LABORATORIUM

PODSTAWY

ELEKTROTECHNIKI

ZASADA SUPERPOZYCJI I WZAJEMNOŚCI W OBWODACH ELEKTRYCZNYCH

1. CEL ĆWICZENIA

Celem ćwiczenia jest praktyczna ilustracja pewnych analitycznych metod rozwiązywania obwodów liniowych prądu stałego

2. WIADOMOŚCI PODSTAWOWE

Układ fizyczny nazywany liniowym, gdy spełnia zasadę superpozycji. Zasadę tę najogólniej sformułować można następująco: odpowiedź fizycznego układu liniowego na kilka wymuszeń działających równocześnie równa jest sumie odpowiedzi na każde z tych wymuszeń, działające oddzielnie. W przypadku, gdy w układzie elektrycznym istnieje kilka wymuszeń należy każdorazowo wyeliminować (z wyjątkiem jednego) działanie wszystkich źródeł. W miejscu wyeliminowanych źródeł należy pozostawić ich rezystancje wewnętrzne.

Jednym z podstawowych pojęć w teorii obwodów liniowych niezmiennych w czasie jest tzw. transmitancja (funkcja przenoszenia), będąca - w obwodach prądu stałego - stosunkiem odpowiedzi na wymuszenie, do wartości tego wymuszenia. Oczywistym jest, że wymuszenie, doprowadzone do określonego miejsca układu wywołuje różne odpowiedzi w różnych punktach układu. Dla jednoznacznego, zatem określenia transmitancji układu konieczne jest określenie miejsca wzbudzenia i miejsca odpowiedzi.

Rys 1. Liniowy układ aktywny wyszczególnionymi gałęziami

Dla układu podanego na rysunku 1 definiuje się następujące transmitancje:

• Prądowo-napięciową
  przy
  

• Prądowo-prądową
  , przy
  

• Napięciowo-prądową
  , przy
  

• Napięciowo-napięciową
  , przy
  

W celu jednoznacznego określenia transmitancji, przed jej wyznaczaniem, rozpatrywaną sieć elektryczną należy zorientować.

Niech dany będzie układ, w którym działa N źródeł napięcia i M źródeł prądu. Oznaczmy przez E_n źródło napięcia działające w gałęzi n-tej oraz I_m źródło prądu w gałęzi m-tej. Zgodnie z zasadą superpozycji, napięcie U_k na zaciskach dowolnej gałęzi układu, równe jest sumie napięć pochodzących od każdego źródła działającego oddzielnie, co możemy zapisać:

podobnie dla prądu:

Konsekwencją powyższej zasady jest tzw. zasada proporcjonalności, która w odniesieniu do obwodów elektrycznych przyjmuje postać: jeśli źródło napięcia (prądu) znajduje się w dowolnej i-tej gałęzi liniowego obwodu elektrycznego wywołującego przepływ prądu I_k w gałęzi k-tej (różnicę potencjałów U_k między dowolnymi punktami) tego obwodu, to n-krotne zwiększenie (zmalenie) wymuszenia, pociągnie za sobą n-krotny wzrost (zmniejszenie) odpowiedzi.

Jeśli źródło napięcia znajduje się w n-tej gałęzi liniowego pasywnego obwodu elektrycznego powoduje przepływ prądu I_k w gałęzi k-tej, wtedy zgodnie z zasadą wzajemności - to samo źródło napięcia umieszczone w gałęzi k-tej, wywoła a gałęzi n-tej przepływ takiego samego prądu I_k. Analogiczna zasada obowiązuje w przypadku, gdy wymuszeniem będzie prąd, zaś odpowiedzią różnica potencjałów między dowolnymi punktami układu. Oznacza to, że zawsze spełnione są równości transmitancji

y_kn=y_nk oraz z_km=z_mk, natomiast dla pozostałych transmitancji - poza szczególnymi przypadkami, gdy układ jest symetryczny ze względu na rozpatrywane zaciski - mamy a_km≠a_mk oraz b_kn≠b_nk co oznacza, że zasada wzajemności dla tych przypadków ogólnie nie zachodzi.

3. LITERATURA

• Cholewicki T. „Elektrotechnika teoretyczna”, WNT, Warszawa 1970.

• Lathi B.P. „Teoria sygnałów sygnałów układów telekomunikacyjnych”, PWN, Warszawa 1970.

4. PYTANIA SPRAWDZAJĄCE

1. Sformułować zasadę superpozycji dla układu elektrycznego, w którym występują różne źródła.

2. Podać, w jaki sposób eliminujemy źródła (prądu, napięcia, rzeczywiste) z układu elektrycznego i z czego to wynika.

3. Sformułować ogólnie zasadę proporcjonalności.

4. Scharakteryzować krótko pojecie transmitancji dla obwodu prądu stałego w stanie ustalonym.

5. Podać zasadę wzajemności dla układów elektrycznych uwzględnieniem zwrotów wymuszenia oraz odpowiedzi.

6. Wyjaśnić rolę, jaką spełniają w układzie ze schematu 5.1.1 rezystancje R₀ oraz R₅.

5. PRZEBIEG ĆWICZENIA

5.1. Zasada superpozycji.

5.1.1 Schemat połączeń.

E₀=9V, ZR₄ (E=6V, R_W=40Ω), I₅=100mA, R₀=100Ω, R₁=60Ω, R₂=20Ω, R₃= R₃= R₄=40Ω, R₀=10Ω, R₆=80Ω,

5.1.2. Przebieg pomiarów.

Zestawić układ pokazany na schemacie. Pomierzyć prądy od każdego źródła oddzielnie, odpowiednio eliminując pozostałe, oraz od wszystkich źródeł działających jednocześnie.

1. Tabela wyników.

wymuszenie	z pomiarów				z obliczeń
		I1	I2	I3	I6	I1	I2	I3	I6
		mA	mA	mA	mA	mA	mA	mA	mA
E0
ZR4
I5
∑
E0, ZR4, I5

1. Zasada proporcjonalności.

1. Schemat połączeń.

2. Przebieg pomiarów.

Zestawić układ pokazany na schemacie. Stosując źródło napięcia E odpowiednio równe E'=6V, E"=9V oraz E"'=15V odczytać wskazania mierników.

3. Tabela wyników.

Wymuszenie	I6	U5
		mA	V
E'
E"
E"'

1. Zasada wzajemności.

1. Schematy połączeń.

a)

b)

2. Przebieg ćwiczenia.

Zestawić układ jak na schemacie. Załączając odpowiednie źródło dokonać odczytu wskazania miernika, jak to wynika z podanej niżej tabeli wymuszeń. Indeks 3 lub 5 oznacza, że wymuszenie lub odpowiedź związane są z zaciskami odpowiednio 33' lub 55'.

3. Tabela wyników.

Schemat	Z pomiarów					Z obliczeń
		wymuszenie	odpowiedź				transmitancje
				I3	I5	U3			U5
				mA	mA	V			V
a	E5					b35
b	E3					b53
a	E5					y35
b	E3					y53
a	I5					a35
b	I3					a53
a	I5					z55
b	I3					z53

6. SPRAWOZDANIE

• Obliczyć prądy w gałęziach obwodu ze schematu 5.3.1. stosując metodę superpozycji. Wyniki umieścić w tabeli 5.1.3.

• Korzystając z tabeli wyników 5.2.3. wykazać słuszność zasady proporcjonalności.

• Obliczyć wszystkie transmitancje związane z wyszczególnionymi miejscami układu ze schematu 5.3.1. (zaciski 33' oraz 55') korzystając z wyników pomiarów. Uzyskane wartości wpisać do tabeli. Na podstawie powyższego określić dla jakich przypadków zachodzi zasada wzajemności.

• Wynotować parametry i dane znamionowe stosowanych urządzeń

• Wnioski i uwagi.

Układ pasywny

R

En

Im

Ik

Uk

R₀

A₂

A₆

E₀

A₃

A₁

R₁

R₅

źródło

R₂

R₃

R₆

R₄

ZR1

I₅

I₅

R₀

R₄

R₆

R₅

R₁

+

A₆

V₅

R₀

R₂

R₃

E

R₄

R₆

R₅

R₁

5

5'

R₂

R₃

3

3'

+

miernik

źródło

+

R₀

R₄

R₆

R₅

R₁

R₂

R₃

miernik

+

5

5'

3'

3

---