Efekt Halla W Germanie

1. Wstęp Teoretyczny

Efekt Halla to zjawisko fizyczne polegające na tym, że w przewodniku z prądem o natężeniu I umieszczonym w polu magnetycznym o indukcji B powstaje poprzeczne do prądu i pola magnetycznego napięcie elektryczne E_H tzw. napięcie Halla U_H.

Za pomocą Efektu Halla, a także na podstawie znaku napięcia Halla możliwe jest określenie znaku nośników ładunków poruszających się w przewodniku. Wartość stałej Halla pozwala ustalić także wielkość koncentracji nośników prądu.

Stała Halla zwana także współczynnikiem Halla wyrażana jest wzorem:

R_H = - $\frac{\mathbf{1}}{\mathbf{n\ \bullet \ e}}$ ,

natomiast napięcie Halla charakteryzuje poniższy wzór:

U_H = R_H $\mathbf{\bullet \ }\left( \frac{\mathrm{I\ \bullet \ B\ \bullet \ d}}{\mathbf{S}} \right)$ ,

gdzie :

I - oznacza natężenie prądu płynącego przez próbkę,

S - pole przekroju próbki, przez które przepływa prąd,

n - koncentracja elektronów ( tzn. liczbą elektronów w jednostce objętości ).

Napięcie Halla jest wprost proporcjonalne zarówno do natężenia I prądu przepływającego przez próbkę, jak i do wielkości wektora indukcji magnetycznej B pola magnetycznego, w którym umieszczono próbkę.

Dla ładunków dodatnich stała Halla określona jest przez koncentrację dziur p czyli liczbę ładunku dodatniego w jednostce objętości. Wyraża się ona wzorem:

R_H = $\frac{\mathbf{1}}{\mathbf{p\ \bullet \ e}}$ .

Wytłumaczenie zjawiska Halla:

Gdy nośnikami prądu będą elektrony, przez próbkę płynąć będzie prąd i wytworzone zostanie pole elektryczne E o kierunku zgodnym z kierunkiem płynącego prądu. Elektrony poruszać się będą natomiast w kierunku przeciwnym polu z prędkością V_x. Gdy płytkę umieścimy w polu magnetycznym, na poruszające się elektrony dodatkowo działać będzie siła Lorentza F_L, pod której wpływem każdy z płynących elektronów zostanie odchylony od pierwotnego kierunku. Wskutek zmiany toru ruchu elektrony gromadzić się będą na jednej krawędzi płytki, równocześnie zaś powstanie ich niedobór na drugiej krawędzi. Dzięki temu wytworzone zostaje dodatkowe pole elektryczne E_H. Zjawisko to trwa do momentu, w którym działająca na elektrony siła pochodząca od tego pola zrównoważy F_L.

1. Cel Ćwiczenia

Celem niniejszego ćwiczenia jest:

• ustalenie prawidłowości rządzących efektem Halla oraz wyznaczenie stałej Halla,

• wyznaczenie koncentracji i ruchliwości nośników prądu w germanie ( typu p lub n ),

• wyciągnięcie wniosków dotyczących rodzaju przewodnictwa w badanej próbce.

Cel ten osiągnę analizując:

1. zależność napięcia Halla U_H od natężenia prądu I przepływającego przez próbkę, gdy jest ona umieszczona w stałym polu magnetycznym o indukcji B,

2. zależność napięcia Halla U_H od wielkości indukcji B pola magnetycznego, gdy przez próbkę przepływa prąd o stałym natężeniu I.

Dla zrealizowania powyższego zadania należało połączyć układ pomiarowy składający się z:

- obwodu zasilania badanej próbki,

- mierników:

a) natężenia prądu I sterującego próbką (cyfrowy miliamperomierz),

b) napięcia Halla U_H ( cyfrowy miliwoltomierz),

- elektromagnesu,

- sondy do pomiaru indukcji B ( Hallotron),

- miernika indukcji pola magnetycznego ( Teslametr).

Maksymalne wartości dla:

• natężenia prądu: I_max = 40 mA

• natężenia pola magnetycznego: B_max = 250 mT.

Parametry badanej próbki:

• Opór w temperaturze pokojowej: R₀ = 60 Ω

• Pole przekroju: S = (1,0 ± 0,1) · 10^-5 m²

• Grubość próbki: d = (1,0 ± 0,1) · 10^-3 m

• Długość próbki: l = (0,020 ± 0,01) m

1. Wyniki Pomiarów

Pomiar U_H= f ( I )

B [mT]	100
I [mA]	- 35
UH [mV]	31,3

B [mT]	150
I [mA]	- 35
UH [mV]	46,9

B [mT]	200
I [mA]	- 35
UH [mV]	62,0

B [mT]	- 100
I [mA]	- 35
UH [mV]	- 39,6

B [mT]	- 150
I [mA]	- 35
UH [mV]	- 56,2

B [mT]	-200
I [mA]	- 35
UH [mV]	- 72,3

Pomiar U_H= f ( B )

I [mA]	15
B [mT]	- 250
UH [mV]	37,2

I [mA]	25
B [mT]	- 250
UH [mV]	64,5

I [mA]	35
B [mT]	- 250
UH [mV]	85,5

I [mA]	- 15
B [mT]	- 250
UH [mV]	- 36,7

I [mA]	- 25
B [mT]	- 250
UH [mV]	- 62,2

I [mA]	- 35
B [mT]	- 250
UH [mV]	- 87,2

1. Opracowanie Wyników

1. Wykresy U_H = f ( I ) dla określonej, stałej wartości indukcji pola magnetycznego B:

Dla B = 100 mT

Dla B = 150 mT

Dla B = 200 mT

Dla B = -100 mT

Dla B = -150 mT

Dla B = -200 mT

Analizując powyższe wykresy dla ustalonych wartości B stwierdzam, że U_H zależy liniowo od I, co jest zgodne z założeniami wynikającymi z równań:

U_H = $- \frac{\ I\ \bullet B\ \bullet d\ }{n\ \bullet e\ \bullet \ S}$ oraz U_H = R_H $\bullet \ \left( \frac{\mathrm{I\ \bullet \ B\ \bullet \ d}}{S} \right)$.

1. Wykresy U_H = f ( B ) dla określonej, stałej wartości natężenia płynącego prądu:

Dla I = 15 mA

Dla I = 25 mA

Dla I = 35 mA

Dla I = -15 mA

Dla I = -25 mA

Dla I = -35 mA

Analizując powyższe wykresy dla ustalonych wartości I stwierdzam, że U_H zależy liniowo od B, co jest zgodne z założeniami wynikającymi z równań:

U_H = $- \frac{\ I\ \bullet B\ \bullet d\ }{n\ \bullet \ e\ \bullet \ S}$ oraz U_H = R_H $\bullet \ \left( \frac{\mathrm{I\ \bullet \ B\ \bullet \ d}}{S} \right)$.

1. Wyznaczam współczynniki kierunkowe prostych regresji będących wykresami zależności U_H = f ( I ) oraz

U_H = f ( B ) wykorzystując metodę najmniejszych kwadratów, w której współczynnik kierunkowy a prostej jest współczynnikiem nachylenia dla wzoru y= a x + b. Podaję także błąd wyznaczania podanych współczynników. Do obliczeń wykorzystuję program OPRA Wer. 8 opracowany przez Mariusza Panak (dostępny na stronie Centrum Nauczania Matematyki I Fizyki PŁ):

• Dla pomiaru U_H= f ( I )

• Dla B = 100 mT a= -0,9396429 b= -2,04 Δa= 0,0056013 Δb= 0,121

• Dla B = 150 mT a= -1,404786 b= -2,33333 Δa= 0,007583 Δb= 0,16382

• Dla B = 200 mT a= -1,845857 b= -1,95333 Δa= 0,014742 Δb= 0,31847

• Dla B = -100 mT a= 1,086714 b= -1,16667 Δa= 0,007687 Δb= 0,16607

• Dla B = -150 mT a= 1,5905 b= -0,81333 Δa= 0,014206 Δb= 0,30689

• Dla B = -200 mT a= 2,053786 b= -0,49333 Δa= 0,007717 Δb= 0,1667

Korzystając z równania $\mathbf{a =}\mathbf{R}_{\mathbf{H}}\mathbf{\ }\frac{\mathbf{B\ \bullet \ d}}{\mathbf{S}}$ i przekształcając je do postaci $\mathbf{R}_{\mathbf{H}}\mathbf{= \ }\frac{\mathbf{a\ \bullet \ S}}{\mathbf{B\ \bullet \ d}}$ określam znak i szacuję stałą Halla, przy ustalanej indukcji B:

• Dla B = 100 mT R_H = -0,09396429 $\frac{\mathbf{m}}{\mathbf{T}}$

• Dla B = 150 mT R_H = -0,0936524 $\frac{\mathbf{m}}{\mathbf{T}}$

• Dla B = 200 mT R_H = -0,09229285 $\frac{\mathbf{m}}{\mathbf{T}}$

• Dla B = -100 mT R_H = -0,1086714 $\frac{\mathbf{m}}{\mathbf{T}}$

• Dla B = -150 mT R_H = -0,1060(3) $\frac{\mathbf{m}}{\mathbf{T}}$

• Dla B = -200 mT R_H = -0,1026893 $\frac{\mathbf{m}}{\mathbf{T}}$

Dla dodatnich wartości indukcji pola magnetycznego, stała Halla zwiększa się wraz ze wzrostem wartości B.

Dla ujemnych wartości indukcji pola magnetycznego, stała Halla zwiększa się wraz ze spadkiem wartości B.

• Dla pomiaru U_H= f ( B )

• Dla I = 15 mA a= -0,1551091 b= -0,41818 Δa= 0,0016767 Δb= 0,26511

• Dla I = 25 mA a= -0,2567273 b= 1,46364 Δa= 0,025882 Δb= 0,40924

• Dla I = 35 mA a= -0,3389818 b= 2,00909 Δa= 0,0031039 Δb= 0,49076

• Dla I = -15 mA a= 0,1399091 b= -2,79091 Δa= 0,0015708 Δb= 0,24836

• Dla I = -25 mA a= 0,2388909 b= -3,73636 Δa= 0,0022354 Δb= 0,35344

• Dla I = -35 mA a= 0,3317636 b= -5,28182 Δa= 0,0032162 Δb= 0,50852

Korzystając z równania $\mathbf{a =}\mathbf{R}_{\mathbf{H}}\mathbf{\ }\frac{\mathbf{I\ \bullet \ d}}{\mathbf{S}}$ i przekształcając je do postaci $\mathbf{R}_{\mathbf{H}}\mathbf{= \ }\frac{\mathbf{a\ \bullet \ S}}{\mathbf{I\ \bullet \ d}}$ określam znak i szacuję stałą Halla, przy ustalanym prądzie I sterującym próbką:

• Dla I = 15 mA R_H = -0,1034060667 $\frac{\mathbf{m}}{\mathbf{A}}$

• Dla I = 25 mA R_H = -0,10269092 $\frac{\mathbf{m}}{\mathbf{A}}$

• Dla I = 35 mA R_H = -0,09685194286 $\frac{\mathbf{m}}{\mathbf{A}}$

• Dla I = -15 mA R_H = -0,09327273333 $\frac{\mathbf{m}}{\mathbf{A}}$

• Dla I = -25 mA R_H = -0,09555636 $\frac{\mathbf{m}}{\mathbf{A}}$

• Dla I = -35 mA R_H = -0,0947896 $\frac{\mathbf{m}}{\mathbf{A}}$

Dla dodatnich wartości natężenia prądu, stała Halla zwiększa się wraz ze wzrostem wartości I.

Dla ujemnych wartości indukcji pola magnetycznego, stała Halla zwiększa się wraz ze spadkiem wartości B.

1. Obliczam koncentrację nośników ładunków, którymi są elektrony, korzystając ze wzoru: $\mathbf{R}_{\mathbf{H}}\mathbf{= \ -}\frac{\mathbf{1}}{\mathbf{n\ \bullet e}}\mathbf{\ \ ,\ }przyjmujac,\ ze\ \mathbf{e\ = \ 1}\mathbf{,}\mathbf{61\ \bullet \ }\mathbf{10}^{\mathbf{- 19}}\mathbf{\text{\ C}}$. Następnie obliczam ruchliwość prądu µ ze wzoru: $\mathbf{\mu = \ }\frac{\mathbf{\sigma}}{\mathbf{n\ \bullet e}}\mathbf{\ \ ,\ }$gdzie $\mathbf{\sigma = \ }\frac{\mathbf{l}}{\mathbf{R}_{\mathbf{0\ }}\mathbf{\ \bullet \ S}}$ jest przewodnictwem próbki, zaś l długością próbki.

• Dla B = 100 mT n = 6,6101586 · 10¹⁹ $\frac{\mathbf{1}}{\mathbf{m}^{\mathbf{3}}}$ µ = 3,13214$\mathbf{\text{\ \ }}\frac{\mathbf{m}^{\mathbf{2}}}{\mathbf{s\ \bullet \ V}}$

• Dla B = 150 mT n = 6,6321661 · 10¹⁹ $\frac{\mathbf{1}}{\mathbf{m}^{\mathbf{3}}}$ µ = 3,1217467$\mathbf{\text{\ \ }}\frac{\mathbf{m}^{\mathbf{2}}}{\mathbf{s\ \bullet \ V}}$

• Dla B = 200 mT n = 6,7298646 · 10¹⁹ $\frac{\mathbf{1}}{\mathbf{m}^{\mathbf{3}}}$ µ = 3,0764267$\mathbf{\text{\ \ }}\frac{\mathbf{m}^{\mathbf{2}}}{\mathbf{s\ \bullet \ V}}$

• Dla B = -100 mT n = 5,7155627 · 10¹⁹ $\frac{\mathbf{1}}{\mathbf{m}^{\mathbf{3}}}$ µ = 3,62238$\mathbf{\text{\ \ }}\frac{\mathbf{m}^{\mathbf{2}}}{\mathbf{s\ \bullet \ V}}$

• Dla B = -150 mT n = 5,8577641 · 10¹⁹ $\frac{\mathbf{1}}{\mathbf{m}^{\mathbf{3}}}$ µ = 3,5344433$\mathbf{\ }\frac{\mathbf{m}^{\mathbf{2}}}{\mathbf{\ \ s\ \bullet \ V}}$

• Dla B = -200 mT n = 6,0485200 · 10¹⁹ $\frac{\mathbf{1}}{\mathbf{m}^{\mathbf{3}}}$ µ = 3,4229767 $\frac{\mathbf{m}^{\mathbf{2}}}{\mathbf{s\ \bullet \ V}}$

• Dla I = 15 mA n = 6,0065976 · 10¹⁹ $\frac{\mathbf{1}}{\mathbf{m}^{\mathbf{3}}}$ µ = 3,4468667$\mathbf{\ }\frac{\mathbf{m}^{\mathbf{2}}}{\mathbf{s\ \bullet \ V}}$

• Dla I = 25 mA n = 6,0484249 · 10¹⁹ $\frac{\mathbf{1}}{\mathbf{m}^{\mathbf{3}}}$ µ = 3,42303 $\frac{\mathbf{m}^{\mathbf{2}}}{\mathbf{s\ \bullet \ V}}$

• Dla I = 35 mA n = 6,4130724 · 10¹⁹ $\frac{\mathbf{1}}{\mathbf{m}^{\mathbf{3}}}$ µ = 3,2283967 $\frac{\mathbf{m}^{\mathbf{2}}}{\mathbf{s\ \bullet \ V}}$

• Dla I = -15 mA n = 6,6591640 · 10¹⁹ $\frac{\mathbf{1}}{\mathbf{m}^{\mathbf{3}}}$ µ = 3,10909 $\frac{\mathbf{m}^{\mathbf{2}}}{\mathbf{s\ \bullet \ V}}$

• Dla I = -25 mA n = 6,5000234 · 10¹⁹ $\frac{\mathbf{1}}{\mathbf{m}^{\mathbf{3}}}$ µ = 3,18521 $\frac{\mathbf{m}^{\mathbf{2}}}{\mathbf{s\ \bullet \ V}}$

• Dla I = -35 mA n = 6,5525990 · 10¹⁹ $\frac{\mathbf{1}}{\mathbf{m}^{\mathbf{3}}}$ µ = 3,1596533 $\frac{\mathbf{m}^{\mathbf{2}}}{\mathbf{s\ \bullet \ V}}$

1. Wnioski

Na podstawie analizy zależności napięcia Halla U_H od natężenia prądu I przepływającego przez próbkę, gdy jest ona umieszczona w stałym polu magnetycznym o indukcji B, oraz zależności napięcia Halla U_H od wielkości indukcji B pola magnetycznego, gdy przez próbkę przepływa prąd o stałym natężeniu I stwierdzam, że w badanym materiale nośnikami ładunku są elektrony. Użyta próbka germanu to półprzewodnik typu n, w którym występuje zjawisko przewodzenia elektronowego.

Zastosowane przeze mnie wzory użyte do obliczeń stałej Halla nie dają dokładnych wyników wartości obliczanych, ponieważ w przypadku opisu transportu nośników prądu w półprzewodniku należy jeszcze uwzględnić statystyczny rozkład prędkości nośników, a więc wziąć pod uwagę mechanizmy ich rozpraszania. Różnice w zachowaniu się układu są powodowane także różną ilością elektronów swobodnych w materiałach.