13. Optyka geometryczna

Optyka geometryczna zajmuje się ruchem promieni i konstrukcją obrazów w układach optycznych bez analizy własności promieniowania elektromagnetycznego.

1. Prawo odbicia i załamania światła

Podstawą teoretyczną optyki geometrycznej jest zasada Fermata mówiąca, że światło porusza się po takim torze aby czas jego ruchu między położeniem początkowym A i końcowym B był minimalny. Wyobraźmy sobie, że punkty te leżą w dwóch ośrodkach 1 i 2 (rysunek 93). W ośrodku pierwszym prędkość światła wynosi v₁ a w ośrodku drugim v₂. Niech odległości punktów A i B od płaskiej granicy ośrodków wynoszą y_A i y_B, a odległość ich rzutów na tą płaszczyznę d. Położenie punktu, w którym nastąpi załamanie jest nieznane. Niech będzie ono określone przez zmienną x.

Rys. 93 Załamanie na granicy dwóch ośrodków

Drogi przebyte przez promień w obu ośrodkach obliczamy korzystając z twierdzenia Pitagorasa.

s₁² = x² + y_A²

s₂² = (d-x)² + y_B²

Całkowity czas przejścia z punktu A do B wyniesie:

t = t_A + t_B = = .

Ponieważ czas ten ma być minimalny to pochodna z powyższej funkcji t(x) po x musi być równa 0.

Po uproszczeniu przez 2 zauważyć można, że oba ułamki zawierają funkcje trygonometryczne kątów α i β. Kąt α nazywamy kątem padania i znaczymy go między kierunkiem promienia padającego i normalną (prostą prostopadłą) do powierzchni granicznej w punkcie padania. Kąt β nazywamy kątem załamania i znaczymy go między kierunkiem promienia załamanego i normalną do powierzchni granicznej w punkcie padania. Dla obu kątów zachodzą następujące związki:

sin α = ,

sin β = .

Wstawiając ostatnie dwa wzory do poprzedniego otrzymujemy:

.

Wprowadzając definicję bezwzględnego współczynnika załamania światła n_i (informującego ile razy prędkość w danym ośrodku jest mniejsza od prędkości światła w próżni):

n₁ = ,

n₂ =

oraz względnego współczynnika załamania n₁₂ ośrodka 2 względem 1 (równego stosunkowi prędkości światła lub stosunkowi bezwzględnych współczynników załamania w tych ośrodkach):

n₁₂ = ,

otrzymamy:

.

Powyższy wzór wyraża prawo załamania światła, które mówi, że stosunek sinusa kąta padania do sinusa kąta załamania jest wielkością stałą równą stosunkowi prędkości światła w obu ośrodkach (lub względnemu współczynnikowi załamania ośrodka drugiego względem pierwszego) i oba kąty leżą w jednej płaszczyźnie.

Z prawa załamania wynika, że promień świetlny przechodzący z ośrodka rzadszego optycznie (większa prędkość, mniejszy współczynnik załamania) do gęstszego optycznie załamuje się do (odchyla się w kierunku) normalnej. Poruszając się w stronę przeciwną załamuje się od normalnej. Zjawisko to powoduje, że patrząc np. na przedmioty w wodzie widzimy je pod innym kątem i na innej wysokości.

Niech czytelnik sam przeprowadzi podobną analizę dla odbicia światła. Ponieważ w tym przypadku v₁ = v₂ stąd prawo odbicia będzie brzmiało: kąt padania jest równy kątowi odbicia i oba kąty leżą w jednej płaszczyźnie.

Z prawa tego wynika, że przy odbiciu zmienia się na przeciwną składowa prostopadła do powierzchni granicznej obu ośrodków. Fakt ten znalazł zastosowanie przy budowie świateł odblaskowych. Zbudowane one są z wielu naroży sześciennych i wykorzystują wewnętrzne ścianki odbijające. Ponieważ ścianki te zorientowane są wzajemnie prostopadle dlatego wchodzący do środka promień po odbiciu od każdej po kolei zmienia za każdym razem jedną z trzech współrzędnych na przeciwną. Oznacza to, że promień wychodzący ma wszystkie współrzędne przeciwne do odpowiednich w promieniu padającym, a więc wychodzi w tym samym kierunku lecz z przeciwnym zwrotem. Oznacza to, że promienie po oświetleniu poprzedzającego ciała wracają do obiektu, który je oświetlił (np. światła samochodu).

Promień świetlny padający na granicę dwóch ośrodków najczęściej ulega odbiciu i załamaniu dzieląc swą energię na dwie części. Jak już powiedzieliśmy dla promienia wychodzącego z ośrodka gęstszego optycznie (większe n) kąt załamania jest większy od kąta padania. Przy kącie padania, któremu odpowiada kąt załamania równy 90⁰ następuje całkowite wewnętrzne odbicie. Znika wówczas promień załamany a cała energia promienia padającego wraca do pierwszego ośrodka w postaci promienia odbitego (rysunek 94).

Rys. 94 Całkowite wewnętrzne odbicie

Dla kąta granicznego (promień 2) zachodzi związek:

Przyjmując, że drugim ośrodkiem jest powietrze (n₂ ≈ 1) oraz n₁ = n otrzymujemy wzór na kąt graniczny przy całkowitym wewnętrznym odbiciu:

.

Całkowite wewnętrzne odbicie zachodzi więc dla kątów padania większych od α_gr. Zjawisko całkowitego wewnętrznego odbicia znalazło powszechne zastosowanie w telekomunikacji światłowodowej, w telewizji kablowej, w medycynie do obserwacji i operacji organów wewnętrznych (laparoskopia) oraz w wielu działach techniki związanych z laserami a także przy konstrukcji przyrządów optycznych (np. pryzmaty odwracające bieg promienia i wydłużające jego drogę w lornetkach, lunetach, spektrografach itp.).

2. Pryzmat, zwierciadło, soczewki

Rysunek 95 przedstawiona bieg promienia w pryzmacie.

Rys. 95 Bieg promienia monochromatycznego w pryzmacie

Pryzmatem nazywamy część ciała przezroczystego (o współczynniku załamania n) ograniczoną dwoma półpłaszczyznami o wspólnej krawędzi zwanej krawędzią pryzmatu. Kąt ϕ między tymi półpłaszczyznami nazywamy kątem łamiącym pryzmatu. Znajdziemy teraz związki występujące między odpowiednimi kątami zaznaczonymi na rysunku. Niech na zewnątrz pryzmatu będzie środowisko (z dobrym przybliżeniem powietrze) o współczynniku załamania równym 1. Oznaczmy kąty w tym środowisku przez α₁ i α₂ . Odpowiednie kąty w pryzmacie oznaczymy przez β₁ i β₂. Zgodnie z prawem załamania zachodzi między nimi związek:

.

Przyjmując, że dla małych kątów:

sin α ≈ tg α ≈ α ,

otrzymamy:

α₁ ≈ n β₁

oraz

α₂ ≈ n β₂ ,

Weźmy teraz pod uwagę dwa trójkąty leżące wewnątrz pryzmatu. Wykorzystamy odpowiednie twierdzenie matematyczne mówiące, że wartość kąta zewnętrznego trójkąta jest równa sumie wartości kątów wewnętrznych tego trójkąta. Tak więc dla odpowiednich trójkątów otrzymamy następujące wzory:

ϕ = β₁ + β₂ ,

oraz

Θ = (α₁ - β₁) + (α₂ - β₂) = α₁ + α₂ - (β₁ + β₂) = α₁ + α₂ - ϕ .

Łącząc ostatnie wzory otrzymujemy:

Θ = n β₁ + n β₂ - ϕ = n ϕ -ϕ = (n-1) ϕ .

Z wzoru tego wynika, że odchylenie promienia od kierunku pierwotnego Θ zależy przy małych kątach od kąta łamiącego pryzmatu i od współczynnika załamania światła n. Współczynnik załamania światła jest (w pierwszym przybliżeniu) odwrotnie proporcjonalny do długości fali światła λ . Ponieważ długość fali światła fioletowego jest mniejsza niż długość fali światła czerwonego dlatego współczynnik załamania dla światła fioletowego jest większy niż współczynnik załamania dla światła czerwonego. Wykorzystując tą informację i ostatni wzór dochodzimy do wniosku, że jeśli pryzmat oświetlimy wiązką światła białego to ulegnie ona rozszczepieniu na pierwszej powierzchni pryzmatu i po przejściu przez niego najbardziej będzie odchylona składowa fioletowa a najmniej czerwona.

Przejdźmy teraz do przyrządów optycznych wykorzystujących prawo odbicia światła a mianowicie do zwierciadeł. Zwierciadłem nazywamy powierzchnię regularną odbijającą światło. Jeśli powierzchnią tą jest fragment sfery kulistej to mówimy o zwierciadłach kulistych skupiających (strona wewnętrzna sfery) lub rozpraszających (jeśli jest to strona zewnętrzna). Jeśli powierzchnią tą jest fragment paraboloidy obrotowej to mamy do czynienia ze zwierciadłem parabolicznym. Gdy powierzchnią tą jest płaszczyzna to mamy do czynienia ze zwierciadłem płaskim. W ostatnim przypadku, jak mówiliśmy wcześniej, przy odbiciu od takiego zwierciadła mamy do czynienia ze zmianą składowej prostopadłej do jego powierzchni. Jeśli więc dla promienia padającego i układu prawoskrętnego zachodzi związek między wersorami:

to po odbiciu od płaszczyzny zwierciadła prostopadłej np. do wersor ten zmieni się na wersor ^* = - co prowadzi do zależności:

= -=
.

Ostatnie równanie charakteryzuje układ lewoskrętny. Oznacza to, że patrząc na tekst widzimy go jakby był napisany od strony prawej do lewej. Dlatego często można spotkać napisy na pojazdach uprzywilejowanych napisane odwrotnie tak aby kierowca jadący z przodu widział je po odbiciu w lusterku wstecznym we właściwym kierunku.

Zajmijmy się teraz zwierciadłem kulistym wklęsłym (rysunek 96).

Rys. 96 Zwierciadło kuliste wklęsłe

Zwierciadło kuliste wklęsłe jest wewnętrzną częścią odbijającej sfery kulistej o środku w punkcie S i promieniu o długości SO (O nazywamy wierzchołkiem zwierciadła). Punkty S i O wyznaczają główną oś optyczną. W połowie odcinka SO znajduje się punkt F nazywany ogniskiem zwierciadła. Dzieli on odcinek SO na dwie równe części co oznacza, że leży w odległości równej połowie promienia krzywizny od punktu O. Odległość tą nazywamy ogniskową zwierciadła „f”. Wąska wiązka, równoległa do głównej osi optycznej po odbiciu od tego zwierciadła skupia się w jego ognisku (wszystkie promienie przechodzą przez punkt F). Tak więc możemy podać teraz własności promieni odbijanych od zwierciadła kulistego wklęsłego potrzebne do konstrukcji obrazów w tym zwierciadle:

1. promień padający, równoległy do osi optycznej po odbiciu przechodzi przez ognisko zwierciadła (1 1'),

2. promień padający na wierzchołek zwierciadła po odbiciu porusza się symetrycznie do padającego względem osi optycznej,

3. promień padający, przechodzący przez ognisko po odbiciu porusza się równolegle do osi optycznej (3 3').

Jeśli przez x oznaczymy odległość przedmiotu a przez y odległość obrazu od wierzchołka zwierciadła O, oraz przez R promień krzywizny zwierciadła to dla promieni przyosiowych otrzymamy równanie zwierciadła:

.

Spróbujemy znaleźć teraz związki między odległością przedmiotu i obrazu od wierzchołka zwierciadła O oraz wysokościami przedmiotu i obrazu wykorzystując rysunek 97 i podobieństwo odpowiednich trójkątów.

Rys. 97 Bieg promieni w zwierciadle kulistym wklęsłym

Powiększenie p możemy zdefiniować:

.

Wstawiając do ostatniego równania poprzednie otrzymujemy:

.

Z wzoru tego wynika, że obraz pomniejszony (p<1) uzyskamy dla x>2f czyli przedmiotów leżących w odległości większej od podwójnej ogniskowej (x>2R). Dla x=2f otrzymujemy obraz o tej samej wielkości. Dla x<2f oraz x>f otrzymujemy obraz rzeczywisty, powiększony. Przy 0<x<f powiększenie p<-1 i otrzymujemy obraz powiększony, pozorny (jako przecięcie przedłużeń promieni odbitych) leżący za zwierciadłem.

Te same wnioski uzyskamy przeprowadzając badanie funkcji y(x) otrzymanej z równania zwierciadła.

Z symetrii funkcji (x zamienne z y w równaniu zwierciadła) wynika, że funkcja ta posiada asymptoty x=f oraz y=f. Zbadajmy teraz jej monotoniczność. Obliczymy w tym celu pochodną:

.

Widać z otrzymanego wzoru, że jest ona mniejsza od 0 w całej dziedzinie, a więc funkcja y(x) jest malejąca. Wykres funkcji y(x) przedstawia rysunek 98.

Rys. 98 Zależność y(x) dla zwierciadła kulistego

Dyskusja przebiegu otrzymanej funkcji prowadzi do wniosków, które zestawiono w tabeli 5.

Zwierciadła kuliste i paraboliczne wklęsłe znalazły zastosowanie w przyrządach astronomicznych, antenach satelitarnych, reflektorach i.t.p. Zwierciadła kuliste i paraboliczne wypukłe znalazły zastosowanie np. jako zwierciadła zwiększające pole widzenia w samochodach i na skrzyżowaniach ulic. Zwierciadła metaliczne umożliwiają też ogniskowanie promieniowania elektromagnetycznego o różnych długościach fal i uzyskiwanie odpowiednio dużej mocy na jednostkę powierzchni odbiornika.

Przedstawione wyżej równanie zwierciadła można również zastosować do zwierciadła kulistego, wypukłego wstawiając ogniskową ze znakiem minus (środek krzywizny leży po przeciwnej stronie zwierciadła).

x	y	p=y/x
∞	f	0	wiązka równoległa skupia się w ognisku
x>2f	f<y<2f	p<1	obraz rzeczywisty, odwrócony, pomniejszony
2f	2f	1	obraz rzeczywisty, odwrócony
f<x<2f	y>2f	p>1	obraz rzeczywisty, odwrócony, powiększony
f	∞	∞	świecące ognisko daje odbitą wiązkę równoległą
0<x<f	y<0	p<-1	obraz pozorny, prosty, powiększony
x<0	0<y<f	-1<p<0	obraz rzeczywisty, prosty, pomniejszony przedmiotu pozornego,

Tabela.5. Własności obrazów uzyskiwanych za pomocą zwierciadła

Przejdźmy teraz do analizy biegu promieni w soczewkach. Soczewką nazywamy część ośrodka przezroczystego ograniczoną dwoma powierzchniami kulistymi (lub parabolicznymi). Ma ona taką własność, że wiązka równoległa po przejściu przez nią skupia się w jednym punkcie zwanym ogniskiem rzeczywistym F soczewki. Mówimy wtedy o soczewce skupiającej. Jeśli wiązka równoległa po przejściu przez soczewkę jest rozbieżna tak, że przedłużenia promieni przecinają się w jednym punkcie (ognisku pozornym F') to soczewkę nazywamy rozpraszającą (rysunek 99).

Rys. 99 Ognisko soczewki skupiającej i rozpraszającej

Dla soczewek stosujemy podobny jak dla zwierciadeł wzór soczewkowy:

,

gdzie: x, y oznaczają odpowiednio odległość przedmiotu i obrazu od soczewki, f jej ogniskową, n₁₂ względny współczynnik załamania materiału soczewki względem materiału otoczenia oraz R₁ i R₂ promienie krzywizn sfer ograniczających soczewkę (rysunek 100).

Rys. 100 Znaki parametrów z wzoru soczewkowego

Umówimy się, że promienie poruszają się od lewej do prawej strony oraz , że przedmiot umieszczony z lewej strony będzie miał wartość x dodatnią (z prawej ujemną). Analogicznie dla obrazu powstającego z prawej strony y>0. Jeśli pierwsza sfera, na którą padają promienie ma środek krzywizny po prawej stronie a druga po lewej to we wzorze soczewkowym wstawiamy dodatnie wartości R₁ i R₂. Jeśli po wstawieniu do wzoru soczewkowego powyższych wartości otrzymamy dodatnią wartość ogniskowej to mamy mówimy o soczewce skupiającej, jeśli ujemną to o soczewce rozpraszającej.

Proponujemy czytelnikowi jako ćwiczenie podanie znaków R₁ i R₂ oraz rodzaju soczewki (znaku f) dla przykładów na rysunku 101. Zwróćmy uwagę, że soczewki wykonane z materiału gęstszego optycznie w stosunku do otoczenia (np. szkło w powietrzu) są skupiające gdy są grubsze w środku i węższe na brzegach. Pamiętajmy też, że dla płaszczyzny przyjmujemy nieskończoną wartość promienia krzywizny. Zauważmy też, że przeniesienie soczewki z ośrodka rzadszego optycznie do ośrodka o współczynniku załamania większym od materiału soczewki zmienia znak ogniskowej. Oznacza to, że soczewka skupiająca zmieni się w rozpraszającą a rozpraszająca w skupiającą. Tak więc należy pamiętać, że nie tylko kształt soczewki decyduje o jej ogniskowej ale i względny współczynnik załamania światła materiału soczewki względem otoczenia.

Rys. 101 Rodzaje soczewek

Symbolicznie będziemy zaznaczać oba rodzaje soczewek jak na rysunku 102.

Rys. 102 Symbole soczewek

Dla soczewek definiujemy zdolność skupiającą d jako odwrotność ogniskowej f.

Jednostką zdolności skupiającej jest 1 dioptria (1D).

[ d ] = 1D = 1m^-1

Zdolność skupiająca układu soczewek jest równa sumie zdolności skupiających poszczególnych soczewek. Własność tą można wykorzystać do wyznaczenia ogniskowej soczewki rozpraszającej. Soczewka taka nie daje na ekranie rzeczywistego obrazu świecącego przedmiotu (w miejscu przecięcia rzeczywistych promieni a nie ich przedłużeń). Dlatego wykorzystujemy soczewkę skupiającą o zdolności skupiającej większej od bezwzględnej wartości d soczewki rozpraszającej (czyli o mniejszej wartości ogniskowej) i zestawiamy ją z badaną soczewką rozpraszającą w jeden układ. Układ ten będzie miał dodatnią zdolność skupiającą a więc umożliwi otrzymanie rzeczywistego obrazu na ekranie. Wyznaczając odległości x i y obliczymy zdolność skupiającą układu a stąd ogniskową soczewki rozpraszającej.

Zauważmy, że obraz powstały po przejściu przez soczewkę (także pozorny) staje się rzeczywistym przedmiotem dla drugiej soczewki.

Zasady konstrukcji obrazu w soczewkach skupiających i rozpraszających przedstawia rysunek 103.

Rys. 103 Bieg promieni przez soczewki

Dla soczewki skupiającej brzmią one następująco:

• promień padający równolegle na soczewkę po przejściu przez nią przechodzi przez jej ognisko rzeczywiste F,

• promień przechodzący przez ognisko F przed soczewką porusza się za nią równolegle do osi optycznej,

• promień padający na środek soczewki O nie zmienia za nią swego kierunku.

Analogicznie dla soczewki rozpraszającej:

• promień padający na soczewkę równolegle do osi optycznej, po przejściu przez nią odchyla się od osi optycznej tak, że jego przedłużenie do tyłu przecina ognisko pozorne F',

• promień padający na środek soczewki O nie zmienia za nią swego kierunku.

Zasady te umożliwiają konstrukcje obrazów dla soczewek skupiających i rozpraszających (rysunk 104).

Rys. 104 Zasady konstrukcji obrazów dla soczewek

Dla soczewki skupiającej otrzymano w powyższym przypadku obraz rzeczywisty (z przecięcia promieni rzeczywistych) odwrócony i pomniejszony. W przypadku soczewki rozpraszającej otrzymano obraz pozorny (z przecięć przedłużeń promieni wychodzących z soczewki), prosty (nie odwrócony) i pomniejszony. Oczywiście w drugim przypadku nie można tego obrazu uzyskać na ekranie.

13.3. Układy optyczne

Należy pamiętać, że w przypadku układu soczewek obraz uzyskany w poprzedzającej (rzeczywisty a także pozorny) traktowany jest przez następną soczewkę jako jej przedmiot. Zasada ta znalazła zastosowanie przy konstrukcji przyrządów optycznych. Lupa jest najprostszym przyrządem optycznym. Zbudowana jest z jednej soczewki skupiającej (rysunek 105).

Gdybyśmy obserwowali przedmiot z tzw. odległości dobrego widzenia δ to widzielibyśmy go pod kątem ϕ₁ takim, że:

tg ϕ₁ = .

Przedmiot o wysokości h umieszczamy w odległości x między soczewką i ogniskiem F blisko tego ostatniego. Patrząc z drugiej strony widzimy powiększony obraz przedmiotu o wysokości h' (widzimy obraz pozorny dzięki odpowiedniej zdolności skupiającej oka). Soczewkę ustawiamy tak aby obraz powstał w odległości dobrego widzenia δ a oko umieszczamy tuż przy lupie. W tym przypadku widzimy przedmiot pod kątem ϕ₂ , takim, że:

tg ϕ₂ = .

Powiększenie kątowe w jakie daje lupa będzie równe:

w = .

Rys. 105 Powstawanie obrazu w lupie

Wykorzystując podobieństwo trójkątów na powyższym rysunku znajdujemy:

.

Wyznaczmy x z równania soczewkowego dla y = -δ

Po wstawieniu do wzoru na powiększenie kątowe dla lupy otrzymujemy:

.

Z powyższego wzoru wynika, że większe powiększenie uzyskujemy przy małej wartości ogniskowej soczewki lupy.

Kolejnym, bardzo ważnym z punktu widzenia zastosowań praktycznych, przyrządem optycznym jest mikroskop. Służy on do obserwacji szczegółów przedmiotu przy dużym powiększeniu. Mikroskop optyczny składa się z dwóch soczewek: obiektywu S­₁ i okularu S₂ ustawionych w odległości l, równej długości tubusa mikroskopu. Bieg promienia w mikroskopie przedstawia rysunek 106.

Rys. 106 Konstrukcja obrazu w mikroskopie.

W mikroskopie otrzymujemy obraz pozorny, powiększony i odwrócony. Powiększenie kątowe mikroskopu optycznego jest iloczynem powiększeń obiektywu i okularu.

Powiększenie to dochodzi w praktyce do wartości 1000 przy najmniejszym rozróżnialnym szczególe ok. 0,3 μm.

---