Laboratorium Podstaw Fizyki

Wykonawca: Data:

Marcin Sachs 11.12.2010

173847 Sobota 7:30

Nr ćwiczenia: 57C

Temat ćwiczenia: Badanie efektu Halla

Zatwierdzam wyniki pomiarów.

Data i podpis prowadzącego zajęcia ............................................................

Adnotacje dotyczÄ…ce wymaganych poprawek oraz daty otrzymania

poprawionego sprawozdania

1. Wstęp

Efekt Halla to zjawisko fizyczne, odkryte w 1879 roku przez Edwina H. Halla. Jeżeli płytkę z metalu lub półprzewodnika włączymy w obwód prądu stałego i umieścimy ją w polu magnetycznym o wektorze indukcji prostopadłym do powierzchni płytki i do kierunku płynącego przez nią prądu, to pomiędzy punktami A i B wytworzy się różnica potencjałów, zwana napięciem Halla.

Jeśli wzdłuż płytki płynie prąd o natężeniu I_s (nadając nośnikom prądu prędkość unoszenia v), zaś prostopadle do powierzchni przewodnika skierowane jest pole magnetyczne o indukcji , zakładając, że nośnikami są elektrony swobodne(dla metali i półprzewodników typu n), to na nośniki prądu o ładunku e działa siła Lorentza:

$$\mathbf{F}_{\mathbf{L}}\mathbf{= - e(}\overrightarrow{\mathbf{v}}\mathbf{\times}\overrightarrow{\mathbf{B}}\mathbf{)}$$

W skutek działania siły Lorentza tor ruchu elektronów zostanie zakrzywiony, co spowoduje gromadzenie się elektronów na jednej krawędzi płytki, a na drugiej jej krawędzi-niedobór elektronów. Powoduje to wytwarzanie się poprzecznego, w przybliżeniu jednorodnego pola elektrycznego o natężeniu E. Pole to działa na elektrony siłą:

F_E= − eE

Dla warunku równowagi możemy zapisać:

F_L=F_E

Wówczas:

U_H = γI_sB , gdzie: γ = 1/end

n- koncentracja nośników

d-grubość płytki

Z powyższych wzorów wynika, że dokonując pomiarów napięcia i natężenia prądu płynącego przez płytkę, oraz znając współczynnik proporcjonalności γ można wyznaczyć indukcje magnetyczną B. Urządzenie dokonujące takich pomiarów nazywane jest hallotronem, dla którego γ jest jego czułością.

Celem ćwiczenia jest wyznaczenie: charakterystyk hallotronu, jego czułości, koncentracji elektronów swobodnych oraz czułości kątowej układu.

Układ pomiarowy składał się z hallotronu wyposażonego w magnesy, podłączonego do mierników oraz zasilacza. Pomiary dotyczyły zmian napięcia Halla w stosunku do składowej prostopadłej wektora indukcji magnetycznej do wektora prędkości elektronów.

Schemat układu pomiarowego:

3. Opracowanie wyników

Zadaniem jest odczytanie wartoÅ›ci kÄ…ta α₀ dla której U_H = 0 zatem α₀ = 98°.

Kolejnym zadaniem jest obliczenie maksymalnej wartości czułości kątowej hallotronu $\frac{U_{H}}{\alpha}$

obliczając nachylenie wykresu Uh(α) dla wartości U_h z przedziału —0,5U_h od +0,5U_h (tj.

dla wartości U_h od -0,1653 do 0,1653). Obliczam to korzystając z programu Reg.zip zamieszczonego na stronie internetowej Laboratorium Podstaw Fizyki.

Po podstawieniu liczb do programu dostajemy wynik a = $\frac{U_{H}}{\alpha}$ = 0,0064.
Niepewność wyznaczeniu a = ±0,0000829 zatem $\frac{U_{H}}{\alpha}$MAX=0,006428.

Wykres przedstawiający zależność napięcia Halla U_H od natężenia prądu I_s płynącego przez hallotron.

4. Obliczanie wyników końcowych i szacowanie niepewności
   

Korzystając z regresji liniowej obliczyłem wartości współczynników kierunkowych prostej opisujących zależności U_h(B) gdy I_s=const.
StÄ…d:

f(x) = ax + b
A = 0,716
B = -0,024
Δa = 0,009
Δb = 0,003

Czułość ϒ hallotronu obliczamy ze wzoru:

$$\gamma = \frac{U_{H}}{I_{s} \times B} = \frac{a}{I_{s}} = \frac{0,716}{0,011} = 65,1\lbrack\frac{V}{A \times T}\rbrack$$

Niepewność wyznaczenia czułości hallotronu otrzymujemy ze wzoru:

$$\frac{\gamma}{\gamma} = \left( \frac{a}{a} \right) + \left( \frac{I_{s}}{I_{s}} \right) = 0,02$$

Obliczamy koncentrację elektronów swobodnych korzystając ze wzoru:

$$n = \frac{1}{e \times \gamma \times d} = \frac{1}{1,6 \times 10^{- 19} \times 65,1 \times 2 \times 10^{- 6}} = 4,79 \times 10^{22}\lbrack\frac{1}{m^{3}}\rbrack$$

Gdzie:
D – grubość płytki hallotronu (d=0,2µm)
E - ładunek elementarny (e=1,6×10^-19C)

Niepewność obliczenia koncentracji elektronów obliczamy ze wzoru:

$$\frac{n}{n} = \left( \frac{\gamma}{\gamma} + \frac{d}{d} \right) \times 100\% = 6,9\%$$

Gdzie:

$$\frac{d}{d} = 0,05$$

Obliczenia wartości znajdujących się w tabeli.

Błąd wyznaczenia natężenia:

$$I_{s} = \frac{klasa \times zakres}{100} = \frac{0,5 \times 0,015}{100} = 0,000075\ A$$

Wartość składowej normalnej indukcji wyznaczyłem ze wzoru:

B_n = B₀sin(α−α₀)

Gdzie:

B₀ = 0, 500 T ∖ nα₀ = 98

Błąd względny wyznaczenia czułości hallotronu:

$${\frac{\gamma}{\gamma} \times \gamma = \gamma\backslash n}{\gamma = 1,27\ \lbrack\frac{V}{A \times T}\rbrack}$$

Błąd względny obliczenia koncentracji elektronów swobodnych:

$${\frac{n}{n} \times n = n\backslash n}{n = 4,03 \times 10^{- 21}\ \lbrack\frac{1}{m^{3}}\rbrack}$$

Błąd Δα przyjmuję najmniejszym możliwą jednostką jaką możemy odczytać ze skali, która wynosi 1°.

Wersja dodatkowa.

Używając regresji liniowej obliczam współczynniki kierunkowe prostych

opisujących zależności U_H(I_s) gdy B_n=const.
StÄ…d:

f(x) = ax + b
a = 29,4
b = 0,005
Δa = 0,12
Δb = 0,001

Obliczam czułość hallotronu korzystając z wcześniejszych obliczeń:

B_n = B₀sin(α−α₀)

$${B_{n} = 0,500 \times \sin\left( 180 - 98 \right) = 0,495\ T\backslash n}\backslash n{B_{0} = 0,500 \pm 0,05\ T\backslash n}\backslash n{\alpha_{0} = 98\backslash n}{\alpha = 180\backslash n}\backslash n{\gamma = \frac{U_{H}}{Is \times B} = \frac{a}{B} = \frac{29,4}{0,495} = 58,68\ \left\lbrack \frac{V}{A \times T} \right\rbrack}$$

Niepewność obliczenia czułości hallotronu obliczamy metodą pochodnej logarytmicznej:

$${\frac{\gamma}{\gamma} = \left\lbrack \left( \frac{a}{a} + \frac{B}{B} \right) \right\rbrack \times 100\%\backslash n}{\frac{\gamma}{\gamma} = \left\lbrack \left( \frac{0,0001}{0,029} + \frac{0,05}{0,495} \right) \right\rbrack \times 100\% = 10,41\%\backslash n}{\frac{\gamma}{\gamma} = \left( \frac{a}{a} \right) + \left( \frac{B}{B} \right)\backslash n}{\frac{\gamma}{\gamma} = \gamma\left\lbrack \left( \frac{a}{a} + \frac{B}{B} \right) \right\rbrack\backslash n}{\frac{\gamma}{\gamma} = 6,1\ \lbrack\frac{V}{A \times T}\rbrack}$$

Obliczamy koncentrację elektronów swobodnych korzystając ze wzoru:

$$n = \frac{1}{e \times \gamma \times d} = \frac{1}{1,6 \times 10^{- 19} \times 58,68 \times 2 \times 10^{- 6}} = 5,3 \times 10^{22}\lbrack\frac{1}{m^{3}}\rbrack$$

Gdzie:
D – grubość płytki hallotronu (d=0,2µm)
E - ładunek elementarny (e=1,6×10^-19C)

Niepewności: względną i bezwzględną obliczamy ze wzorów:

$$\frac{n}{n} = \left( \frac{\gamma}{\gamma} + \frac{d}{d} \right) \times 100\% = 15,41\%$$

$$n = n\left( \frac{\gamma}{\gamma} + \frac{d}{d} \right) = 8,18 \times 10^{- 21}\ \lbrack\frac{1}{m^{3}}\rbrack\ $$

4. Wyniki końcowe

Czułość hallotronu:
Wersja podstawowa - $\gamma = 65,1 \pm 1,27\lbrack\frac{V}{A \times T}\rbrack$

Wersja dodatkowa - $\gamma = 58,68 \pm 6,1\lbrack\frac{V}{A \times T}\rbrack$

Koncentracja elektronów swobodnych:

Wersja podstawowa -$n = 4,79 \times 10^{22} \pm 4,03\left\lbrack \frac{1}{m^{3}} \right\rbrack$

Wersja dodatkowa -$n = 5,3 \times 10^{22} \pm 8,18\ \left\lbrack \frac{1}{m^{3}} \right\rbrack$

4. Wnioski

Na niepewność naszych pomiarów miał wpływ m.in. mało dokładny kątomierz, którym wyznaczaliśmy kąt nachylenia magnesu. Trzeba było założyć, że odczyt z podziałki kątomierza położenia magnesu, dla którego wektor indukcji magnetycznej jest równoległy do wektora prędkości elektronów jest obarczony jest błędem 1°. Przez powyższy błąd nie byliśmy w stanie części składowej wektora indukcji, który jest wywiera wpływ na ruch elektronów w płytce. W konsekwencji wykres pomiarów nie pokrywa się w połowie z wykresem wyznaczonym za pomocą regresji liniowej. Z pewnością na niepewność doświadczenia miał wpływ fakt, iż używaliśmy magnesu sztabkowego o indukcji 0,5T a nie mocniejszego elektromagnesu. Wpływ na wyniki miał również fakt, że indukcja była wyznaczana z błędem 0,05 tj. 10% w stosunku do obliczonej wartości. Niewielki udział w niedokładności doświadczenia miały przyrządy do pomiaru natężenia i napięcia. W porównaniu z wyżej wymienionymi niepewnościami były one jednak niewielkie.

Celem ćwiczenia było zapoznanie się z efektem Halla oraz wyznaczenie koncentracji elektronów swobodnych. Wyznaczona przez nas koncentracja elektronów jest obarczona błędem względnym 6,9% dla pomiarów zależności napięcia Halla U_H od indukcji magnetycznej B gdy I_S=const. oraz 15,41% dla pomiarów zależności napięcia U_H od natężenia I_S przy stałej indukcji magnetycznej B.

Dokładność naszego doświadczenia możemy zwiększyć stosując precyzyjniejszy kątomierz. Dokładność zwiększyłaby się również gdybyśmy zastosowali magnes o większej indukcji.