Twierdzenia o wartości średniej

TWIERDZENIE. (Rolle'a) Niech f : [a,b]
R będzie funkcją ciągłą . jeżeli f jest różniczkowana w każdym punkcie odcinka (a,b) oraz f(b) = f(a), to istnieje punkt c
(a,b) taki, że f'(c)=0.

DOWÓD. Ponieważ [a,b] jest zbiorem zwartym i f jest funkcją ciągła, więc istnieją punkty c, c'
[a,b] takie, że f(c) jest wartością największą oraz f(c') jest wartością najmniejszą funkcji f. Gdyby f© = f(c'), to f byłaby funkcją stałą i w każdym punkcie odcinka (a,b)pochodna byłaby równa zeru. Można więc założyć, że f(c)
f(c'). Wtedy, wobec równości f(a) =f(b), mamy c
a i c
b lub c'
a i c'
b. Tym samym punkt c∈(a,b) lub c'∈(a,b). Zatem, któryś z tych punktów jest punktem lokalnego ekstremum funkcji. Na mocy warunku koniecznego istnienia ekstremum mamy więc f'(c) = 0, jeżeli tylko c∈(a,b), lub f'(c') = 0, jeżeli tylko c'∈(a,b).

WNIOSEK. Niech f : [a,b]
R będzie funkcją ciągłą . Jeżeli f jest

różniczkowana we wszystkich punktach odcinka (a,b) oraz f'(x)
0 dla każdego, to istnieje f(a)
f(b).

TWIERDZENIE (Cauchy'ego) Niech funkcje f,g : [a,b]
R będą funkcjami ciągłymi. Jeżeli f oraz g są różniczkowalne w odcinku (a,b) i g'(x)
0 dla każdego x ∈ (a,b), to istnieje punkt c∈(a,b) taki,że spełniona jest równość:

DOWÓD. Zauważmy, że na mocy wniosku g (b)
g (a). Definiujemy funkcję h ; [a,b]
R kładąc h(x) = f(x) - r ^. g(x) dla każdego x
[a,b], gdzie r jest dowolną, lecz ustaloną liczbą rzeczywistą. Funkcja h, jako suma algebraiczna funkcji ciągłych i różniczkowalnych jest ciągła i różniczkowalna. Biorąc:

Widzimy, że funkcja h spełnia założenia twierdzenia Rolle'a. Istnieje więc punkt c∈(a,b) taki, że h'(c) = 0. mamy więc

Po dokonaniu odpowiednich przekształceń otrzymujemy tezę.

Przyjmując w twierdzeniu Cauchy'ego jako funkcję g inkluzję i : [a,b]
R otrzymujemy:

TWIERDZENIE.(Lagrange'a) Niech f : [a,b] R będzie funkcją ciągłą. Jeżeli f jest różniczkowalna na (a, b), to istnieje punkt c ∈ (a, b) taki, że

Interpretacja geometryczna twierdzenia Lagrange'a jest następująca : istnieje punkt c wewnątrz odcinka [a, b] taki, że styczna do wykresu funkcji f w punkcie (c, f(c)) jest równoległa do siecznej przechodzącej przez punkty (a, f (a)) i (b, f(b)).

Okazuje się, że korzystając z twierdzenia Lagrange'a łatwo można ustalić warunki wystarczające na to, aby funkcja była monotoniczna. Zaczniemy od definicji odpowiednich pojęć.

DEFINICJA. Niech A będzie dowolnym podzbiorem R oraz f : A R dowolną funkcją.

(i) Mówimy, że f jest funkcją rosnącą, jeżeli

∀x, x' ∈ A : (x < x') ⇒ (f(x) < (f(x')).

(ii) Mówimy, że f jest funkcją malejącą, jeżeli

∀x, x' ∈ A : (x < x') ⇒ (f(x) > f(x')).

(iii) Mówimy, że f jest funkcją nierosnącą, jeżeli

∀x, x' ∈ A : (x < x') ⇒ (f(x) ≥ (f(x')).

(iv) Mówimy, że f jest funkcją niemalejącą, jeżeli

∀x, x' ∈ A : (x < x') ⇒ (f(x) ≤ (f(x')).

(v) Funkcję spełniającą jeden z warunków (i) - (iv) nazywamy monotoniczną.

TWIERDZENIE. Niech f : [a, b] → R będzie funkcją ciągłą. Jeżeli f różniczkowalna na (a, b) dla każdego x ∈ (a, b) oraz

(i) f'(x) > 0, to f jest funkcją rosnącą;

(ii) f'(x) < 0, to f jest funkcją malejącą;

(iii) f'(x) ≤ 0, to f jest funkcją nierosnącą;

(iv) f'(x) ≥ 0, to f jest funkcją niemalejącą;

(v) f'(x) = 0, to f jest funkcją stałą;

Niech x, x' ∈ [a, b]. Wtedy na przedziale [x, x'] funkcja f spełnia założenia twierdzenia Lagrange'a, skąd otrzymujemy:

f(x') = f(x) + (x'- x) ⋅ f'(c), gdzie c ∈ (x, x').

Dyskutując ostatnią równość w zależności od znaku pochodnej uzyskujemy (i) - (v).

Jako kolejne zastosowanie twierdzenia Lagrange'a otrzymamy opis położenia wykresu funkcji względem stycznej.

Rozpatrzmy funkcję ciągła i różniczkowalną f : (a,b) i niech x₀ będzie danym punktem odcinka (a,b). Jak wiemy, styczną do krzywej y = f(x) w punkcie x₀ zapisuje się równaniem

y = y(x) = f'(x₀ ) ^. (x - x₀ ) + f(x₀ ).

DEFINICJA. Punkt x₀ nazywamy punktem wypukłości w górę funkcji f, jeżeli istnieje h > 0 takie, że dla każdego x ∈ (x₀ - h, x₀ + h), x
x₀ spełniona jest nierówność f(x) < y(x); interpretacja geometryczna: wykres funkcji w otoczeniu punktu x₀ leży pod styczną poprowadzoną w punkcie x_0.

Punkt x₀ nazywamy punktem wypukłości w dół funkcji f, jeżeli istnieje h > 0 takie, że dla każdego x ∈ (x₀ - h, x₀ + h), x
x₀ spełniona jest nierówność f(x) > y(x).

Jeżeli punkt x ∈(a,b) jest punktem wypukłości w górę ( w dół ) funkcji f, to f nazywamy wypukłą w górę ( w dół ) na odcinku (a,b).

Punkt x₀ nazywamy punktem przegięcia funkcji f, jeżeli istnieje h > 0 takie, że dla każdego x spełniającego warunek (x₀ - h ) < x < x₀ wykres funkcji f leży po jednej stronie stycznej w punkcie x₀, natomiast dla każdego x spełniającego warunek x₀ < x < (x₀ + h) wykres leży po drugiej stronie stycznej w punkcie x₀.

Okazuje się, że stosując pojęcie pochodnej łatwo wypowiedzieć warunki wystarczające na to, aby funkcja miała własności o której mowa w powyższej definicji.

TWIERDZENIE. (i) Jeżeli dla każdego x ∈( x₀ ,b ) spełniona jest nierówność f'(x) < f'(x₀) [f'(x) > f'(x₀)], to dla x > x₀ krzywa f(x) położona jest pod styczną [ nad styczną ] poprowadzoną w punkcie x₀.

(ii) Jeżeli dla każdego x ∈ (a, x₀ ) spełniona jest nierówność f'(x) > f'(x₀) [f'(x) < f'(x₀)], to dla x < x₀ krzywa f(x) położona jest pod styczną [ nad styczną ] poprowadzoną w punkcie x₀.

DOWÓD. Niech x ∈( x₀ ,b ). Stosując twierdzenie Lagrange'a do funkcji f rozpatrywanej na odcinku [x₀ , x] otrzymujemy:

f(x) = f(x₀) + f'(c) ^. (x- x₀) < f(x₀) + f'(x₀)(x - x₀) = y(x).

Dowód pozostałych części twierdzenia jest analogiczny.

Z powyższego twierdzenia otrzymujemy

WNIOSEK. Jeżeli dla każdego x ∈(a, x₀ ) i dla każdego x' ∈ (x₀ , b) spełniona jest nierówność

1. f'(x) > f'(x₀) > f'(x'), to x₀ jest punktem wypukłości w górę funkcji f;

2. f'(x) < f'(x₀) < f'(x'), to x₀ jest punktem wypukłości w dół funkcji f;

3. f'(x) > f'(x₀) i f'(x') > f'(x₀) albo f'(x) < f'(x₀) i f'(x') < f''(x₀) to x₀ jest punktem przegięcia funkcji f.

Z wniosku tego wynika

WNIOSEK. Jeżeli dla danych x, x'∈(a,b) spełniona jest implikacja

1. (( x < x')
   ( f '(x) < f `( x'))), to f jest funkcją wypukłą w dół na odcinku (a,b);

2. (( x < x')
   ( f '(x) > f `( x'))), to f jest funkcją wypukłą w górę na odcinku (a,b).

Zauważmy, że jeżeli f `(x₀) = 0, to styczna poprowadzona w punkcie x₀ dana jest wzorem y(x) = f(x₀) dla każdego x ∈ R jest prostopadła do osi y-ów w punkcie f(x₀. Jeżeli dodatkowo założymy, że x₀ jest punktem wypukłości w dół, to z geometrycznej interpretacji wynika, że w punkcie x₀ funkcja ma lokalne minimum. Podobnie, jeżeli f'(x₀) = 0 oraz x₀ jest punktem że x₀ jest punktem wypukłości w górę, to z, że w punkcie x₀ funkcja ma lokalne maksimum. Tym samym z powyższego wniosku uzyskujemy:

TWIERDZENIE. ( warunek dostateczny istnienia ekstremum) Jeżeli f `(x₀) = 0 oraz dla każdego x ∈(a, x₀ ) i dla każdego x' ∈ (x₀ , b) spełnione są nierówności f'(x) < 0 i f'(x') > 0 [ f'(x') > 0 i f'(x') < 0], to funkcja ma w punkcie x₀ minimum lokalne [maksimum lokalne].

Jak widzieliśmy z twierdzenia Lagrange'a wynika wiele geometrycznych własności funkcji i własności te wyrażone są w sposób analityczny poprzez pochodne. Na zakończenie tego paragrafu zastosujemy twierdzenie Cauchy'ego do wyprowadzania tak zwanej reguły de L'Hospitala. Twierdzenia Cauchy'ego pozwala na obliczenie granicy następującej postaci:

gdzie f(a) = g(a) = 0.

Wyrażenia powyższej postaci noszą nazwę wyrażeń nieoznaczonych typu

TWIERDZENIE. (reguła de L'Hospitala. Niech dane będą funkcje ciągłe f,g : [a,b]R. Jeżeli funkcje f i g są różniczkowalne na (a,b), g'(x)
0 dla każdego x ∈(a, b ), f(a) = g(a) = 0 oraz jeżeli

DOWÓD. Niech
będzie daną liczbą dodatnią. Ponieważ
istnieje więc punkt x₀ ∈ (a,b) taki, że dla każdego x ∈ (a, x₀ ) spełniona jest nierówność

Stosując twierdzenie Cauchy'ego do funkcji f oraz g rozpatrywanych na odcinku [a,x], gdzie x ∈(a, x₀ ), otrzymujemy punkt c∈(a, x ) takie, że

Skąd dla każdego x z przedziału (a, x₀ ) otrzymujemy

Ostatnia nierówność kończy dowód twierdzenia.

4

---