TEORIA GIER

Teoria gier - definiowana jako teoria podejmowania decyzji w warunkach interaktywnych (gry strategicznej) lub inaczej matematyczna teoria sytuacji konfliktowych - została stworzona przez J. von Neumanna, który stwierdził, że istota tej gry nie polega na próbie odgadnięcia intencji gracza, lecz na skrywaniu własnych zamiarów. Podstawowym założeniem teorii gier jest racjonalne działanie wszystkich podmiotów decyzyjnych (graczy). Podstawowymi elementami każdej sytuacji, w której występuje zjawisko konkurencji są:

1. Gracze i ich posunięcia. Na rynku występuje przynajmniej dwóch graczy i ich działania inwestycyjne, marketingowe oraz produkcyjno - cenowe są wzajemnie uzależnione.

2. Wyniki i wypłaty. Działania wszystkich graczy określają wynik walki konkurencyjnej (zwany wartością gry). Każdemu możliwemu wynikowi odpowiada określona wypłata, która jest miarą stopnia osiągnięcia celu każdego z rywali; najczęściej wyrażona pieniężnie, gdy mowa o przedsiębiorstwie, a w wartościach użyteczności, gdy dotyczy konsumenta.

3. Reguły gry. Postępowaniem graczy rządzą formalne i nieformalne reguły gry. Mogą to być przepisy prawne, powszechnie uznane zasady konkurencji i nieuczciwe praktyki lub wrogie przejęcia, a także zasób wiedzy analitycznej umożliwiającej śledzenie zachowań konkurencyjnych.

Punktem wyjścia w każdej analizie konkurencji, odwołującej się do dorobku teorii gier, jest opis graczy, stosowanych przez nich strategii, rozumianych jako plan działań, uwzględniający wszystkie ewentualności oraz uzyskanych przez każdego z nich wypłat.

Walka konkurencyjna może mieć charakter jednorazowego posunięcia lub wielu działań rozłożonych w czasie (konkurencja sekwencyjna i powtarzalna).

Gry mogą występować w wersji strategicznej i ekstensywnej.

Skończoną grę strategiczną od strony formalnej można zdefiniować:

• zbiór graczy: I = {1,…, N},

• zbiór działań (posunięć): A = {A₁, …, A_N}, gdzie każdy element A_i = {a_i¹, …, a_i^k} jest zbiorem posunięć dostępnych dla i-tego gracza. Każdy gracz ma potencjalnie inny ich zbiór, stąd liczba dostępnych działań, k_i w ogólnym przypadku jest różna względem i,

• zbiór funkcji wypłat: ∏ = {π₁, …, π_N}, gdzie każdy element π_i przyporządkowuje wartość liczbową wynikowi gry. Jeśli wynik gry oznacza działania podjęte przez graczy: a = (a₁, …, a_N). Element tego zbioru (profilu), a_i ∈ A_i, oznacza konkretne dokonane posunięcie (decyzję) gracza i.

Strategia dominująca to najlepsza możliwa reakcja na dowolną strategię zastosowaną przez konkurenta. Jej logika nieuchronnie prowadzi do pogorszenia wyniku, gdy gra ma charakter niekooperacyjny.

Historycznym przykładem gry niekooperacyjnej jest dylemat więźnia.

Problem decyzji aresztowanego A

D z i a ł a n i a A	D z i a ł a n i a B Nie przyznawać się wsypać kompana
Nie przyznawać się	1 rok	10 lat
Wsypać kompana	0 lat	5 lat

Problem decyzji aresztowanego B

D z i a ł a n i a B	D z i a ł a n i a A Nie przyznawać się wsypać kompana
Nie przyznawać się	1 rok	10 lat
Wsypać kompana	0 lat	5 lat

Gra dwuosobowa aresztowanych

D z i a ł a n i a A	D z i a ł a n i a B Nie przyznawać się wsypać kompana
Nie przyznawać się	1 rok 1 rok	10 lat 0 lat
Wsypać kompana	0 lat 10 lat	5 lat 5 lat

Formalnie grę dwuosobową aresztowanych zapisuje się następująco: I = {1, 2}, A={A₁, A₂}, A₁ = {przyznać się, wsypać kompana}= {Prz, Ws} = A₂. Wynikiem gry są kombinacje działań obu aresztowanych, tj. a = (Ws, Ws), b = (Ws, Prz), c = (Prz, Ws), d = (Prz, Prz), a funkcje wypłat ∏ = {π₁, π₂}. Funkcja wypłat przypisuje wartości liczbowe każdemu wynikowi. Przykładowo, π₁ (a) = 5, π₂(c) = 0. Interpretacja wyników wykracza niejednokrotnie poza zagadnienia ekonomii.

Strategie zapewniające równowagę (gry o wejście na rynek, udział w rynku) powinny być stosowane, gdy konkurenci podejmują decyzje niezależnie od siebie (brak zmowy). Wówczas są odzwierciedleniem optymalnej reakcji obu graczy, czyli pozwalają one zmaksymalizować wielkość wypłaty każdego z nich w warunkach, określonych przez wybór strategii, dokonany przez przeciwnika (równowaga Nasha).

Najlepszym wynikiem, jakiego może oczekiwać gracz uczestniczący w grze o sumie zerowej przeciwko jednakowo nastawionemu rywalowi, jest osiągnięcie stanu równowagi. Gdyby któryś z graczy odstąpił od realizacji strategii prowadzącej do równowagi, ograniczyłby wielkość własnych wypłat i pozwoliłby na zwiększenie wypłat rywala.

Prostym przykładem gry, ilustrującej koncepcję równowagi Nasha, w której przynajmniej dwaj gracze dokonują jednego, jednoczesnego ruchu, dotyczącego podjęcia jednej decyzji, jest konkurencja między Hondą i Toyotą w Ameryce Północnej pod koniec lat 90. związana z budową nowych zakładów produkcyjnych

Gra o udział w rynku między Toyotą i Hondą

T o y o t a

Budować nową wytwórnię Nie budować

Budować nową wytwórnię

H o n d a

Nie budować

Wartości gry są podane w mln dolarów.

Z opisanego przykładu wynika, że jeśli gracze oczekują racjonalnego zachowania się przeciwnika, to obaj optymalizując wybór, osiągają równowagę Nasha.

Występowanie kilku stanów równowagi to przypadek nawet najprostszych negocjacji, których rezultatem może być dowolny podział zysków wskutek przyjęcia konkretnego stanu równowagi.

Strategie zawierające połączenie elementów konkurencji i kooperacji (walka płci w małżeństwie), w których przedsiębiorstwa konkurują za pomocą cen, patentów, rozbudowy potencjału produkcyjnego kooperując jednocześnie przy tworzeniu standardów jakościowych, fuzji i barier wejścia. Istotą tych strategii jest starcie dwóch interesów (racji) przy jednakowo sformułowanym celu, w rezultacie powstają dwa punkty równowagi, a ewentualny wybór następuje w procesie negocjacji.

W wielu rzeczywistych sytuacjach rywale odpowiadają kontrposunięciami na swoje działania. W grze sekwencyjnej uczestnicy wykonują swe ruchy po kolei (drzewo gier).

Odstraszanie od wejścia

utrzymać cenę 4, 6

wejść

obniżyć cenę - 4, 4

nie wchodzić 0, 12

wejść 4, 6

utrzymać cenę

nie wchodzić

0, 12

wejść - 4, 4

obniżyć cenę

nie wchodzić 0, 9

Ten problem można ująć jako skończoną grę ekstensywną, której obraz formalny przyjmuje postać:

• zbiór graczy; I = {1, .., N},

• zbiór strategii: S = {S₁, …, S_N}, gdzie każdy element S_i = {s_i¹,…, s_i^ki}jest zbiorem posunięć dostępnych dla i-tego gracza. Każdy gracz ma potencjalnie inny ich zbiór, stąd liczba dostępnych działań k_i w ogólnym przypadku jest różna względem i,

• zbiór funkcji wypłat: ∏ = {π₁, …, π_N}, gdzie każdy element π_i przyporządkowuje wartość liczbową wynikowi gry. Jeśli wynik gry oznacza strategie przyjęte przez graczy: s = (s₁, …, s_N). Element tego zbioru (profilu), s_i ∈ S_i, oznacza konkretną strategię przyjętą przez gracza i.

• drzewo gry składające się z wierzchołka początkowego, wierzchołków decyzyjnych, wierzchołków końcowych i gałęzi łączących wierzchołek z jego następnikami,

• reguły określające, który gracz podejmuje decyzje w danym wierzchołku decyzyjnym i jakie akcje są dla niego dostępne, jaką wypłatę otrzymują gracze w danym wierzchołku końcowym.

Niekooperacyjna gra ekstensywna Γ_e jest zapisywana jako Γ_e = [I, S, ∏].

Zatem odstraszenie od wejścia można przedstawić również jako strategię ekstensywną. Istnienie potencjalnej konkurencji wymusza reakcję obronną dotychczasowego monopolisty, a potencjalny konkurent musi brać ją pod uwagę.

Potencjalny konkurent

•

pozostanie poza rynkiem

wejście

• • przedsiębiorstwo istniejące na rynku

wojna cenowa

przystosowanie

• •

przedsiębiorstwo istniejące na rynku

wojna cenowa przystosowanie

w e j ś ć

p o z o s t a ć

p o z a

Informacja, na której opierają się działania i strategie może być doskonała lub niedoskonała. Gdy pomija się czas w działaniu, tj. gracze podejmują decyzje jednocześnie nie znając stanowiska przeciwnika, to gra jest symultaniczna, gdyż rywale dysponują niedoskonałą informacją, lecz pełną odnośnie do reguł gry, wyników gry i wypłat im przyporządkowanych.

Zbiorem informacyjnym H_i jest zbiór wierzchołków, w których gracz i podejmuje decyzję, lecz nie ma pewności, w którym wierzchołku się znajduje.

W przypadku gry rynkowej dwóch przedsiębiorstw dotyczącej decyzji o wysokości cen homogenicznego produktu - zgodnie z prawem popytu - konsumenci wybiorą produkt o niższej cenie. Na rysunku drzewa gry ekstensywnej zaznaczono zbiór informacyjny firmy 2, co odzwierciedla strukturę informacyjną gry. Dwojakiego rodzaju decyzje cenowe (niska lub wysoka cena) są podejmowane jednocześnie, więc zachowanie konkurenta nie jest znane w momencie podejmowania decyzji przez rywala. Firma 1 ma dwie strategie S₁ = {niska cena, wysoka cena}. Firma 2 ma również dwie strategie S₂ = {niska cena, wysoka cena}. Każda może wybrać dowolną strategię, lecz wypłaty są im znane. Gra spełnia warunki gry o pełnej, ale niedoskonałej informacji.

Firma 1

•

W N

• Firma 2 •

W N W N

• • • •

Alternatywą jednoczesności podejmowania decyzji jest ich sekwencyjność, czyli zdynamizowanie tego procesu w czasie.

Jeśli reguły gry są takie same, jak w poprzednim przykładzie, a wszystkie zbiory informacyjne są jednoelementowe i decyzje cenowe są podejmowane sekwencyjnie, to zachowanie konkurenta jest znane w momencie podejmowania decyzji (pełna i doskonała informacja).

Firma 1

•

W N

• Firma 2 •

W N W N

• • • •

Liczba strategii dostępnych każdej firmie jest niejednakowa: S₁ = {niska cena, wysoka cena}. Firma 2 ma po dwie strategie w zależności od strategii podjętej przez konkurenta, czyli S₂ = {niska cena, jeśli cena rywala jest niska, wysoka cena, jeśli cena rywala jest niska, niska cena, jeśli cena rywala jest wysoka, wysoka cena, jeśli cena rywala jest wysoka}.

Liczba strategii gracza i Ψ(S_i) wynosi:
,

gdzie: m - liczba zbiorów informacyjnych gracza i w grze ekstensywnej Γ_e

H_k - liczba dostępnych działań w danym zbiorze informacyjnym,

gdzie: k = 1,…,m oznaczana jest symbolem l_k.

Przykład konfliktu w Zatoce Świń (1963 rok?).

CHRUSZCZOW

rozmieszczać rakiety nie rozmieszczać rakiet

KENNEDY

nie robić nic

blokada zniszczyć rakiety

CHRUSZCZOW CHRUSZCZOW

ustąpić odwet ustąpić odwet

A. Nie rozmieszczać rakiet

B. Rozmieścić rakiety. W przypadku jakiejkolwiek agresywnej reakcji Kennedy'ego ustąpić

C. Rozmieścić rakiety. W przypadku blokady ustąpić, w przypadku zniszczenia rakiet zastosować środki odwetowe

D. Rozmieścić rakiety. W przypadku blokady zastosować środki odwetowe, w przypadku zniszczenia rakiet ustąpić

E. Rozmieścić rakiety. W przypadku jakiejkolwiek agresywnej reakcji Kennedy'ego zastosować środki odwetowe.

A. Blinder przedstawił grę, której stronami są władze monetarne FED (niewybieralne, kadencja 14 lat, a prezesów do emerytury) i politycy, którzy muszą starać się o reelekcję. Pierwsi skłonni do polityki restrykcyjnej - drudzy do ekspansywnej. Celem gry jest skłonienie przeciwnika do podjęcia decyzji, której nie chce podjąć z własnej woli. FED preferuje nadwyżkę przychodów budżetu nad wydatkami rządowymi (brak deficytu).

Rezerwa Federalna

Restrykcyjność Bierność Ekspansywność

3 9	1 6	4 4
2 8	5 5	6 1
7 7	8 3	9 2

1.

Przedsiębiorstwo M i N rywalizują o pewien rynek i niezależnie od siebie muszą zdecydować o wielkości wydatków na reklamę. Każde z niech jest w stanie wydać na ten cel 20 lub 10 mln zł. Jeśli firmy wydadzą na reklamę tyle samo, to podzielą się rynkiem o wartości 120 mln zł (zysk każdego przedsiębiorstwa wyniesie 60 - 20 = 40 mln zł). Jeżeli jedno wyda 20 mln zł, a drugie 10 mln zł, to pierwsze przejmie dwie trzecie rynku a drugie jedną trzecią.

WYDATKI na REKLAMĘ FIRMY N w mln zł

10 20

	40 40

1. wstaw liczby opisujące wielkość zysku do poniższej tabeli wypłat

2. zakładając niezależne działanie obu firm, jaki wybiorą poziom wydatków?

3. czy opłacalne byłoby dla nich zawarcie porozumienia obejmującego całą gałąź i dotyczącego skali wydatków na reklamę? Dlaczego?

2.

Gra w tchórza. Dwóch nastolatków najeżdża na siebie samochodami po jednopasmowej drodze. Pierwszy, który zjedzie z drogi zostaje tchórzem, drugi - bohaterem. Jeżeli obaj zjadą z drogi, to obaj zostają tchórzami. Jeżeli żaden nie zjedzie - obaj lądują w szpitalu.

I R E K	J A N E K
		zjechać	zjechać	nie zjechać
				1 1	1 2
		nie zjechać	2 1	0 0

Na podstawie poniższej macierzy wypłat odpowiedz:

1. czy gra ma dominujące strategie?

2. czy występują tu stany równowagi Nasha?

3.

W 2000 r. dwa kraje członkowskie OPEC, Arabia Saudyjska i Iran wydobywały przeciętnie 5 mln i 2 mln baryłek ropy dziennie. Koszty produkcji wynosiły około $10 za baryłkę, a jej cena rynkowa kształtowała się na poziomie $20. Zdolności wytwórcze w obu krajach pozwalały dodatkowo wydobywać 1 mln baryłek ropy dziennie. Według ówczesnych ocen, każdy wzrost podaży o 1 mln baryłek prowadziły do spadku ceny ropy o $2.

1. uzupełnij poniższą tabelę wypłat liczbami oznaczającymi odpowiednie wielkości zysku każdego z krajów

I R A N

2 mln baryłek 3 mln baryłek

5 mln baryłek

Arabia Saudyjska

6 mln baryłek

Teresa Kamińska Teoria gier

12

16 16 20 15

15 20 18 18

M

O

O

M

O

-3 -1 2 1

0 2 0 2

potencjalny konkurent

Politycy

Ekspansywność Bierność Restrykcyjność

WYDATKI na REKLAMĘ FIRMY M w mln zł

10

20

---