1. Teoria

Jeżeli płytkę metaliczna, w której płynie stały prąd elektryczny, umieścimy w prostopadłym do niej polu magnetycznym, to między jej krawędziami równoległymi do prądu i pola powstaje różnica potencjałów U_H=ϕ₁-ϕ₂.

Zjawisko to zostało odkryte przez Halla i nosi nazwę efektu Halla lub zjawiska galwanomagnetycznego.

Efekt Halla można łatwo wyjaśnić na gruncie teorii elektronowej. W nieobecności pola magnetycznego prąd w płytce uzależniony jest od pola elektrycznegoE₀. Przez płytkę przepływa prąd I. Mechanizm przewodzenia polega na uporządkowanym ruchu ładunków elektrycznych e. Gdy liczba ładunków w jednostce objętości wynosi n, a prędkość średnia u to możemy zapisać równość postaci

.

Powierzchnie ekwipotencjalne tego pola tworzą układ płaszczyzn prostopadłych do wektora E₀. Dwie z tych płaszczyzn przedstawione są na rysunku ciągłymi liniami prostymi. Potencjał we wszystkich punktach każdej z tych powierzchni, a wiec i w punktach 1 i 2 jest jednakowy. Nośniki prądu, czyli elektrony mają ładunek ujemny i dlatego prędkość u ich uporządkowanego ruchu jest skierowana przeciwnie do gęstości prądu j. Po włączeniu pola magnetycznego każdy nośnik znajduje się pod działaniem siły magnetycznej F, skierowanej wzdłuż b płytki i równej co do wartości

F=euB.

W wyniku jej działania elektrony zyskują składową prędkości skierowaną do górnej (na rysunku krawędzi płytki. W pobliżu tej krawędzi powstaje nadmiar ładunków ujemnych i odpowiednio przy krawędzi dolnej nadmiar ładunków dodatnich; pojawia się dodatkowe, poprzeczne pole elektryczne E_B. Gdy natężenie tego pola osiąga wartość, przy której jego działanie na ładunki równoważy siłę magnetyczna F, wtedy poprzeczny rozkład ładunków przechodzi w stan stacjonarny. Odpowiednia wartość E_B wynika z warunku:

.

Pole E_B sumuje się z polem E₀, dając pole wypadkowe E. Powierzchnie ekwipotencjalne są prostopadłe do wektora natężenia pola elektrycznego, muszą więc ulec obrotowi i zająć położenie przedstawione na rysunku linią przerywaną. Punkty 1 i 2, które poprzednio leżały na tej samej powierzchni ekwipotencjalnej, mają teraz różne potencjały. Aby znaleźć napięcie między tymi punktami, należy pomnożyć odległość b między nimi przez natężenie E_B:

.

Po podstawieniu wzoru

otrzymujemy

.

Wyrażenie

nosi nazwę stałej Halla. Pomiar napiecia U
i stałej Halla umożliwia wyznaczenie liczby nośników n oraz charakteru przewodnictwa.

.

W przypadku gdy stała Halla jest:

1. R_H<0 mamy do czynienia z przewodnictwem elektronowym

2. R_H>0 mamy do czynienia z przewodnictwem dziurowym.

- w słabym polu magnetycznym

lub

- w silnym polu magnetycznym

W przypadku równych koncentracji: n_e=n_d=n;

- niezależnie od pola
.

Wartości stałej Halla:

1. Dla półprzewodników R_H rzędu
   

2. Dla metali alkalicznych R_H<0 i rzędu
   

3. Dla około połowy metali R_H>0. Kwantowa teoria przewodnictwa metali wyjaśnia ten efekt przewodnictwem metali z „półswobodnymi” elektronami. Takie zjawisko obserwujemy przy znaczącym zapełnieniu pasma przewodnictwa (
   , gdzie N to liczba poziomów energetycznych).

4. Ferromagnetyki wykazują anomalne zjawisko Halla.

,

gdzie R₁ to anormalna stała Halla (zwykle R₁>>R_H), która silnie zależy od temperatury i oporności właściwej metalu.

Element półprzewodnikowy wykorzystujący efekt Halla nazywamy hallotronem. Właściwości hallotronów charakteryzują następujące parametry

• oporność właściwa
  

• stała Halla
  

• ruchliwość Halla
  , związana z tzw. kątem Halla:
  

Aparatura pomiarowa

Próbką pomiarową jest cienka warstwa metalu (np. bizmut). W czasie pomiaru płytkę tę umieszcza się w szczelinie elektromagnetycznej prostopadle do kierunku linii sił pola magnetycznego. Źródłem prądu I_p jest elektroniczny zasilacz prądu stałego Z. Napięcie Halla występujące między elektrodami V_H, mierzymy za pomocą miliamperomierza V (lub kompensatora). Czysty efekt uzyskuje się, gdy linia, na której leżą elektrody V_H jest dokładnie prostopadła do linii łączącej elektrody I_p. Na ogół elektrody V_H są nieznacznie przesunięte względem I_p. W takim przypadku po przyłożeniu do elektrod I_p napięcia, wzdłuż próbki wytwarza się spadek potencjału. Ten spadek napięcia równy jest wskazaniu woltomierza V, występującym po wyłączeniu prądu I_p, lecz w nieobecności pola magnetycznego
.

2. Tabele otrzymanych wyników pomiarowych i obliczeń

Pomiar bez pola magnetycznego

I [mA]	U0 [V]
1	0,0015
2	0,0028
3	0,004
4	0,0053
5	0,0065
6	0,0077
7	0,0089
8	0,0101
9	0,0113
10	0,0125

Dla I=1A → B=0,142T

I [mA]	UH [V]
1	0,0197	0,025633803	2,43486თ10^20
2	0,039	0,025492958	2,44831თ10^20
3	0,0576	0,025164319	2,48028თ10^20
4	0,0765	0,025070423	2,48957თ10^20
5	0,094	0,024647887	2,53225თ10^20
6	0,113	0,02471831	2,52504თ10^20
7	0,1209	0,022535211	2,76965თ10^20
8	0,1382	0,022552817	2,76749თ10^20
9	0,1587	0,023067293	2,70576თ10^20
10	0,1757	0,022985915	2,71534თ10^20

Dla I=1,5A → B=0,210T

I [mA]	UH [V]
1	0,028	0,025238095	2,47303თ10^20
2	0,055	0,024857143	2,51093თ10^20
3	0,082	0,024761905	2,52059თ10^20
4	0,109	0,024690476	2,52788თ10^20
5	0,135	0,02447619	2,55001თ10^20
6	0,162	0,024492063	2,54836თ10^20
7	0,188	0,024367347	2,5614თ10^20
8	0,214	0,02427381	2,57127თ10^20
9	0,241	0,024306878	2,56778თ10^20
10	0,268	0,024333333	2,56498თ10^20

Dla I=1,8 → B=0,248T

I [mA]	UH [V]
1	0,032	0,024596774	2,53751თ10^20
2	0,063	0,024274194	2,57123თ10^20
3	0,096	0,024731183	2,52372თ10^20
4	0,127	0,02453629	2,54377თ10^20
5	0,158	0,024435484	2,55426თ10^20
6	0,188	0,024233871	2,57551თ10^20
7	0,217	0,023974654	2,60336თ10^20
8	0,249	0,024082661	2,59168თ10^20
9	0,279	0,023987455	2,60197თ10^20
10	0,31	0,023991935	2,60148თ10^20

Dla I=1A

,

Dla I=1,5A

,

Dla I=1,8A

,

3. Analiza niepewności pomiarowych

Niepewność pomiarową stałej Halla wynikającą z przeprowadzenia serii pomiarowej oblicza się przy zastosowaniu odchylenia standardowego

Dla

Lp.	ၥi	ၥi^2
1	-0,001446909	2,09355თ10^-6
2	-0,001306064	1,7058თ10^-6
3	-0,000977426	9,55361თ10^-7
4	-0,000883529	7,80623თ10^-7
5	-0,000460994	2,12515თ10^-7
6	-0,000531416	2,82403თ10^-7
7	0,001651682	2,72805თ10^-6
8	0,001634077	2,67021თ10^-6
9	0,001119601	1,25351თ10^-6
10	0,001200978	1,44235თ10^-6

Stąd mamy

.

Dla

Lp.	ၥi	ၥi^2
1	-0,000658371	4,33453თ10^-7
2	-0,000277419	7,69612თ10^-8
3	-0,000182181	3,31898თ10^-8
4	-0,000110752	1,2266თ10^-8
5	0,000103534	1,07192თ10^-8
6	0,000087661	7,68438თ10^-9
7	0,000212377	4,51041თ10^-8
8	0,000305915	9,35837თ10^-8
9	0,000272846	7,44448თ10^-8
10	0,000246391	6,07084თ10^-8

Stąd mamy

.

Dla

Lp.	ၥi	ၥi^2
1	-0,000312324	9,75463თ10^-8
2	0,000010257	1,05199თ10^-10
3	-0,000446733	1,9957თ10^-7
4	-0,00025184	6,34234თ10^-8
5	-0,000151034	2,28112თ10^-8
6	0,000050579	2,55826თ10^-9
7	0,000309796	9,59735თ10^-8
8	0,000201789	4,07188თ10^-8
9	0,000296995	8,8206თ10^-8
10	0,000292515	8,55649თ10^-8

Stąd mamy

.

Niepewność pomiarową liczby nośników n wynikającą z przeprowadzenia serii pomiarowej oblicza się przy zastosowaniu odchylenia standardowego

Dla

Lp.	ၥi	ၥi^2
1	1,51998თ10^19	2,31035თ10^38
2	1,38546თ10^19	1,9195თ10^38
3	1,06572თ10^19	1,13576თ10^38
4	9,72825თ10^18	9,46389თ10^37
5	5,46042თ10^18	2,98162თ10^37
6	6,18186თ10^18	3,82154თ10^37
7	-1,82794თ10^19	3,34137თ10^38
8	-1,80632თ10^19	3,2628თ10^38
9	-1,18908თ10^19	1,41392თ10^38
10	-1,28487თ10^19	1,6509თ10^38

Stąd mamy

.

Dla

Lp.	ၥi	ၥi^2
1	6,6593თ10^18	4,43463თ10^37
2	2,86921თ10^18	8,23238თ10^36
3	1,90347თ10^18	3,6232თ10^36
4	1,17427თ10^18	1,37892თ10^36
5	-1,03885თ10^18	1,07922თ10^36
6	-8,7359თ10^17	7,63159თ10^35
7	-2,17789თ10^18	4,74319თ10^36
8	-3,16491თ10^18	1,00166თ10^37
9	-2,81509თ10^18	7,92474თ10^36
10	-2,53593თ10^18	6,43092თ10^36

Stąd mamy

.

Dla

Lp.	ၥi	ၥi^2
1	3,29378თ10^18	1,0849თ10^37
2	-7,83272თ10^16	6,13515თ10^33
3	4,67286თ10^18	2,18357თ10^37
4	2,66826თ10^18	7,11964თ10^36
5	1,61886თ10^18	2,6207თ10^36
6	-5,06153თ10^17	2,56191თ10^35
7	-3,29082თ10^18	1,08295თ10^37
8	-2,12326თ10^18	4,50823თ10^36
9	-3,1519თ10^18	9,93445თ10^36
10	-3,10331თ10^18	9,63051თ10^36

Stąd mamy

.

Ostatecznie uwzględniwszy zaokrągloną niepewność pomiarową wynik możemy zapisać w postaci

Dla I=1A

,

Dla I=1,5A

,

Dla I=1,8A

,

4. Wnioski

Jak widać stała Halla przyjmuje w naszym doświadczeniu wartości dodatnie mamy więc do czynienia z przewodnictwem dziurowym (nośnikami prądu są ładunki dodatnie). Wartości stałej Halla i liczby nośników prądu dla poszczególnych pomiarów nie różnią w dużym stopniu (różnica występuje na trzecim miejscu znaczącym).

Niepewność pomiarowa stałej Halla i liczby nośników prądu wynoszą poniżej 2%, przy czym dla pierwszej serii pomiarowej wynosi ona zarówno dla stałej Halla jak i liczby nośników prądu około 1,6%, a dla pozostałych dwóch serii około 0,4%. Powodem tego jest prawdopodobnie błędny odczyt napięcia U_H podczas pierwszej serii, który doprowadził w efekcie do sporych odchyleń pomiędzy wartością średnią, a poszczególnymi wartościami stałej Halla w pierwszej serii.

9

---