Twierdzenie Pitagorasa w zastosowaniu na suwak.

Chmielewski w swoim opracowaniu dotyczącym obsługi suwaka, wymyślił np obliczanie przeciwprostokątnej z tw. Pitagorasa omijając operację dodawania a^2 i b^2, która zawsze przerywa szybki proces przeliczania suwakiem kiedy to piśmiennie trzeba coś napisać "po drodze" i dodać.

Analizując na suwaku jego metodę doszedłem do przekształconego wzoru Pitagorasa, którym ta metoda się posługuje.

c = a * pierw (1 + b^2 / a^2)

Dodawanie więc zostaje zamienione na proste dodanie jedynki, co nie wymaga jakiegoś "kartkowania po drodze"

W książce opisał algorytm tej metody nic więcej nie podając skąd to wynika. Ja tu podam ci opis tej metody od razu z matematycznym jej wyjaśnieniem.

Na przykładzie "egipskiego" trójkąta 3 - 4 - 5 wygląda to tak:

1. jedynka linijki na 3-kę u góry jest jej kwadrat 9

2. ryska na 4-kę u góry jest kwadrat 4-ki, czyli 16, a na linijce zarazem 1.78 jako iloraz b^2 / a^2

3. dodanie 1-ki do 1.78 "w głowie" i 2.78 ustawia się na tej samej skali ryską, aby teraz to spierwiastkować

4. Odczyt pierwiastka na linijce to 1.666, a zarazem na korpusie odpowiada to 5-ce, bo tam jest właśnie iloczyn pierwiastka z 2.78 i krótszego boku "a", bo to ma dawać przeciwprostokątną jak wskazuje wzór. Linijka po prostu wymnaża 3-kę przez 1.666 i daje 5 jako wynik całego zabiegu.

Metoda firmy "Skala" z tą śmieszną podziałką, miała zaletę większej dokładności, jeśli dysponowało się dokładnymi danymi początkowymi. do 4-ki dodawałoby się tutaj jedynkę, która byłaby wynikiem tej metody.

Z lewej strony masz więc operacje na typowy wzór Pitagorasa, a z prawej na przekształcony. Jest zysk na jednym odczycie i szybkim dodawaniu 1-ki zamiast dodawania liczb 3 do 4-ro pozycyjnych. Dane dla przykładu trójkąta 3 - 4 - 5

3, 4, 25 - 3 razy ustawienia suwakowe 3, 4, 2.78 - 3 razy

9, 16, 5 - 3 razy odczyty suwakowe 1.78, 5 - 2 razy

9 + 16 - na kartce dodawanie 1.78 + 1 - w głowie

Odwrotność sumy odwrotności. (np. oporniki równolegle połączone)

Chmielewski oprócz stosowania figlarnej metody na przeciwprostokątną, stosuje tę metodę z dodawaniem jedynki również na sumę odwrotności liczb i powrotnego odwracania, w przypadku obliczania "z" jak w poniższym wzorze.

 

Znany w technice wzór: 1/z = 1/a + 1/b przekształca więc:

1/a(1 + a/b) = 1/z

1 + a/b = a/z

 

z(1 + a/b) = a  -   na nim teraz bazuje przy stosowaniu tej metody.

weźmy przykład  a = 6    b = 4

 

1. Ustawia 6-kę (tę większą wartość mianownikową) z odwrotnej skali linijki na jedynce korpusu. 10-ka linijki ustawia się wówczas również na tej samej wartości. Właściwie to można też 10-kę linijki ustawić na 6-ce korpusu. Na jedno wychodzi.

 

2. Ryskę podsuwa pod mniejszą wartość mianownikową, czyli pod 4-kę na odwrotnej skali linijki. Na korpusowej podziałce głównej ryska wskazuje wówczas iloraz a/b. W głowie dodajemy do tego 1 i przesuwamy ryskę więc na 1.5 + 1 czyli 2.5 Jest więc już ryska ustawiona na pierwszym czynniku z wzoru czyli na (1 + a/b)

 

3. Ponieważ 10-ka linijki stoi już na wyniku tego ilorazu czyli "a" (tutaj szóstce), więc wynik tego nieznanego czynnika "z" wyznaczony zostaje ryską na podziałce odwrotnej linijki. I jest to 2.4.

 

Podobnie jak w metodzie z przeciwprostokątną, ma się tę samą liczbę ustawień interpolacyjnych co w klasycznym działaniu na podstawowym wzorze, oraz o jeden mniej odczytów interpolacyjnych pośrednich, no i zysk na prostym dodawaniu jedynki, zamiast sumowania odwrotności "a" i "b" 

Kolejne moje odkrycie pewnej sprawy związanej z suwakiem.

Zabawiałem się w ramach relaksu na wyjeździe ćwiczeniami obsługi suwaka w ramach tego co nie stosowałem. Np szybkie obliczanie przeciwprostokątnej w trójkącie prostokątnym wg metody opisanej w wydaniu Chmielewskiego, oraz takowej podobnej szybkiej metody na obliczanie sumy odwrotności liczb. Np przydatne w szybkim obliczaniu wypadkowego oporu dwóch oporników połączonych równolegle.

 

Intrygował mnie natomiast ten sposób obliczania przeciwprostokątnej w trójkącie prostokątnym, który wprowadziła jedynie polska "Skala", a którą to metodę zapomniałem po wielu latach.
Pamiętałem jedynie, że wyliczana była jedynie poprawka, którą dodawało się do dłuższej przyprostokątnej i osiągało się wynik przeciwprostokątnej. Było to ciekawe z tego tytułu, że dla trójkątów wydłużonych, suwakiem osiągało się wysokie dokładności obliczeń, jeśli niewielką poprawkę dodawało się do długiej przyprostokątnej.
Kiedyś to umiałem liczyć, bo jak dostałem w hucie ten suwak, to była do niego instrukcja i działanie tej podziałki było tam wyoślone.
Podszedłem do zagadnienia badawczo, aby odgadnąć spowrotem tę metodę mając tylko te informacje co mi pozostały. Zastosowałem analizę często stosowaną dla smukłych trójkątów prostokątnych i wyprowadziłem prosty wzór na taką poprawkę z przybliżeniem.

 

(a/b * a)/2 - a jest przyprostokątną krótszą, a b jest przyprostokątna dłuższą.

 

Suwak firmy "Skala" miał do tej metody specjalną krótką podziałkę, na ruchomej linijce w obrębie liczby 414 do 5.
Pierwszym moim przypuszczeniem jak to może funkcjonować było to, że podziałka kończy się na piątce, a dzielenie przez dwa to po prostu mnożenie przez 0.5. To był więc dobry trop.

 

Ponieważ metoda ta obejmowała najprawdopodobniej cały zakres trójkątów, więc skrajnym trójkątem byłby więc trójkąt prostokątny i zarazem równoboczny. (załączony jest on na rysunku pod koniec tego opisu)
Przy takim podejściu, stosując powyższy wzór byłby oczywiście duży błąd, bo sprawdza się on tylko dla

smukłych trójkątów. Ale jak wyliczyłem wysokość odcinka koła dla trójkąta a=b, to okazało się, że ma on właśnie 0.4142 wyrażenia (a/b * a), a to jest właśnie granica tej dodatkowej podziałki.

Wtedy byłem już pewny, że metoda ta opierała się na tym wzorze.

W tej to metodzie nie dzieli się przez 2, tylko przez zmienną wartość w funkcji proporcji boków a/b. Podziałka od 1 poprzez 0.5 do 0, służy do ustawiania proporcji boków trójkąta.

 

Więc metoda wygląda tak.

 

Wzór ogólnie można przedstawić np tak:

 

a/b * (0.4142 do 0.5) * a

 

1. dzieli się a/b na podziałce głównej i wynik znajduje się pod 1-ką lub 10-ką

 

2. nieruszając linijki jest ona już przygotowana do mnożenia i mnoży się przez wartość od 0.4142 do 0.5 , a wiadomo konkretnie jaką, bo jest ona pod 1-ką lub 10-ką i po prostu ją świadomie przenosimy, poprzez dodatkowy odczyt i zadanie tej wartości na tej krótkiej podziałce.
Czyli po prostu ustawiamy ryskę przesuwki na konkretnej proporcji boków a/b na tej krótkiej dodatkowej śmiesznej podziałce. Wynik tego przemnożenia jest na głównej podziałce na korpusie suwaka w miejscu gdzie znalazła się ryska przesuwki.

 

3. Teraz to w/w położenie zaznaczone ryską na podziałce głównej, przemnaża się przy pomocy podziałki odwrotnej na linijce, podsuwając pod ryskę krótszy bok "a" i wynik ostatecznego mnożenia, czyli ta szukana poprawka na jej dodanie do dłuższego boku znajduje się na głównej skali pod 1-ką lub 10-ką linijki.

 

4. Dodajemy tę poprawkę do boku "b" i mamy wyliczoną przeciwprostokątną "c"

 

 

Powyżej pokazany jest skrajny trójkąt prostokątny i poprawka którą należy dodać do przyprostokątnej, aby otrzymać przeciwprostokątną. Więc dla proporcji boków a/b wynoszącej dla tego przypadku 1 poprawka ta wynosi 0.4142 gdy tak jak tu narysowano długość boków też wynosi 1.

Tutaj zaś z kolei ukazana jest ta śmieszna podziałka na linijce, na której ustawia się proporcje przyprostokątnych w trójkącie. Ten wynalazek śmiesznej podziałki stosowała jedynie polska ”Skala”. Już się nie zdążył przyjąć w świecie, bo nastała era kalkulatorów.

Suwak skrawania - specjalistyczny suwak

W pracy oprócz kalkulatora chętnie też sięgam po suwak specjalistyczny jak dobieram parametry, gdy coś muszę przetoczyć przy ustawianiu maszyny. Podarował nam go gość, który sprzedawał płytki narzędziowe. Taki gadżet reklamowy do wywoływania pozytywnych nastrojów przy transakcjach handlowych w firmach.

 

To rzeczywiście wspaniałe narzędzie. Zrobiłem mu fotkę swoją kompaktową cyfrówką. Jest poniżej.

 

Suwak realizuje dwa trochę złożone wzory i od razu jako suwak pracuje w opcji z podziałką odwrotną i wykonuje jednym przesunięciem 3 operacje mnożenia lub dzielenia.

 

Trzy górne podziałki Vc, D, n,  realizują wzór, lub jego przekształcenie na inną daną.

 

Vc = pi * D * n / 1000  [m/min]  dla D w mm

Vc - to prędkość skrawania w m/min

pi - to po prostu 3.1459

D - to średnica toczenia

 

Np chcemy dobrać prędkość obrotową na maszynie, aby zrobić obróbkę.

 

Wzór będzie:

 

n = 1000 * Vc / pi * D

 

Czyli będą to dwa dzielenia Vc. Najpierw przez D potem przez pi. Jak to się dzieje wg suwakowych zasad? Ano:
Podziałki Vc i D to typowe jak w suwaku. Wzrosty wartości na prawą stronę. (normalne, a nie odwrotne) Więc "nieobecną wyobrażalną" szybkę z ryską ustawiamy na dzielną Vc np 130 m/min. Potem pod nią podsuwamy średnicę np 180 mmm (tak jak na zdjęciu) Dokonuje się więc to typowe dzielenie suwakiem, a wynik tego dzielenia będzie pod 1-ką ze skali D i nakorelowany na podziałce n. Ale uwaga! Jest to wynik etapowy, bo musi się jeszcze raz ten wynik podzielić tym razem przez pi, ale aby nie suwać żółtej wysuwki drugi raz, wykorzystane jest tu dzielenie podziałką odwrotną.
Czyli ta skorelowana pozycja 1-ki ze skali D (tutaj 1000, bo przerabiane są zarazem jednostki mm na metry) jest mnożona przez pi na skali odwrotnej, której fizycznie nie narysowano, jedynie zaznaczono na niej pi w skali odwrotnej i zaznaczono małym czarnym trójkącikiem, pod którym już odczytuje się wynik prędkości obrotowej n.

 

Zwróć uwagę, że ten znacznik trójkątny jest skorelowany na wartości około 32, a nie 314, bo 1 / 3.14159 jest 0.31831. Przyjrzyj się na swoim suwaku, że pi na skali odwrotnej jest blisko wartości pi na skali zasadniczej.

 

Cztery zaś dolne podziałki n, z, faz, Vf, realizują wzór:

 

Vf = fz * z * n [mm/min]  (posuw na ząb razy zet, ilość zębów freza, razy en, prędkość obrotowa freza)

 

Przydatne to dla frezera, aby po dobraniu już obrotów nastawić odpowiedni posuw.

 

Omawiam kolejne działania suwakowe w rozbiciu na elementy złożonego działania:

 

Pierwsze to przemnożenie n przez z przy pomocy podziałki odwrotnej.
A więc najpierw "niewidzialna wyobrażalna szybka z kreską" ustawiana jest na prędkości obrotowej "n" (tak jak na zdjęciu to 360 obr/min), a pod kreskę podsuwany czynnik "z", ale na skali odwrotnej (tutaj w przykładzie 4 np głowica frezarska z czterema płytkami).
Wynik mnożenia będzie pod 1-ką na skali fz. I przy tym ustawieniu od razu ustawione jest to do przemnożenia przez fz (posuw na jeden ząb) typowe mnożenie dla podziałek normalnych.
Wynik mnożenia już na skali Vf pod odpowiednim fz.

 

W przykładzie ze zdjęcia masz 360 obr/min * 4 * 0.07 mm/ząb i wynik około 100 mm/min

 

Poznawaj suwak i zasady. Wpadnie ci taki, lub podobny gadżet czasem w rękę, to będziesz wiedział jak to się dzieje że to działa.

 

 

 

1

---