiędzy wtórnym a pierwotnym położeniem popychacza odpowiada poszukiwanemu wzniosowi.

Synteza m.k. polega na znalezieniu profilu krzywki celem zrealizowania określonego ruchu popychacza. Zadanymi parametrami mogą być:

-przebieg przemieszczenia popychacza w funkcji czasu;

-przebieg prędkości popychacza w funkcji czasu;

-przebieg przyspieszenia popychacza w funkcji czasu;

Dodatkowo możemy narzucić pewne warunki ograniczające:

a)maks. wznios popychacza;

b)maks. prędkość popychacza;

c)maks. przyspieszenie popychacza.

Dodatkowo musimy zawsze sprawdzić trzecią pochodną przemieszczenia popychacza po czasie $\frac{d^{3}h}{dt^{3}}$ czyli tzw. udar. Pochodna ta powinna mieć zawsze skończoną wartość w pełnym zakresie kąta obrotu krzywki. Syntezę m.k. możemy prowadzić metodami analitycznymi i graficznymi.

Metoda mas zastępczych- polega na zastąpieniu masy członu m kilkoma masami skupionymi mi w punktach w których przyspieszenie znamy. Warunki które powinny spełniać masy skupione zastępcze aby otrzymany dla nich układ sił bezwładności był równoważny rzeczywistemu są następujące: * suma mas zastępczych musi być równa masie członu, * środek masy układu mas zastępczych powinien pokrywać się ze środkiem masy członu nieruchomego, *moment bezwładności układu mas zastępczych powinien być równy momentowi bezwładności członu względem tej samej osi.

Redukcja mas-zastąpienie układu mas członów ruchowych mechanizmu lub maszyny masą zredukowaną skupioną w dowolnym punkcie lub zredukowanym momentem bezwładności członu redukcji przeprowadza się korzystając z równania chwilowych wartości energii kenrm. i wszystkich członów mechanizmów i członów redukcji sumaEi=Ez. Ek. mechanizmu w dowolnej chwili równa jest sumie energii kinetycznych poszczególnych jego członów Ez=Ei=SUMA(mi*Vi^2/2 + Ii*wi^2/2) Ek dla postępowego: Ez=mz*Vz^2/2 dla obrotowego: Ez=Izwz^2/2 Otrzymujemy masę zredukowaną: mz=SUMA[mi*(Vi/Vz)^2 + Ii*(wi/Vz)^2] zredukowany moment bezwładności: Iz=SUMA[mi*(Vi/wz)^2 + Ii*(wi/wz)^2]

Redukcja sił-zastępowanie układu sił zewnętrznych i momentów sił działających na ruchome człony mechanizmu lub mierzymy siłę zredukowaną, przyłożoną w dowolnie wybranym punkcie członu redukcji lub momentem zredukowanym przyłożonym do członu redukcji, przeprowadza się korzystając z równania chwilowych wartości mocy Ni wszystkich członów mechanizmu i Nz członów redukcji sumaNi=Nz. Moc chwilowa wszystkich członów maszyn: sumaNi=suma(RVi cosai + Miwi) a- kąt między kierunkiem siły a prędkości. Przyjmując zgodności działania Pz i Vx punktu redukcji moc członu wyniesie: Nz=Pz*Vz W przypadku zastąpienia momentów siły i wszystkich sił zawnet. momentem zredukowanym: Nz=Mz*wz Suma mocy chwilowych i mocy redukcji: Pz=SUMA[Pi*Vi*cosai/Vz + Mi*wi/Vz] W przypadku wyznaczenia momentu zredukowanego: Mz=SUMA[Pi*Vi*cosai/wz + Mi*wi/wz]

Równanie ruchu maszyny- ponieważ człon redukcji otrzymuje się w wyniku redukcji siły wychodząc z warunku równości elementarnych praw, a redukcji mas wychodząc z warunku równowagi energii kinetycznych, zatem przy badaniu ruchu członu redukcji, celowe jest wyjść z zasady równowartości energii kinetycznych i z pracy dE=dL. Dla ruchu postępowego celowe jest wyrazić dE za pomocą masy zredukowanej m_z, Różniczkę pracy za pomocą zredukowanej siły P_z, gdzie P_z=P_c-P_b (czynna-bierna. W ruchu obrotowym członu zredukowanego momentu bezwładności I_z, a dL za pomocą zredukowanego momentu resztkowego M_z gdzie M_z=M_c-M_b

ΔE_k=dL; d(m_z*$\frac{v^{2}}{2}$)=P_z*ds; $\frac{dm_{z}}{\text{ds}}*\frac{v^{2}}{2} + \frac{d(\frac{v^{2}}{2})}{\text{ds}}*m_{2} = P_{z}$; $\frac{dm_{z}}{\text{ds}}*\frac{v^{2}}{2} + \frac{d\left( \frac{v^{2}}{2} \right)*\text{dv}}{\text{ds}*\text{dv}}*m_{z} = P_{z}$; $\frac{dm_{z}}{\text{ds}}*\frac{v^{2}}{2} + v\frac{\text{dv}}{\text{ds}}*m_{z} = P_{z}$; $\frac{dm_{z}}{\text{ds}}*\frac{V^{2}}{2} + \frac{\text{ds}}{\text{dt}}*\frac{\text{dv}}{\text{ds}}*m_{z} = P_{z}$; $m_{z}*\frac{\text{dv}}{\text{dt}} + \frac{dm_{z}}{\text{ds}}*\frac{v^{2}}{2} = P_{z}$;

D(I_z*$\frac{w^{2}}{2}$)=M_z*dφ

I_z*$\frac{\text{dw}}{\text{dt}} + \frac{dI_{z}}{\text{dφ}} + \frac{w^{2}}{2} = M_{z}$

Otrzymane równania są równaniami różniczkowymi pierwszego rzędu ze względu na v lub w.

W przypadku gdy zredukowana masa M_z i zredukowany moment bezwładności I_z nie zależą od drogi ostatnie równania przyjmuja postać:

m_z *$\frac{\text{dv}}{\text{dt}} = P_{z}$

I_z*$\frac{\text{dw}}{\text{dt}} = M_{z}$

m_z*$\ddot{s} = P_{z}$

Iż$*\ddot{\varphi} = M_{z}$

Jeśli istnieje zmniejszenie przełożenia w maszynie to zredukowany moment jest funkcją obrotu I_z=I_z(fi) a moment zredukowany funkcją przemieszczenia m_z=m_z(s) Jeżeli położenie nie zmienia się podczas ruchu to: dI_z/dfi=0 dm_z/ds=0 dynamiczne równanie ruchu przyjmuje postać: P_z=m_z*dV/dt M_z=I_z*dw/dt M_z=M_z(fi; w; t) P_z=P_z(s; v; t)

Nierównomierność biegu maszyny-zmiana prędkości członu napędzanego maszyny w dowolnym Rychu ustalonym maszyny nazywam się dwuosiową nier.biegu.masz. w okresie jednego cyklu ruchu ustalonego lub stopniem nierównomierności biegu maszyny.

б=$\frac{\omega_{\max} - \omega_{\min}}{\omega_{sr}}$ ruch obrotowy б=$\frac{v_{\max} - v_{\min}}{v_{sr}}$ ruch postępowy

ω_śr=$\frac{\omega_{\max} + \omega_{\min}}{2}$

б=2$\frac{\omega_{\max} - \omega_{\min}}{\omega_{\max} + \omega_{\min}} = \frac{\omega_{\max}^{2} - \omega_{\min}^{2}}{2\omega_{\text{sr}}^{2}}$; $\frac{I_{z}*\left( \omega_{\max}^{2} - \omega_{\min}^{2} \right)*\omega_{\text{sr}}^{2}}{2\omega_{\text{sr}}} = L_{m}$;

$b = \frac{L_{m}}{I_{z}*\omega_{\text{sr}}^{2}}$

Stopień nierównomierności biegu maszyny jest tym większy, im większa jest nadwyżka pracy L_m oraz tym mniejszy, iim większa jest prędkość kątowa średnia i moment zredukowany bezwładności

Przekształcenia Laplace’a- umożliwia wprowadzenie równań różniczkowych do algebraicznych przez co ułatwia wykonanie działań algebraicznych. Przekształcenie łaplace’a polega na tym, że daną funkcję czasu f(t) zwaną oryginałem przekształcamy za pomocą ściśle określonych działań matematycznych na inną funkcję F(s) zmiennej niezależnej s, zwanej transformatą. Przekształcenie funkcji f(t) na F(s) za pomocą wzoru: F(s) = L[f(t)] = ∫₀^∞f(t)e^−stdt stosując jednostkowe przekształcenia Laplace’a używane automatyce, zakłada się, że dla t<0 f(t)=0 Aby można było używać transformaty funkcji f(t) muszą być spełnione warunki: * f(t) ma w każdym skończonym przedziale wartość skończoną. * f(t) ma pochodną F’(t) w każdym przedziale skończonym. * istnieje zbiór liczb rzeczywistych C, dla których ∫₀^∞f(t)e^−stdt jest absolutnie zbieżna.

Transmitancja operatorowa- t.o. G(s) nazywamy stosunek transformaty wielkości wyjściowej y(s) do transformaty wielkości wejściowej x(s) G(s)=y(s)/x(s) rodzaje wymuszeń: * wymuszenie jednostkowe: 1(t)=x(t)={0 dla t<0; 1 dla t>=0} * skokowe: x(t)=1(t)x_st[={0 dla t<0; x_st dla t>=0} * impulsowe: x(t)=δ(t)={0 dla t<0; ∞ dla t=0; 0 dla t>0} * liniowo narastające: x(t)=at * paraboliczne: x(t)= at² * harmoniczne: x(t)=Asin(wt)

Stabilnością układu automatyki: nazywamy jego zdolność powrotu do stanu równowagi stałej po ustalonym działaniu zakłócenia, które go z tego stanu wytraciło/

Dowolny element lub układ automatyki poddany zakłóceniom z(t) może być opisany następującym równaniem:

$a_{n}\frac{d^{n}y}{\text{dt}^{n}} + a_{n - 1}\frac{d^{n - 1}y}{\text{dt}^{n - 1}} + \ldots + a_{0}y = b_{m}\frac{b^{m}z}{\text{dt}^{m}} + b_{m - 1}\frac{b^{m - 1}z}{\text{dt}^{m - 1}} + \ldots + b_{0}z$

Poddając to równanie transformacji Laplace’a otrzymamy

a_nsⁿy(s) + a_n − 1s^n − 1y(s) + … + a₀y(s) = b_ms^mz(s) + b_m − 1s^m − 1z(s) + … + b₀z(s)

G(s)=$\frac{z(s)}{y\left( s \right)} = \frac{b_{m}s^{m} + b_{m - 1}s^{m - 1} + \ldots + b_{0}}{a_{n}s^{n} + a_{n - 1}s^{n - 1} + \ldots + a_{0}} = \frac{M(s)}{N(s)}$

N(s)-równanie charakterystyczne;

Równanie pierwsze można zapisać:

y(t)=($A_{0} + \sum_{k = 1}^{k = n}{A_{k}*e^{sk - t}}$)z_st

Gdzie:

A₀, A_k- stałe współczynniki;

S_k- pierwiastki równania charakterystycznego;

t- czas;

Z_st- statyczna wartość wymuszenia;

S_k>0

$\operatorname{}{(A_{0} + \sum_{k = 1}^{k = n}{A_{k}*e^{sk - t}})}z_{\text{st}} = \infty$

S_k<0

$\operatorname{}{(A_{0} + \sum_{k = 1}^{k = n}{A_{k}*e^{sk - t}})}z_{\text{st}} = \operatorname{}{(A_{0} + \sum_{k = 1}^{k = n}{A_{k}*\frac{1}{e^{sk - t}}})}z_{\text{st}} = A_{0}z_{\text{st}}$

Ogólny warunek stabilności elementu lub układu możemy sformułować następująco:

Części rzeczywiste pierwiastków charakterystycznych muszą być mniejsze od zera

Re(S_k)<0

Kryterium Hurtwitz’a: układ będziemy uważać za stabilny w sensie Hurwitz’a jeżeli dla równania charakterystycznego w postaci:

a_nsⁿ+ a_n-1s^n-1 +…+a₀=0

Spełnione będą następujące warunki:

a)wszystkie współczynniki równania charakterystycznego istnieja i są większe od 0.

a_n; a_n-1; a_n-2…; a₀>0

b)podwyznaczniki ∆_I dla i=2 i więcej utworzone z wyznacznika głównego ∆_n muszą być>0

$$_{n} = \left\lbrack \begin{matrix} a_{n - 1} & a_{n} & 0 \\ a_{n - 3} & a_{n - 2} & a_{n - 1} \\ a_{n - 5} & a_{n - 4} & a_{n - 3} \\ \end{matrix}\text{\ \ \ \ }\begin{matrix} 0 \\ a_{n} \\ a_{n - 2} \\ \end{matrix}\text{\ \ \ \ }\begin{matrix} . \\ . \\ . \\ \end{matrix} \right\rbrack$$

…

$$_{2} = \begin{bmatrix} a_{n - 1} & a_{n} \\ a_{n - 3} & a_{n - 2} \\ \end{bmatrix}$$

Kryterium Nyquista: opiera się o badanie charakterystyki amplitudowo-fazowej. Jeżeli przebiegać będzie ona w odpowiedni sposób to układ po zamknięciu będzie stabilny.

Jeżeli charakterystyka amplitudowo-fazowa układu otwartego dla ω zmieniającej się od 0 do ∞ zostawia punkt o współrzędnej (-1;j0) po lewej stronie idąc w kierunku zwiększającej się ω to układ po zamknięciu będzie stabilny