Efekt Halla W Germanie
Wst臋p Teoretyczny
Efekt Halla to zjawisko fizyczne polegaj膮ce na tym, 偶e w przewodniku z pr膮dem o nat臋偶eniu I umieszczonym w polu magnetycznym o indukcji B powstaje poprzeczne do pr膮du i pola magnetycznego napi臋cie elektryczne EH tzw. napi臋cie Halla UH.
Za pomoc膮 Efektu Halla, a tak偶e na podstawie znaku napi臋cia Halla mo偶liwe jest okre艣lenie znaku no艣nik贸w 艂adunk贸w poruszaj膮cych si臋 w przewodniku. Warto艣膰 sta艂ej Halla pozwala ustali膰 tak偶e wielko艣膰 koncentracji no艣nik贸w pr膮du.
Sta艂a Halla zwana tak偶e wsp贸艂czynnikiem Halla [dla elektron贸w; p贸艂przewodnik贸w typu n o 艂adunku no艣nika -e]
wyra偶ana jest wzorem:
RH = -
,
natomiast napi臋cie Halla charakteryzuje poni偶szy wz贸r:
UH = RH
,
gdzie :
I - oznacza nat臋偶enie pr膮du p艂yn膮cego przez pr贸bk臋,
S - pole przekroju pr贸bki, przez kt贸re przep艂ywa pr膮d,
n - koncentracja elektron贸w ( tzn. liczb膮 elektron贸w w jednostce obj臋to艣ci ).
Napi臋cie Halla jest wprost proporcjonalne zar贸wno do nat臋偶enia I pr膮du przep艂ywaj膮cego przez pr贸bk臋, jak i do wielko艣ci wektora indukcji magnetycznej B pola magnetycznego, w kt贸rym umieszczono pr贸bk臋.
Dla 艂adunk贸w dodatnich sta艂a Halla okre艣lona jest przez koncentracj臋 dziur p czyli liczb臋 艂adunku dodatniego w jednostce obj臋to艣ci. Wyra偶a si臋 ona wzorem:
RH =
.
Wyt艂umaczenie zjawiska Halla:
Gdy no艣nikami pr膮du b臋d膮 elektrony, przez pr贸bk臋 p艂yn膮膰 b臋dzie pr膮d i wytworzone zostanie pole elektryczne E o kierunku zgodnym z kierunkiem p艂yn膮cego pr膮du. Elektrony porusza膰 si臋 b臋d膮 natomiast w kierunku przeciwnym polu z pr臋dko艣ci膮 Vx. Gdy p艂ytk臋 umie艣cimy w polu magnetycznym, na poruszaj膮ce si臋 elektrony dodatkowo dzia艂a膰 b臋dzie si艂a Lorentza FL, pod kt贸rej wp艂ywem ka偶dy z p艂yn膮cych elektron贸w zostanie odchylony od pierwotnego kierunku. Wskutek zmiany toru ruchu elektrony gromadzi膰 si臋 b臋d膮 na jednej kraw臋dzi p艂ytki, r贸wnocze艣nie za艣 powstanie ich niedob贸r na drugiej kraw臋dzi. Dzi臋ki temu wytworzone zostaje dodatkowe pole elektryczne EH. Zjawisko to trwa do momentu, w kt贸rym dzia艂aj膮ca na elektrony si艂a pochodz膮ca od tego pola zr贸wnowa偶y FL.
Cel 膯wiczenia
Celem niniejszego 膰wiczenia jest:
ustalenie prawid艂owo艣ci rz膮dz膮cych efektem Halla oraz wyznaczenie sta艂ej Halla,
wyznaczenie koncentracji i ruchliwo艣ci no艣nik贸w pr膮du w germanie ( typu p lub n ),
wyci膮gni臋cie wniosk贸w dotycz膮cych rodzaju przewodnictwa w badanej pr贸bce.
Cel ten osi膮gn臋 analizuj膮c:
zale偶no艣膰 napi臋cia Halla UH od nat臋偶enia pr膮du I przep艂ywaj膮cego przez pr贸bk臋, gdy jest ona umieszczona w sta艂ym polu magnetycznym o indukcji B,
zale偶no艣膰 napi臋cia Halla UH od wielko艣ci indukcji B pola magnetycznego, gdy przez pr贸bk臋 przep艂ywa pr膮d o sta艂ym nat臋偶eniu I.
Dla zrealizowania powy偶szego zadania nale偶a艂o po艂膮czy膰 uk艂ad pomiarowy sk艂adaj膮cy si臋 z:
- obwodu zasilania badanej pr贸bki,
- miernik贸w:
a) nat臋偶enia pr膮du I steruj膮cego pr贸bk膮 (cyfrowy miliamperomierz),
b) napi臋cia Halla UH ( cyfrowy miliwoltomierz),
- elektromagnesu,
- sondy do pomiaru indukcji B ( Hallotron),
- miernika indukcji pola magnetycznego ( Teslametr).
Maksymalne warto艣ci dla:
nat臋偶enia pr膮du: Imax = 40 mA
nat臋偶enia pola magnetycznego: Bmax = 250 mT.
Parametry badanej pr贸bki:
Op贸r w temperaturze pokojowej: R0 = 60 鈩
Pole przekroju: S = (1,0 卤 0,1) 路 10-5 m2
Grubo艣膰 pr贸bki: d = (1,0 卤 0,1) 路 10-3 m
D艂ugo艣膰 pr贸bki: l = (0,020 卤 0,01) m
Wyniki Pomiar贸w
Pomiar UH= f ( I )
B [mT] |
100 |
||||||||||||||
I [mA] |
- 35 |
- 30 |
- 25 |
- 20 |
- 15 |
- 10 |
- 5 |
0 |
5 |
10 |
15 |
20 |
25 |
30 |
35 |
UH [mV] |
31,3 |
26,0 |
21,1 |
16,2 |
12,3 |
7,9 |
3,5 |
- 2,7 |
-7,0 |
-11,9 |
-16,4 |
-20,3 |
-25,7 |
- 30,1 |
- 34,8 |
B [mT] |
150 |
||||||||||||||
I [mA] |
- 35 |
- 30 |
- 25 |
- 20 |
- 15 |
- 10 |
- 5 |
0 |
5 |
10 |
15 |
20 |
25 |
30 |
35 |
UH [mV] |
46,9 |
39,2 |
33,1 |
26,1 |
18,9 |
12,7 |
5,2 |
- 3,4 |
- 10,6 |
- 16,7 |
- 23,3 |
- 29,9 |
- 37,8 |
- 44,3 |
- 51,1 |
B [mT] |
200 |
||||||||||||||
I [mA] |
- 35 |
- 30 |
- 25 |
- 20 |
- 15 |
- 10 |
- 5 |
0 |
5 |
10 |
15 |
20 |
25 |
30 |
35 |
UH [mV] |
62,0 |
52,6 |
42,6 |
35,0 |
26,5 |
17,6 |
10,0 |
- 0,4 |
- 11,6 |
- 20,1 |
- 31,0 |
- 39,9 |
- 49,1 |
- 57,5 |
- 66,0 |
B [mT] |
- 100 |
||||||||||||||
I [mA] |
- 35 |
- 30 |
- 25 |
- 20 |
- 15 |
- 10 |
- 5 |
0 |
5 |
10 |
15 |
20 |
25 |
30 |
35 |
UH [mV] |
- 39,6 |
- 32,7 |
- 28,3 |
- 22,8 |
- 18,4 |
- 12,3 |
- 7,7 |
- 0,6 |
4,8 |
10,4 |
15,2 |
20,1 |
26,5 |
31,6 |
36,3 |
B [mT] |
- 150 |
||||||||||||||
I [mA] |
- 35 |
- 30 |
- 25 |
- 20 |
- 15 |
- 10 |
- 5 |
0 |
5 |
10 |
15 |
20 |
25 |
30 |
35 |
UH [mV] |
- 56,2 |
- 47,2 |
- 40,3 |
- 32,5 |
- 25,5 |
- 19,0 |
- 9,9 |
- 1,4 |
8,9 |
16,4 |
22,2 |
30,7 |
40,6 |
46,9 |
54,1 |
B [mT] |
-200 |
||||||||||||||
I [mA] |
- 35 |
- 30 |
- 25 |
- 20 |
- 15 |
- 10 |
- 5 |
0 |
5 |
10 |
15 |
20 |
25 |
30 |
35 |
UH [mV] |
- 72,3 |
- 63,2 |
- 50,7 |
- 41,6 |
- 31,5 |
- 21,2 |
- 11,2 |
- 0,8 |
10,8 |
20,5 |
30,1 |
41,1 |
50,6 |
61,5 |
70,5 |
Pomiar UH= f ( B )
I [mA] |
15 |
||||||||||
B [mT] |
- 250 |
- 200 |
- 150 |
- 100 |
- 50 |
0 |
50 |
100 |
150 |
200 |
250 |
UH [mV] |
37,2 |
30,6 |
23,3 |
15,6 |
7,9 |
1,1 |
- 8,5 |
- 17,0 |
- 24,5 |
- 31,8 |
- 38,5 |
I [mA] |
25 |
||||||||||
B [mT] |
- 250 |
- 200 |
- 150 |
- 100 |
- 50 |
0 |
50 |
100 |
150 |
200 |
250 |
UH [mV] |
64,5 |
52,9 |
40,7 |
28,1 |
14,9 |
3,1 |
- 12,7 |
- 25,9 |
- 38,6 |
- 50,1 |
- 60,8 |
I [mA] |
35 |
||||||||||
B [mT] |
- 250 |
- 200 |
- 150 |
- 100 |
- 50 |
0 |
50 |
100 |
150 |
200 |
250 |
UH [mV] |
85,5 |
69,6 |
54,0 |
36,6 |
19,5 |
4,5 |
- 16,5 |
- 33,4 |
- 50,8 |
- 66,4 |
- 80,5 |
I [mA] |
- 15 |
||||||||||
B [mT] |
- 250 |
- 200 |
- 150 |
- 100 |
- 50 |
0 |
50 |
100 |
150 |
200 |
250 |
UH [mV] |
- 36,7 |
- 31,0 |
- 24,1 |
- 17,2 |
- 10,3 |
- 4,1 |
4,5 |
12,6 |
18,7 |
25,3 |
31,6 |
I [mA] |
- 25 |
||||||||||
B [mT] |
- 250 |
- 200 |
- 150 |
- 100 |
- 50 |
0 |
50 |
100 |
150 |
200 |
250 |
UH [mV] |
- 62,2 |
- 51,4 |
- 40,1 |
- 28,3 |
- 16,5 |
- 5,7 |
9,0 |
21,5 |
33,3 |
44,5 |
54,8 |
I [mA] |
- 35 |
||||||||||
B [mT] |
- 250 |
- 200 |
- 150 |
- 100 |
- 50 |
0 |
50 |
100 |
150 |
200 |
250 |
UH [mV] |
- 87,2 |
- 71,8 |
- 55,9 |
- 39,9 |
-21,4 |
- 7,5 |
12,9 |
30,0 |
46,2 |
61,4 |
75,1 |
Opracowanie Wynik贸w
Wykresy UH = f ( I ) dla okre艣lonej, sta艂ej warto艣ci indukcji pola magnetycznego B:
Dla B = 100 mT
Dla B = 150 mT
Dla B = 200 mT
Dla B = -100 mT
Dla B = -150 mT
Dla B = -200 mT
Analizuj膮c powy偶sze wykresy dla ustalonych warto艣ci B stwierdzam, 偶e UH zale偶y liniowo od I, co jest zgodne z za艂o偶eniami wynikaj膮cymi z r贸wna艅:
UH =
oraz UH = RH
.
Wykresy UH = f ( B ) dla okre艣lonej, sta艂ej warto艣ci nat臋偶enia p艂yn膮cego pr膮du:
Dla I = 15 mA
Dla I = 25 mA
Dla I = 35 mA
Dla I = -15 mA
Dla I = -25 mA
Dla I = -35 mA
Analizuj膮c powy偶sze wykresy dla ustalonych warto艣ci I stwierdzam, 偶e UH zale偶y liniowo od B, co jest zgodne z za艂o偶eniami wynikaj膮cymi z r贸wna艅:
UH =
oraz UH = RH
.
Wyznaczam wsp贸艂czynniki kierunkowe prostych regresji b臋d膮cych wykresami zale偶no艣ci UH = f ( I ) oraz
UH = f ( B ) wykorzystuj膮c metod臋 najmniejszych kwadrat贸w, w kt贸rej wsp贸艂czynnik kierunkowy a prostej jest wsp贸艂czynnikiem nachylenia dla wzoru y= a x + b. Podaj臋 tak偶e b艂膮d wyznaczania podanych wsp贸艂czynnik贸w. Do oblicze艅 wykorzystuj臋 program OPRA Wer. 8 opracowany przez Mariusza Panak (dost臋pny na stronie Centrum Nauczania Matematyki I Fizyki P艁):
Dla pomiaru UH= f ( I )
Dla B = 100 mT a= -0,9396429 b= -2,04 螖a= 0,0056013 螖b= 0,121
Dla B = 150 mT a= -1,404786 b= -2,33333 螖a= 0,007583 螖b= 0,16382
Dla B = 200 mT a= -1,845857 b= -1,95333 螖a= 0,014742 螖b= 0,31847
Dla B = -100 mT a= 1,086714 b= -1,16667 螖a= 0,007687 螖b= 0,16607
Dla B = -150 mT a= 1,5905 b= -0,81333 螖a= 0,014206 螖b= 0,30689
Dla B = -200 mT a= 2,053786 b= -0,49333 螖a= 0,007717 螖b= 0,1667
Korzystaj膮c z r贸wnania
i przekszta艂caj膮c je do postaci
okre艣lam znak i szacuj臋 sta艂膮 Halla, przy ustalanej indukcji B:
Dla B = 100 mT RH = -0,09396429
Dla B = 150 mT RH = -0,0936524
Dla B = 200 mT RH = -0,09229285
Dla B = -100 mT RH = -0,1086714
Dla B = -150 mT RH = -0,1060(3)
Dla B = -200 mT RH = -0,1026893
Dla dodatnich warto艣ci indukcji pola magnetycznego, sta艂a Halla zwi臋ksza si臋 wraz ze wzrostem warto艣ci B.
Dla ujemnych warto艣ci indukcji pola magnetycznego, sta艂a Halla zwi臋ksza si臋 wraz ze spadkiem warto艣ci B.
Dla pomiaru UH= f ( B )
Dla I = 15 mA a= -0,1551091 b= -0,41818 螖a= 0,0016767 螖b= 0,26511
Dla I = 25 mA a= -0,2567273 b= 1,46364 螖a= 0,025882 螖b= 0,40924
Dla I = 35 mA a= -0,3389818 b= 2,00909 螖a= 0,0031039 螖b= 0,49076
Dla I = -15 mA a= 0,1399091 b= -2,79091 螖a= 0,0015708 螖b= 0,24836
Dla I = -25 mA a= 0,2388909 b= -3,73636 螖a= 0,0022354 螖b= 0,35344
Dla I = -35 mA a= 0,3317636 b= -5,28182 螖a= 0,0032162 螖b= 0,50852
Korzystaj膮c z r贸wnania
i przekszta艂caj膮c je do postaci
okre艣lam znak i szacuj臋 sta艂膮 Halla, przy ustalanym pr膮dzie I steruj膮cym pr贸bk膮:
Dla I = 15 mA RH = -0,1034060667
Dla I = 25 mA RH = -0,10269092
Dla I = 35 mA RH = -0,09685194286
Dla I = -15 mA RH = -0,09327273333
Dla I = -25 mA RH = -0,09555636
Dla I = -35 mA RH = -0,0947896
Dla dodatnich warto艣ci nat臋偶enia pr膮du, sta艂a Halla zwi臋ksza si臋 wraz ze wzrostem warto艣ci I.
Dla ujemnych warto艣ci indukcji pola magnetycznego, sta艂a Halla zwi臋ksza si臋 wraz ze spadkiem warto艣ci B.
Obliczam koncentracj臋 no艣nik贸w 艂adunk贸w, kt贸rymi s膮 elektrony, korzystaj膮c ze wzoru:
. Nast臋pnie obliczam ruchliwo艣膰 pr膮du 碌 ze wzoru:
gdzie
jest przewodnictwem pr贸bki, za艣 l d艂ugo艣ci膮 pr贸bki.
Dla B = 100 mT n = 6,6101586 路 1019
碌 = 3,13214
Dla B = 150 mT n = 6,6321661 路 1019
碌 = 3,1217467
Dla B = 200 mT n = 6,7298646 路 1019
碌 = 3,0764267
Dla B = -100 mT n = 5,7155627 路 1019
碌 = 3,62238
Dla B = -150 mT n = 5,8577641 路 1019
碌 = 3,5344433
Dla B = -200 mT n = 6,0485200 路 1019
碌 = 3,4229767
Dla I = 15 mA n = 6,0065976 路 1019
碌 = 3,4468667
Dla I = 25 mA n = 6,0484249 路 1019
碌= 3,42303
Dla I = 35 mA n = 6,4130724 路 1019
碌= 3,2283967
Dla I = -15 mA n = 6,6591640 路 1019
碌= 3,10909
Dla I = -25 mA n = 6,5000234 路 1019
碌= 3,18521
Dla I = -35 mA n = 6,5525990 路 1019
碌= 3,1596533
Wnioski
Na podstawie analizy zale偶no艣ci napi臋cia Halla UH od nat臋偶enia pr膮du I przep艂ywaj膮cego przez pr贸bk臋, gdy jest ona umieszczona w sta艂ym polu magnetycznym o indukcji B, oraz zale偶no艣ci napi臋cia Halla UH od wielko艣ci indukcji B pola magnetycznego, gdy przez pr贸bk臋 przep艂ywa pr膮d o sta艂ym nat臋偶eniu I stwierdzam, 偶e w badanym materiale no艣nikami 艂adunku s膮 elektrony. U偶yta pr贸bka germanu to p贸艂przewodnik typu n, w kt贸rym wyst臋puje zjawisko przewodzenia elektronowego.
Zastosowane przeze mnie wzory u偶yte do oblicze艅 sta艂ej Halla nie daj膮 dok艂adnych wynik贸w warto艣ci obliczanych, poniewa偶 w przypadku opisu transportu no艣nik贸w pr膮du w p贸艂przewodniku nale偶y jeszcze uwzgl臋dni膰 statystyczny rozk艂ad pr臋dko艣ci no艣nik贸w, a wi臋c wzi膮膰 pod uwag臋 mechanizmy ich rozpraszania. R贸偶nice w zachowaniu si臋 uk艂adu s膮 powodowane tak偶e r贸偶n膮 ilo艣ci膮 elektron贸w swobodnych w materia艂ach.
l
I
S
d