Metrologia i monitoring – laboratorium Ćwiczenie 5: Weryfikacja hipotezy statystycznej o wartości średniej gęstości powietrza ρ

1. Cel ćwiczenia

Celem ćwiczenia weryfikacja hipotezy statystycznej mówiącej, że średnia gęstość powietrza wynosi ρ0.

2. Obliczenia

2.1. Gęstość powietrza na stanowisku pomiarowym ρ = ,

0 003484 ⋅ p − 3,

0 78 ⋅ p

[kg/m3]

p

(

w )

Ts

gdzie:

T – temperatura sucha na stanowisku pomiarowym [K], s

p

– ciśnienie atmosferyczne powietrza [Pa], p – ciśnienie cząstkowe (prężność) pary wodnej w powietrzu [Pa].

w

p = p

− ,

6 77 ⋅

−4

10

⋅

−

⋅

w

wn

( t t

s

w )

p

gdzie:

p – ciśnienie cząstkowe (prężność) pary wodnej nasyconej [Pa], wn

t

– temperatura sucha na stanowisku pomiarowym [°C], s

t

– temperatura wilgotna na stanowisku pomiarowym [°C].

w

7,5 t

⋅ w

237,29 tw

p

+

= 61 ,

0 6 ⋅10

wn

2.2. Ciśnienie dynamiczne

p = ρ ⋅ g ⋅ h [Pa]

d

c

gdzie:

ρ – gęstość cieczy manometrycznej [kg/m3], ρ

[kg/m3]

c = 1000

c

g

– przyspieszenie ziemskie, g = 8

,

9 1 [m/s2],

h

– różnica poziomów cieczy w ramionach U-rurki [m].

2.3. Prędkość maksymalna powietrza w odcinku pomiarowym

⋅ pd

v

= 2

max

ρ p

1

Metrologia i monitoring – laboratorium gdzie:

p – ciśnienie dynamiczne odczytane na U-rurce [K], d

ρ – gęstość powietrza na stanowisku pomiarowym [kg/m3].

p

2.4. Prędkość maksymalna powietrza w przekroju rury pomiarowej v

= ,

0 0517 ⋅ v

max 2

max

gdzie:

v

– prędkość maksymalna powietrza w odcinku pomiarowym [m/s].

max

2.5. Gęstość powietrza

ρ = ,

0 003484 ⋅( p − 3,

0 78 ⋅ p

[kg/m3]

w )

Ts

gdzie:

T – temperatura sucha [K], s

p

– ciśnienie atmosferyczne powietrza [Pa], p – ciśnienie cząstkowe (prężność) pary wodnej w powietrzu [Pa].

w

p = p

− A ⋅

−

⋅

w

wn

p

( t t

s

w )

p

gdzie:

p – ciśnienie cząstkowe (prężność) pary wodnej nasyconej [Pa], wn

A – stała psychrometru [-], p

t

– temperatura sucha [°C],

s

t

– temperatura wilgotna [°C].

w

7,5 t

⋅ w

237,29 tw

p

+

= 61 ,

0 6 ⋅10

wn



7

,

6 5 

−5

A

p =

65 +

⋅10







v



max 2

gdzie:

v

– prędkość powietrza w pobliżu zbiorniczka wilgotnego termometru max 2

[m/s].

3. Weryfikacja hipotezy dotyczącej wartości przeciętnej (średniej) 3.1. Średnia gęstość powietrza

n

20

ρ = 1 ⋅ ∑ ρ

ρ [kg/m3]

i =

1 ⋅∑ i

n i=

20

1

i=1

2

Metrologia i monitoring – laboratorium gdzie:

n

– liczba wyników pomiarów,

ρ – wynik i -tego pomiaru gęstości powietrza [kg/m3].

i

3.2. Odchylenie standardowe

n

1

S =

⋅ ∑(

2

ρ

ρ [kg/m3]

i −

)

n −1 i=1

gdzie:

ρ – średnia gęstość powietrza [kg/m3], ρ – wynik i -tego pomiaru gęstości powietrza [kg/m3].

i

3.3. Hipotezy

Należy sprawdzić na poziomie istotności α = , 0 05 czy średnia gęstość powietrza wynosi ρ = 1

,

1 5 [kg/m3]. W tym celu formułujemy hipotezy: 0

1. Hipoteza zerowa H0:

ρ = 1,

1 5 [kg/m3]

0

2. Hipoteza alternatywna H1:

ρ > 1,

1 5 [kg/m3]

1

Rozkład jest normalny, lecz brak jest informacji o jego parametrach (wartość średnia, odchylenie standardowe). Dlatego do weryfikacji hipotezy stosujemy test oparty na statystyce t , która ma rozkład t-Studenta o n −1 stopniach swobody.

ρ − ρ0

t =

⋅ n −1

S

Obszar krytyczny jest prawostronny i wyznacza go przedział: t

1 −

n −

−

t

rozkładu t-Studenta przy

1

1 α

gdzie

; n− ,

1 + ∞)

1−α

jest kwantylem rzędu

α

; n 1

−

stopniach swobody. Wartość tę odczytujemy z tablic rozkładu t-Studenta.

Dla 1 − α = 9

,

0 5 i n − 1 = 19 t −α

n−

= t

= ,1729

1

;

1

0,95 1

; 9

Jeżeli obliczona przez nas statystyka t ≥ t 1−α

to należy odrzucić hipotezę H

; n 1

−

0 na

rzecz hipotezy alternatywnej H1.

3

Metrologia i monitoring – laboratorium 4. Tabela wyników pomiarów i obliczonych wielkości 4.1. Parametry powietrza na stanowisku pomiarowym Temperatura na stanowisku

Ciśnienie

Gęstość

pomiarowym

powietrza

powietrza

sucha

wilgotna

p

ρp

ts

tm

[°C]

[°C]

[Pa]

[kg/m3]

4.2. Wielkości zmierzone

Osuszanie powietrza

temperatury przed wkładką

temperatury za wkładką

solną

solną

Lp.

ts

tm

ts

tm

[°C]

[°C]

[°C]

[°C]

1

2

3

4

5

Nawilżanie powietrza

temperatury przed wkładką

temperatury za wkładką

solną

solną

Lp.

ts

tm

ts

tm

[°C]

[°C]

[°C]

[°C]

1

2

3

4

5

4.3. Tabele przeliczeniowe

Osuszanie powietrza

Ciśnienia cząstkowe pary

Ciśnienia cząstkowe pary

wodnej przed wkładką solną

wodnej za wkładką solną

Lp.

pwn

pw

pwn

pw

[Pa]

[Pa]

[Pa]

[Pa]

1

2

3

4

5

4

Metrologia i monitoring – laboratorium Nawilżanie powietrza

Ciśnienia cząstkowe pary

Ciśnienia cząstkowe pary

wodnej przed wkładką solną

wodnej za wkładką solną

Lp.

pwn

pw

pwn

pw

[Pa]

[Pa]

[Pa]

[Pa]

1

2

3

4

5

4.4. Gęstość powietrza

Osuszanie powietrza

Gęstość powietrza

Gęstość powietrza

przed wkładką solną

za wkładką solną

Lp.

ρ

ρ

[kg/m3]

[kg/m3]

1

2

3

4

5

Nawilżanie powietrza

Gęstość powietrza

Gęstość powietrza

przed wkładką solną

za wkładką solną

Lp.

ρ

ρ

[kg/m3]

[kg/m3]

1

2

3

4

5

5. Przykład obliczeniowy

5.1. Parametry powietrza na stanowisku pomiarowym Temperatura na stanowisku

Ciśnienie

Gęstość

pomiarowym

powietrza

powietrza

sucha

wilgotna

p

ρp

ts

tm

[°C]

[°C]

[Pa]

[kg/m3]

23,1

15,8

100 010

1,174

5

Metrologia i monitoring – laboratorium 5.2. Wielkości zmierzone

Osuszanie powietrza

temperatury przed wkładką

temperatury za wkładką

solną

solną

Lp.

ts

tm

ts

tm

[°C]

[°C]

[°C]

[°C]

1

20,0

15,0

19,9

15,2

2

20,1

15,1

20,0

15,3

3

20,2

15,2

20,1

15,4

4

20,4

15,4

20,3

16,2

5

21,5

16,0

21,0

17,2

Nawilżanie powietrza

temperatury przed wkładką

temperatury za wkładką

solną

solną

Lp.

ts

tm

ts

tm

[°C]

[°C]

[°C]

[°C]

1

23,0

16,2

21,9

18,9

2

22,5

17,2

22,0

20,2

3

22,1

18,1

22,0

21,2

4

22,2

19,3

22,1

21,9

5

22,2

20,2

22,1

22,0

5.3. Ciśnienie dynamiczne

p

ρ

d =

c ⋅ g ⋅ h = 1000 ⋅

8

,

9 1⋅ ,

0 035

p

[Pa]

d = 343 3

, 5

5.4. Prędkość maksymalna powietrza w odcinku pomiarowym 2 ⋅ p

2

d

⋅343 3

, 5

v

=

=

max

ρ

1

,

1 74

p

v

= 2 ,

4 2 [m/s]

max

5.5. Prędkość maksymalna powietrza w przekroju rury pomiarowej v

= ,

0 0517 ⋅ v

= ,

0 0517 ⋅ 2 ,

4 2

max 2

max

v

= 3

,

1 [m/s]

max 2

6

Metrologia i monitoring – laboratorium 5.6. Ciśnienia cząstkowe pary wodnej Osuszanie powietrza

Ciśnienia cząstkowe pary

Ciśnienia cząstkowe pary

wodnej przed wkładką solną

wodnej za wkładką solną

Lp.

pwn

pw

pwn

pw

[Pa]

[Pa]

[Pa]

[Pa]

1

1692,18

1340,16

1714,16

1383,25

2

1703,14

1351,12

1725,23

1394,33

3

1714,16

1362,13

1736,38

1405,47

4

1736,38

1384,35

1827,80

1539,14

5

1804,56

1417,33

1947,99

1680,45

Nawilżanie powietrza

Ciśnienia cząstkowe pary

Ciśnienia cząstkowe pary

wodnej przed wkładką solną

wodnej za wkładką solną

Lp.

pwn

pw

pwn

pw

[Pa]

[Pa]

[Pa]

[Pa]

1

1827,80

1349,05

2168,22

1957,01

2

1947,99

1574,84

2351,02

2224,30

3

2062,01

1780,39

2500,66

2444,34

4

2223,10

2018,92

2610,29

2596,21

5

2351,02

2210,21

2626,29

2619,25

5.7. Gęstość powietrza

Osuszanie powietrza

Gęstość powietrza

Gęstość powietrza

przed wkładką solną

za wkładką solną

Lp.

ρ

ρ

[kg/m3]

[kg/m3]

1

1,1832

1,1834

2

1,1827

1,1829

3

1,1823

1,1825

4

1,1814

1,1811

5

1,1768

1,1776

Nawilżanie powietrza

Gęstość powietrza

Gęstość powietrza

przed wkładką solną

za wkładką solną

Lp.

ρ

ρ

[kg/m3]

[kg/m3]

1

1,1711

1,1728

2

1,1721

1,1712

3

1,1728

1,1702

4

1,1713

1,1691

5

1,1705

1,1690

7

Metrologia i monitoring – laboratorium 5.8. Średnia gęstość powietrza

n

20

ρ = 1 ⋅ ∑ ρ

ρ

i =

1 ⋅∑ i

n i=

20

1

i=1

ρ = 1,

1 76 [kg/m3]

5.9. Odchylenie standardowe

n

1

S =

⋅ ∑(

2

ρ

ρ

i −

)

n −1 i=1

S = ,

0 005623 [kg/m3]

5.10. Hipotezy

Należy sprawdzić na poziomie istotności α = , 0 05 czy średnia gęstość powietrza wynosi ρ = 1

,

1 5 [kg/m3]. W tym celu formułujemy hipotezy: 0

1. Hipoteza zerowa H0:

ρ = 1,

1 5 [kg/m3]

0

2. Hipoteza alternatywna H1:

ρ > 1,

1 5 [kg/m3]

1

ρ − ρ

1

,

1 76 − 1

,

1 5

0

t =

⋅ n −1 =

⋅ 20 −1

S

,

0 005623

t = 20 1

, 55

t −α

n−

= t

= ,1729

1

;

1

0,95 1

; 9

t > t 1−α

więc należy odrzucić hipotezę H

; n 1

−

0 na rzecz hipotezy alternatywnej H1.

Średnia gęstość powietrza jest większa od ρ = 1

,

1 5 [kg/m3].

0

8