Politechnika Opolska

LABORATORIUM

PRZEDMIOT: Laboratorium Materiałoznawstwa

Kierunek studiów:	Automatyka i Robotyka	Rok studiów:	II
Semestr:	III	Rok akademicki:	2012/2013

Temat ćwiczenia:
Badanie zjawiska Halla

Projekt wykonali:
Nazwisko i imię:
1.
3.

Ocena:	Data:	Uwagi:

Termin zajęć: 30.11.2012
Dzień tygodnia:

Termin oddania projektu:	07.12.2012	Projekt oddano:

1. Wstęp teoretyczny:
Jeżeli płytkę wykonaną z metalu lub półprzewodnika włączymy w obwód prądu stałego i umieścimy ją w polu magnetycznym, którego wektor natężenia pola jest prostopadły do płytki i kierunku przepływającego prądu, to między krawędziami płytki powstanie różnica potencjałów nazywana napięciem Halla. Efekt ten nazwany od nazwiska odkrywcy E. H. Hall, który zaobserwował go w cienkiej folii aluminiowej.
Przyczynę powstania zjawiska Hall można wyjaśnić analizując tor ruchu ładunku w płytce typu n (rys). Nośnikiem prądu w takim przypadku są swobodne elektrony, które pod wpływem pola elektrycznego poruszają się zgodnie z kierunkiem wektora prędkości v, a przeciwnie do kierunku przepływu prądu I (przy uwzględnieniu obowiązującej umowy).
W obecności pola magnetycznego na elektron działa siła Lorentza F_m,(reguła lewej ręki) którą można opisać wzorem:

gdzie: g - ładunek nośnika (elektron)
- wektor prędkości
- wektor indukcji magnetycznej

rys. Zjawisko Halla w płytce półprzewodnika typu n

Siła F_m powoduje odchylenie toru elektronu (linia przerywana na rysunku) od pierwotnego kierunku ruchu. W ten sposób elektrony, przepływające przez badaną próbkę przewodnika zaczynają się gromadzić na jednej ze ścianek. Proces ten trwa tak długo, aż powstanie na tyle duża różnica potencjałów miedzy ściankami, że poprzeczne pole elektryczne E_H, oddziaływujące siłą F_e na przemieszczający się elektron, zrównoważy siłę Lorentza F_m

2. Wykorzystany układ pomiarowy:

3. Obliczenia:

a) Dla przebiegu U_h = f(I_p) przeprowadzamy aproksymację i określamy współczynnik proporcjonalności dla równania opisującego tę zależność : U_h = αI_p

$$\left\{ \begin{matrix} 5 = 5,4a + b \\ 10 = 11,4a + b \\ \end{matrix} \right.\ $$

$$\left\{ \begin{matrix} a = 0,83 \\ b = - 38,9 \\ \end{matrix} \right.\ $$

U_h = aI_p + b

U_h = 0, 83I_p − 38, 9

z czego wynika ze α = 0, 83.

b) Dla przebiegu U_p = f(I_p) przeprowadzamy aproksymację i określamy rezystancję próbki R₀ (w temperaturze pokojowej), jako współczynnik nachylenia prostej opisującej to równanie:

$$\left\{ \begin{matrix} - 1,17 = - 0,03a + b \\ 1,16 = 0,03a + b \\ \end{matrix} \right.\ $$

$$\left\{ \begin{matrix} a = 38,8 \\ b = 2,32 \\ \end{matrix} \right.\ $$

U_p = aI_p − b

U_p = 38, 8 I_p − 2, 32

$$R_{0} = 38,8\frac{V}{A} = 39\ \mathrm{\Omega}$$

c) Dla uzyskanej charakterystyki $\ln{\sigma = f(\frac{1}{T})}$ oszacować szerokość pasma wzbronionego E_g.

Szerokość pasma wzbronionego E_g możemy obliczyć z zależności:

$$\sigma = \sigma_{0}e^{\frac{- E_{g}}{2kT}}$$

$$ln\ \sigma = ln\ \sigma_{0}\frac{- E_{g}}{2kT}$$

$$b = - \frac{E_{g}}{2k}$$

E_g = −b • 2k 

gdzie:

b – współczynnik nachylenia prostej równy -0,40

E_g - szerokość pasma wzbronionego

k – stała Boltzmana równa $8,625 \bullet 10^{- 5}\frac{\text{eV}}{K}$

E_g = −(−0,4) • 2 • 8, 625 • 10⁻⁵ = 6, 9  • 10⁻⁵ [eV]

d) Dla funkcji U_h = f(B) przeprowadzić regresję, wyznaczyć nachylenie prostej i obliczyć stałą Halla, wyznaczyć ruchliwość ładunków, przewodność w temperaturze pokojowej oraz koncentrację ładunków (dziur) w półprzewodniku typu „p”.

Po przeprowadzeniu aproksymacji funkcji U_h = f(B) nachylenie b uzyskanej prostej otrzymujemy z zależności U_h = b • B + U₀

po podstawieniu: U_h = 165, 1 B + 0, 1.

Stąd współczynnik b jest równy 165,1. Korzystając z tego współczynnika obliczamy stałą Halla ze wzoru:

$$R_{H} = \frac{U_{H}}{B} \bullet \frac{d}{I_{p}} = b \bullet \frac{d}{I_{p}}$$

gdzie:

d – grubość próbki wynosząca 10⁻³ m

b – nachylenie prostej

I_p - natężenie prądu równe 0,030 A

$$R_{H} = 165,1 \bullet 10^{- 3} \bullet \frac{10^{- 3}}{0,03} = 5,5 \bullet 10^{- 3}\lbrack\frac{m}{A}\rbrack$$

Przewodność w temperaturze pokojowej wyznaczamy ze wzoru:

$$\sigma_{0} = \frac{l}{R_{0} \bullet A}$$

gdzie:

l – długość wynosząca 0,02 m

R₀ – rezystancja wyznaczona z charakterystyki U_p = f(I_p) równa 39 Ω

A – przekrój równy 10⁻⁵ m²

$$\sigma_{0} = \frac{0,02}{39 \bullet 10^{- 5}} = 51,28\ \lbrack\frac{1}{\mathrm{\Omega} \bullet m}\rbrack$$

Na podstawie konduktywności możemy obliczyć ruchliwość ładunków:

$$\mu_{h} = R_{H} \bullet \sigma_{0} = 5,5 \bullet 10^{- 3} \bullet \ 51,28 = 0,28\lbrack\frac{1}{V}\rbrack\ $$

Z kolei koncentrację ładunków (dziur) dla półprzewodnika typu „p” obliczamy ze wzoru:

$$p = \frac{1}{R_{H} \bullet e}$$

gdzie e jest ładunkiem elementarnym o wartości 1, 602  • 10⁻¹⁹As.

Stąd otrzymujemy wynik:

$$p = \frac{1}{5,5 \bullet 10^{- 3} \bullet 1,602 \bullet 10^{- 19}} = 1,135 \bullet 10^{21}\lbrack\frac{1}{\text{ms}}\rbrack$$

4.Wnioski:

Ćwiczenie przebiegło zgonie z założeniami zawartych w instrukcji i bez większych problemów. Po wykonaniu ćwiczenia otrzymaliśmy wykresy i pomiary według których możemy stwierdzić, że wraz z liniowym wzrostem prądu I_p płynącego, przy ustalonej indukcji magnetycznej B napięcie Halla U_h między zaciskami rośnie również liniowo i jego wartości są małe w stosunku do napięcia próbki U_p, które również rośnie liniowo.

Dzięki ćwiczeniom poznajemy, na czym polega zjawisko Halla, jak możemy je wyznaczyć i jego zastosować w różnych dziedzinach nauki.