Wydział: Fizyki	Dzień/ godz. wtorek godz. 11.00-14.00	Nr zespołu: 2 Grupa J1
	Data: 29.03.2011
Nazwisko i imię: Łuniewska Marta	Ocena z przygotowania	Ocena z sprawozdania
Prowadzący dr E. Auguściuk

Ćwiczenie nr 24

BADANIE EFEKTU HALLA

1. Wstęp teoretyczny

Efekt Halla jest zjawiskiem fizycznym polegającym na wystąpieniu różnicy potencjałów w przewodniku, w którym płynie prąd elektryczny, gdy przewodnik znajduje się w poprzecznym do płynącego prądu polu magnetycznym. Ta różnica potencjałów, nazywana napięciem Halla, pojawia się między płaszczyznami ograniczającymi przewodnik prostopadle do płaszczyzny wyznaczanej przez kierunek prądu i wektor indukcji pola magnetycznego. Jest ono spowodowane działaniem siły Lorentza, która działa na ładunek elektryczny q poruszający się z prędkością v w polu magnetycznym o indukcji B. Siła ta wyraża się wzorem:

F_L=q*VxB

(Kursywą oznaczam wektory)

Siła ta jest prostopadła do wektorów v i B.

Nośnikami prądu w hallotronie (cienkiej warstwie półprzewodnika naparowanej na nieprzewodzące podłoże i zaopatrzonej w cztery elektrody) są elektrony i dziury. Pod wpływem siły Lorentza ruch nośników zostaje zakłócony i odchylają się one w kierunku siły Lorentza i gromadzą na powierzchni bocznej warstwy. Obecność tych zgromadzonych ładunków można sprawdzić mierząc właśnie napięcie Halla, czyli różnice potencjałów miedzy bocznymi powierzchniami naparowanej warstwy.

Na zgromadzone ładunki działa również siła elektryczna F=$\frac{\text{qUh}}{c}$

Przyrównując siłę elektryczną do siły Lorentza otrzymujemy

U_h=v*c*B

Nośniki prądu poruszają się w nośniku, w kierunku wytworzonego w próbce pola elektrycznego, z prędkością dryftową. Nośniki są przyspieszane przez pole w okresie między zderzeniami z jonami sieci krystalicznej. Prędkość dryftowa v jest wprost proporcjonalna do natężenia pola elektrycznego E, co potwierdza prawo Ohma v=μ*E,

Gdzie v- wektor prędkości dryftowej

E- natężenie pola elektrycznego

μ- współczynnik proporcjonalności nazywany ruchliwością.

Natężenie prądu sterującego płynącego przez hallotron wyraża się wzorem:

I_s= n* e*v*c*d, gdzie e- ładunek elementarny, c- szerokość warstwy, d- długość warstwy.

Po podstawieniu powyższego wzoru do wzoru na napięcie Halla otrzymujemy zależność:

U_h= $\frac{1}{n*e}\frac{B*Is}{d}$

Jeżeli w próbce poruszają się nośniki tylko jednego znaku to jesteśmy w stanie wyznaczyć koncentrację nośników n.

Z prawa Ohma i powyższych zależności otrzymujemy:

I_s=n*e*(μ*$\frac{U}{I}$)*d*c

Gdzie U- spadek napięcia wzdłuż hallotronu.

Po przekształceniu powyższych wzorów otrzymujemy zależności na koncentrację n i ruchliwość μ:

n=$\frac{1}{n*e}\frac{Is*B}{\text{Uh}}$, μ=$\frac{Uh*I}{U*c*B}$

Podstawiając U=R_h*I_s do powyższego wzoru na ruchliwość μ otrzymujemy:

Rh=$\frac{1}{n*e*\mu}\frac{1}{c*d}$

Iloraz $\frac{1}{n*e}$ nazywamy stałą Halla.

Wykonanie ćwiczenia:

• Badanie proporcjonalności napięcia Halla I_h od natężenia prądu sterującego Is i spadku napięcia U na hallotronie. Wyznaczenie koncentracji nośników n i ich ruchliwości μ.

Hallotron umieszczony został między nabiegunnikami elektromagnesu zasilanego prądem o wybranym natężeniu I_m. Natężenie prądu sterującego zmienialiśmy zasilaczem stabilizowanym od 0,50 A do 4,50 A w zależności co 0,50 A. Odczytywaliśmy wartości dla U_h (napięcia Halla), U (spadku napięcia wzdłuż hallotronu), U_w (napięcia oporu wzorcowego 100 Ω) i I_s (natężenia prądu sterującego).

Z tablicy na stoliku pomiarowym odczytaliśmy wartość B.

• Następnie ustaliliśmy stałe natężenie prądu sterującego (I_s=3,50 A) i odczytywaliśmy wartości U, U_w i I_m (natężenia elektromagnetycznego, które zmienialiśmy). Wartość U_w pozostała stała. Dla każdej wartości natężenia elektromagnetycznego odczytywaliśmy wartość B z wykresu umieszczonym na tablicy stolika pomiarowego.

Spisaliśmy wymiary hallotronu (jego grubość, szerokość i długość) oraz zakresy na których dokonywaliśmy pomiarów.

Schemat pomiarowy

1. Wyniki pomiarów i opracowanie wyników

Uw [mV]	U [mV]	Is [mA]	Uh [mV]	błąd Is [mA]	błąd Uh [mV]	błąd U [mV]
0,05	0,22	0,5	0,03	0,035	0,012	0,021
0,10	0,44	1,0	0,06	0,040	0,013	0,032
0,15	0,66	1,5	0,10	0,045	0,015	0,043
0,20	0,86	2,0	0,14	0,050	0,017	0,053
0,25	1,07	2,5	0,16	0,055	0,018	0,064
0,30	1,26	3,0	0,20	0,060	0,020	0,073
0,35	1,45	3,5	0,23	0,065	0,022	0,082
0,40	1,63	4,0	0,25	0,070	0,022	0,091
0,45	1,80	4,5	0,27	0,075	0,024	0,100

B=0,24 T

Wartości a i b współczynników prostej Uh=f(Is) wynoszą odpowiednio:

a=0,0617 Δa= 0,0023

b= 0,0058 Δb=0,0065

Ze wzoru:

U_h= $\frac{1}{n*e}\frac{B*Is}{d}$

a, czyli współczynnik kierunkowy prostej jest równy $\frac{B}{\text{n\ e\ d}}$

po przekształceniu otrzymujemy, że koncentracja n=$\frac{B}{\text{eda}}$

natomiast błąd koncentracji S_n=$\sqrt{(\frac{\partial}{\partial a}})\hat{}2*Sa\hat{}2 + (\frac{\partial}{\partial d})\hat{}2*(\frac{\text{Δd}}{\sqrt{3}})\hat{}2 + (\frac{\partial}{\partial B})\hat{}2*SB\hat{}2$

B=0,24 T

e- ładunek elementarny = 1,6 * 10^-19 C

a=0,0617

d (grubość hallotronu)= 0,2 μm=0,2 * 10^-6 m

po podstawieniu do wzoru n=$\frac{B}{\text{eda}}\ $otrzymujemy, że n= $\frac{0,24\ T}{1,6*10^{- 19}\text{\ C}\ *0,2*10^{- 6}\ m\ 0,0617}$= 12,15 *10²⁵ $\frac{1}{m^{3}}$

$\frac{\partial}{\partial a}$= $\frac{B}{\text{ed}}$

Sa=0,0023

$\frac{\partial}{\partial d}$=$\frac{B}{\text{ea}}$

Δd = 0, 05 μm = 0,05 *10^-6 m

$\frac{\partial}{\partial B}$=$\frac{1}{\text{eda}}$

Za SB przyjmuje średnią wartość tego błędu tzn. 0,000319 T

Podstawiam do wzoru na Sn=$\sqrt{(\frac{B}{\text{ed}}})\hat{}2*Sa\hat{}2 + (\frac{B}{\text{ea}})\hat{}2*(\frac{\text{Δd}}{\sqrt{3}})\hat{}2 + (\frac{1}{\text{eda}})\hat{}2*SB\hat{}2$

Po podstawieniu wartości liczbowych otrzymuje:

Sn= 22,95 *10⁹ $\frac{1}{m^{3}}$

koncentracja n=(12,15*10²⁵+/-22,95*10⁹)$\frac{1}{m^{3}}$

Współczynniki a i b prostej są następujące:

a=0,1561 Δa=0,0041

b=-0,0029 Δb=0,0048

Zgodnie ze wzorem: μ=$\frac{Uh*I}{U*c*B}$

A więc a=$\frac{\mu\text{cB}}{I}$

Po przekształceniach otrzymuje:

μ=$\frac{\text{aI}}{\text{cB}}$

a=0,1561

I=3,5mA=3,5 *10^-3 A

c- szerokość hallotronu=40μm=40 *10^-6 m

Za B przyjmuje średnią wartość B=0,044 T

Sμ=$\sqrt{(\frac{\partial}{\partial a}})\hat{}2*Sa\hat{}2 + (\frac{\partial}{\partial c})\hat{}2*(\frac{\text{Δc}}{\sqrt{3}})\hat{}2 + (\frac{\partial}{\partial B})\hat{}2*SB\hat{}2 + (\frac{\partial}{\partial I})\hat{}2*SI\hat{}2$

Podstawiając do pierwszego wzoru otrzymuje:

μ=$\frac{\text{aI}}{\text{cB}}$=310,43$\frac{m^{2}}{\text{Vs}}$

$\frac{\partial}{\partial a}$=$\frac{I}{\text{cB}}$

$\frac{\partial}{\partial c}$=$- 1\frac{\text{aI}}{Bc^{2}}$

$\frac{\partial}{\partial B}$=$\frac{- 1*aI}{cB^{2}}$

$\frac{\partial}{\partial I}$=$\frac{a}{\text{cB}}$

Sa=0,0041

Δc = 0, 05 μm = 0,05 *10^-6 m

Za SB przyjmuje średnią wartość SB=0,000319 T

SI= 0,065 mA=0,065*10^-3A

Podstawiając do wzoru otrzymuje:

Sμ=9,12$\frac{m^{2}}{\text{Vs}}$

μ=310,43+/-9,12 $\frac{m^{2}}{\text{Vs}}$

Współczynniki a i b prostej powyższego wykresu U=f(Is) wynoszą:

a=0,3957 Δa=0,0061

b=0,0542 Δb=0,0172

Opór jest równy współczynnikowi a prostej, natomiast jego błąd to błąd współczynnika a. A więc opór wynosi:

Rh=0,3957+/-0,0061 Ω

Wartość liczbowa oporu została skomentowana we wniosku numer 4.

Uw [mV]	U [mV]	Is [mA]	Uh [mV]	Ielektr. [mA]	B [T]	błąd I [mA]	błąd B [T]	błąd Uh [mV]
0,35	1,37	3,5	0,09	0,1	0,005	0,052	0,00027	0,014
	1,38		0,12	0,2	0,015	0,054	0,00028	0,016
	1,40		0,15	0,3	0,025	0,056	0,00029	0,018
	1,42		0,18	0,4	0,030	0,058	0,00030	0,019
	1,44		0,22	0,5	0,040	0,060	0,00031	0,021
	1,47		0,25	0,6	0,050	0,062	0,00032	0,022
	1,50		0,28	0,7	0,055	0,064	0,00034	0,024
	1,54		0,32	0,8	0,065	0,066	0,00035	0,026
	1,57		0,34	0,9	0,075	0,068	0,00036	0,027
	1,60		0,38	1,0	0,080	0,070	0,00037	0,029

Współczynniki a i b prostej wynoszą odpowiednio:

a= 3,8480 Δa=0,1014

b= 0,0637 Δb=0,0051

ze wzoru:

U_h= $\frac{1}{n*e}\frac{B*Is}{d}$

a=$\frac{\text{Is}}{\text{ned}}$

po przekształceniu otrzymuje:

n=$\frac{\text{Is}}{\text{aed}}$

a=3,8480

e- ładunek elementarny = 1,6 * 10^-19 C

d (grubość hallotronu)= 0,2 μm=0,2 * 10^-6 m

Sn=$\sqrt{(\frac{\partial}{\partial a}})\hat{}2*Sa\hat{}2 + (\frac{\partial}{\partial d})\hat{}2*(\frac{\text{Δd}}{\sqrt{3}})\hat{}2 + (\frac{\partial}{\partial Is})\hat{}2*SIs\hat{}2$

$\frac{\partial}{\partial a}$=$- 1*\frac{\text{Is}}{\text{ed}a^{2}}$

$\frac{\partial}{\partial d}$=$- 1*\frac{\text{Is}}{\text{ea}d^{2}}$

Δd = 0, 05 μm = 0,05 *10^-6 m

$\frac{\partial}{\partial Is}\ $= $\frac{1}{\text{aed}}$

S_Is=0,065 mA=0,065*10^-3A

Zgodnie ze wzorem:

otrzymuje n=$\frac{\text{Is}}{\text{aed}}$= 3,14*10¹² $\frac{1}{m^{3}}$

Sn=11,09+/-10⁹$\frac{1}{m^{3}}$

n=3,14*10¹²+/-11,09+/-10⁹$\frac{1}{m^{3}}$

1. Wnioski:

1. Wszystkie punkty pomiarowe układają się na prostych, dzięki czemu wyznaczając współczynniki tych prostych jestem w stanie wyliczyć koncentrację, ruchliwość i opór badanego hallotronu.

2. Opór hallotronu rośnie przy zwiększającym się natężeniu prądu elektromagnesu.

3. Pomiar napięcia Halla pozwala wyznaczyć koncentrację nośników i ich ruchliwość.

4. Wynik oporu wydaje się być zbyt mały, jednak z wykresu U=f(Is) opór to współczynnik a, natomiast jego błąd to błąd współczynnika a. Wartości napięcia i natężenia liczone były w mV i mA, przedrostki „mili” podczas dzielenia skracają się, badany opór wychodzi w Ω. Trzeba więc zaakceptować wynik oporu, który wyznaczyła prosta metodą najmniejszych kwadratów.