TWIERDZENIE LAGRANGEA O WARTOŚCI ŚREDNIEJ:

1)Twierdzenie: Jeśli dana funkcja jest: ciągła w przedziale [a,b],

różniczkowalna w przedziale (a,b), to istnieje taki punkt taki, że:

2)Interpretacja geometryczna: Geometrycznie twierdzenie Lagrange'a oznacza,

że na łuku będącym wykresem funkcji od punktu do punktu

istnieje taki punkt, w którym styczna jest równoległa do siecznej poprowadzonej

między punktami i

	Na rysunku współczynnik kierunkowy stycznej do wykresu funkcji w punkcie wynosi f'(c). Na mocy twierdzenia Lagrange'a jest on równy:

WARTOŚĆ ŚREDNIA: Twierdzenie Lagrange'a zapisane w postaci

mówi, że przyrost wartości funkcji dla argumentów b i a wyraża się przez przyrost wartości zmiennej i pochodną funkcji w pewnym punkcie pośrednim między a i b – stąd właśnie nazwa twierdzenia.

DOWÓD: , mamy wtedy:

oraz

wiec:

czyli funkcja spełnia założenia twierdzenia Rolle'a, a zatem istnieje punkt

taki, ze: z drugiej strony mamy stad:

. Dlatego też