Wydział Geodezji i Kartografii	Dzień/godz. środa, 14^00-16^30	Nr zespołu 20
	Data: 21.11.2012 r.
Nazwisko i imię: 1. Sylwia Capała 2. Justyna Brocka 3. Kamil Mieczkowski	Ocena z przygotowania	Ocena ze sprawozdania
Prowadzący: Dr Elżbieta Szerewicz	Podpis prowadzącego:

SPRAWOZDANIE Z ĆWICZEŃ LABORATORYJNYCH Z FIZYKI

Temat ćwiczenia:

Badanie efektu Halla

1. Wstęp teoretyczny

Efektem Halla nazywamy zjawisko powstawania napięcia na krawędziach hallotronu. Za jego wystąpienie odpowiada siła Lorentza, którą możemy zapisać następująco:

F_{L -} siła Lorentza

– ładunek elektryczny

– prędkość ładunków w polu magnetycznym

– indukcja

Hallotron jest to cienka warstwa półprzewodnika naparowana na nieprzewodzące podłoże, zaopatrzona w 4 elektrody (gdzie: l-długość warstwy naparowanej, c-szerokość).

Ruch nośników (elektronów i dziur) powoduje przepływ prądu sterującego I_S . Na wszystkie nośniki działa jednakowa siła Lorentza skierowana prostopadle do kierunku ich ruchu oraz do wektora indukcji magnetycznej . Siła ta zakłóca ruch nośników powodując ich nagromadzenie na jednej z bocznych ścianek półprzewodnika aż do momentu wyrównania się siły Coulomba i siły Lorentza. Skutkiem tego jest pojawienie sie różnicy potencjałów pomiędzy powierzchniami bocznymi próbki, zwanej napięciem Halla (U_h).

Niech prąd I_S będzie uporządkowanym ruchem ładunków elektrycznych e. Jeśli liczba tych nośników w jednostce objętości (koncentracja) wynosi n₀, a średnia prędkość ich ruchu v, to natężenie I_S można wyrazić wzorem:

I_S = e ∙ n₀ ∙ v ∙ d ∙ c

Prędkość v jest proporcjonalna do natężenia pola elektrycznego E, co określa prawo Ohma:

v = μ ∙ E, gdzie μ – ruchliwość nośników

Zależność między natężeniem E a różnicą potencjałów U jest następująca:

Wykorzystując dwa powyższe równania uzyskujemy wzór na I_S w postaci:

(*)

W przypadku zrównoważonego przepływu prądu przez hallotron siła Lorentza i siła powstałego pola elektrycznego F_e = e ∙ E równoważą się wzajemnie:

e ∙ E = e ∙v ∙B , gdzie:

Wracając do definicji natężenia prądu uzyskujemy:

(**)

R = - nosi nazwę stałej Halla, której znak zależy od rodzaju nośnika.

Stosując równania (*) i (**) otrzymujemy wzór:

B- indukcja

n- ilość ładunków elektromagnetycznych

e- ładunek elementarny

d- grubość hallotronu

I – natężenie

U –napięcie Halla

Prędkość dryftowa to prędkość jaką osiągają nośniki w próbce po przyłożeniu do niej napięcia. Z powodu zderzeń z innymi nośnikami prędkość ta jest równa połowie prędkości między zderzeniami i jest wprost proporcjonalna do natężenia pola.

1. Cel ćwiczenia

• zapoznanie się ze zjawiskami zachodzącymi podczas efektu Halla,

• poznanie budowy i zasady działania hallotronu,

• dokonanie serii pomiarów napięcia i natężenia prądu w dwóch obwodach pomiarowych,

• wyznaczanie koncentracji nośników - ilości ładunków zdolnych przenosić prąd w jednostce objętości,

• sporządzenie wykresu zależności napięcia Halla od natężenia prądu sterującego.

3. Przebieg ćwiczenia

1. Badanie asymetrii hallotronu

Występowaniu efektu Halla towarzyszy szereg innych zjawisk fizycznych, które mogą wpływać na wartość mierzonego napięcia Halla. Jednym z nich jest zjawisko tzw. asymetrii pierwotnej wiążącej się z poprawnym wykonaniem elektrod hallowskich. Gdy nie leżą one dokładnie naprzeciwko siebie (nie leżą na jednej linii ekwipotencjalnej) wówczas przy braku pola magnetycznego, ale przy prądzie I_S płynącym przez hallotron pomiędzy elektrodami wytwarza się różnica potencjałów.

Napięcie asymetrii mierzymy przy wyłączonym polu magnetycznym (B=0 [T]).

Dokonaliśmy dziesięciokrotnego pomiaru napięcia prądu, zmieniając natężenie prądu sterującego od 1,56 mA do 6,28 mA. Otrzymane napięcia pojawiały się bez pola magnetycznego innego niż ziemskie.

Układ pomiarowy:

• hallotron,

• źródło zasilania hallotronu,

• dwa mierniki cyfrowe (METEX M-3800- jeden jako woltomierz, drugi jako miliamperomierz),

• kompas.

1. Badanie proporcjonalności napięcia Halla U_H do natężenia prądu sterującego I_s. Wyznaczenie koncentracji nośników n.

Do wykonania drugiej serii pomiarów umieściłyśmy hallotron między nabiegunnikami elektromagnesu, który był zasilany prądem o stałej wartości równej 0,5 A. Odczytaliśmy z załączonej do stanowiska charakterystyki wartości indukcji magnetycznej, która wyniosła B= 0,0655 ± 0, 0005 T. Zasilaczem stabilizowanym kontrolowaliśmy napięcie prądu sterującego Is, ustawiając go na takie same wartości, jak w serii 1.

Układ pomiarowy:

• zasilacz stabilizowany NDN DF-1730SL5A,

• elektromagnes,

• źródło napięcia zasilania elektromagnesu,

• trzeci miernik cyfrowy (METEX M-3800 jako miliamperomierz).

4. Pomiary i obliczenia

Wymiary hallotronu [μm]
grubość
szerokość
długość

1. Badanie asymetrii hallotronu

L. p.	U1[mV]	Zakres [mV]	Niepewność U [mV]	Is [mV]	Zakres [mA]	Niepewność Is [mA]
1	11,2	200	0,13	1,56	20	0,02
2	14,2		0,14	2,00		0,02
3	17,6		0,15	2,50		0,02
4	20,8		0,16	3,00		0,03
5	23,9		0,17	3,50		0,03
6	26,8		0,18	4,00		0,03
7	29,6		0,19	4,50		0,03
8	32,2		0,20	5,00		0,04
9	34,6		0,20	5,50		0,04
10	36,8		0,21	6,00		0,04
11	38,0		0,21	6,28		0,04

Przyrząd	Zakres pomiaru	Klasa
Amperomierz	20mA	± 0,5% rdg ± 1dgt
Woltomierz	200mV	± 0,3% rdg ± 1dgt
	2V

ΔIs  =  wynik pomiarowy  •  klasa przyrzadu + rozdzielczosc

ΔUh  =  wynik pomiarowy  •  klasa przyrzadu + rozdzielczosc

Wykonaliśmy pomiar w polu magnetycznym ziemskim (ok. 30 • 10⁻⁶T)

L. p.	U2[V]	Zakres [V]	Niepewność U [V]	Is [mV]	Zakres [mA]	Niepewność Is [mA]
1	0,214	2	0,002	1,56	20	0,02
2	0,272		0,002	2,00		0,02
3	0,335		0,002	2,50		0,02
4	0,395		0,002	3,00		0,03
5	0,452		0,002	3,50		0,03
6	0,505		0,003	4,00		0,03
7	0,556		0,003	4,50		0,03
8	0,600		0,003	5,00		0,04
9	0,644		0,003	5,50		0,04
10	0,683		0,003	6,00		0,04
11	0,699		0,003	6,28		0,04

Pomiar został wykonany dla prądu magnesowania równego I = 0, 5 A (przy zakresie 2A), oraz indukcji magnetycznej równej B = 0, 0655 ± 0, 0005 T. Dla obu serii pomiarów natężenie minimalne wynosi 1,56mA , natomiast maksymalne 6,28mA.

Ładunek elementarny: e = 1,602 177 33 ∙10^-19 C

Metoda różnicy napięć: U_h (I_S) = U₂ (I_S) – U₁ (I_S)

L. p.	Is [A]	U1 [V]	U2 [V]	Uh [V]
1	0,00156	0,0112	0,214	0,2028
2	0,00200	0,0142	0,272	0,2578
3	0,00250	0,0176	0,335	0,3174
4	0,00300	0,0208	0,395	0,3742
5	0,00350	0,0239	0,452	0,4281
6	0,00400	0,0268	0,505	0,4782
7	0,00450	0,0296	0,556	0,5264
8	0,00500	0,0322	0,600	0,5678
9	0,00550	0,0346	0,644	0,6094
10	0,00600	0,0368	0,683	0,6462
11	0,00628	0,0380	0,699	0,6610

1. Wykres zależności napięcia Halla od natężenia prądu sterującego.

Korzystając z metody najmniejszych kwadratów liczymy współczynnik kierunkowy a, współczynnik b oraz ich niepewności. Skorzystamy z poniższych wzorów:

$a = \frac{\sum_{i = 1}^{10}{I_{S}\sum_{i = 1}^{10}{U_{H} - 10\ \sum_{i = 1}^{10}{I_{S}U_{H}}}}}{\left( \sum_{i = 1}^{10}I_{S} \right)^{2} - 10\sum_{i = 1}^{10}\left( I_{S} \right)^{2}}$ = 0,100 $\frac{\text{mV}}{\text{mA}}$

$b = \frac{\sum_{i = 1}^{10}{I_{S}\sum_{i = 1}^{10}{I_{S}U_{H} - \sum_{i = 1}^{10}U_{H}\sum_{i = 1}^{10}{(I_{S})}^{2}}}}{\left( \sum_{i = 1}^{10}I_{S} \right)^{2} - 10\sum_{i = 1}^{10}\left( I_{S} \right)^{2}}$ = 0,064 mV

$u\left( a \right) = \ \sqrt{\frac{1}{10 - 2}\sum_{i = 1}^{10}d_{i}^{2}}\sqrt{\frac{10}{10\sum_{i = 1}^{10}{{(I_{S})}^{2} - {(\sum_{i = 1}^{10}{I_{S})}}^{2}}}}\ $= 0,003 $\frac{mV}{mA}$

$u(b) = \sqrt{\frac{1}{10 - 2}\sum_{i = 1}^{10}d_{i}^{2}}\sqrt{\frac{\sum_{i = 1}^{10}{(I_{S})}^{2}}{10\sum_{i = 1}^{10}{{(I_{S})}^{2} - {(\sum_{i = 1}^{10}{I_{S})}}^{2}}}}$ = 0,012 mV

a = 0,100 ± 0,003 $\frac{\text{mV}}{\text{mA}}$

b = 0,064 ± 0,012 mV

1. Koncentracja nośników n

Wzór: $n = \frac{I_{S} \bullet B}{e \bullet d \bullet U_{H}}\ \lbrack\frac{1}{m^{3}}\rbrack$

Po przekształceniach: $n = \frac{B}{e \bullet d \bullet a}$

gdzie:

a  współczynnik kierunkowy prostej,

e  ładunek elementarny,

d  grubość hallotronu.

$$n = \frac{0,0655}{100 \bullet 1,6022 \bullet 10^{- 19} \bullet 0,2 \bullet 10^{- 6}} = 204,41 \bullet 10^{20}\ \frac{1}{m^{3}}$$

Wyznaczanie niepewności indukcji

B = 0, 0005 T

$$u\left( B \right) = \frac{B}{\sqrt{3}} = 0,0003\ T$$

Wyznaczanie niepewności n (koncentracji nośników):

$$u\left( n \right) \approx \sqrt{\left( \frac{\partial n}{\partial B}\ \bullet u(B) \right)^{2} + \left( \frac{\partial n}{\partial a} \bullet u(a) \right)^{2}}$$

$$u(n) \approx \sqrt{\left( \frac{1}{\text{aed}} \bullet u(B) \right)^{2} + \ \left( - \frac{B}{a^{2}\text{ed}}\ \bullet u(a) \right)^{2}}$$

u(n)≈ 6, 20 • $10^{20}\ \frac{1}{m^{3}}$

5. Wnioski

• Wszystkie zaobserwowane podczas ćwiczenia zjawiska oraz dokonane pomiary potwierdzają liniową zależność napięcia Halla od natężenia sterującego Is.

• Współczynniki w równaniu linii najlepszego dopasowania wyznaczonej za pomocą programu Excel na podstawie wyników pojedynczych pomiarów zgadzają się wartością ze współczynnikami ustalonymi metodą najmniejszych kwadratów, co potwierdza poprawność wykonanych obliczeń.

• Współczynnik b jest bliski 0, co wskazuje na stosunkowo niewielkie błędy systematyczne popełnione w trakcie wykonywania doświadczenia,

• Na błędy pomiarowe mają wpływ:

• niedoskonałość użytego sprzętu, np. brak symetrii między płytkami hallotronu,

• ograniczona dokładność urządzeń pomiarowych podczas wykonywania zadania,

• niedokładność odczytu przez obserwatora,

• założenie, że badanie zostało przeprowadzone w stałej temperaturze (tymczasem temperatura mogła ulec zmianie z powodu nagrzewania się aparatury).