TEMAT:
Wstęp do teorii miary

 

DEFINICJA 4.1

Dany ciąg

.

Tworzymy ciąg
=
.
 

A wtedy: {
,
}  nazywamy  szeregiem.

 

 

 

DEFINICJA 4.2

           Szereg jest zbieżny : 


=
jest sumą szeregu.

 

UWAGA:

            Mówiąc szereg
 będziemy rozważać szereg {
,
}, natomiast
            mówiąc suma: 
 rozważamy wartość

 , gdzie
 jest ciągiem sum
          
            częściowych szeregu.

 

 

TEORIA MIARY

DEFINICJA 4.3   (σ - ALGEBRA)

 

Dany zbiór     ,   U - rodzina podzbiorów zbioru .

U jest σ algebrą :             1.  U,

2.
 (\A) U,

3.
 A_nU 
 A_n  U.

 

 

PRZYKŁAD 4.1

 

 = [0, 5].  Niech X={, [0,1[ }.

Sprawdzamy, czy X jest s algebrą:

Ad. 1^o              U,

Ad. 2^o             \  = U, \ [0, 1[ = [1, 5] U

Nie jest, więc musimy ją uzupełnić o , [1, 5].

U₁ = {, [0,1[,
,
}  Sprawdzamy, że jest to s algebra:

 

1.         [0, 5] =   U₁

2.          -  =   U₁;   -  = U₁;   - [0, 1[ = [1, 5] U₁;

            - [1, 5] = [0, 1[U₁.

3.         A = A dla AU₁;

            A =  dla AU₁;

            [0, 1[[1, 5] = U₁.

Stąd wnioskujemy, że U₁ jest s algebrą, która zawiera rodzinę X.

Istnieje nieskończenie wiele σ algebr zawierających rodzinę X.

U₁ jest najmniejszą z nich.

 

 

TWIERDZENIE 4.1

Z:       
  U_t  jest s algebrą na 

T:       
 U_t jest s algebrą na 

           D:        ad. 1  
U_t  jest s algebrą 
 U_t   
U_{t ,}

ad. 2   Niech A
U_t  
AU_t   i ponieważ U_t jest s algebrą, to:

(\A)U_t  (\A) 
U_t

ad. 3  
  A_n 
U_t 

 A_n  U_t   i  ponieważ U_t jest s algebrą, to:

           

A_nU_t    
 A_n
U_t

 

 

WNIOSEK 4.1

Jeżeli X jest pewną rodziną podzbiorów zbioru  to
najmniejsza s algebra
.

 

 

DEFINICJA 4.4  (σ ALGEBRA GENEROWANA PRZEZ RODZINĘ ZBIORÓW)

Niech X - rodzina podzbiorów zbioru ;  s algebrą generowaną przez rodzinę X

będziemy nazywali najmniejszą s algebrę zawierającą X.

 

 

TWIERDZENIE 4.2   (WŁASNOŚCI σ ALGEBRY)

 

Z:        U   jest s algebrą na 

T:        1.           U,

2.        
 A_n  U 
A_nU,

3.         A, B  U  A∩B  U, A
B  U.

4.         A, B  U  A\B  U.

 

D:        ad. 1     U \ U   U

ad. 2  
A_n  U
(\A_n) U  
(\A_n)  U 

 (\
A_n)  U 
A_n  U

ad. 3   A
B = (A
B

… )  U
 

ad. 4   A∩B = A∩B∩∩…∩... U

 

 

σ-ALGEBRA ZBIORÓW BORELOWSKICH

 

Niech  = IR, oraz X = {[a, b[ : a < b,  a, b IR};

s algebrę generowaną przez X nazywamy σ-algebrą zb. borelowskich                     

i oznaczamy ją: B(IR). Elementy B(IR) będziemy nazywać również zbiorami borelowskimi.

 

 

PRZYKŁAD 4.2

1.         {a}
 B(IR)   {a} =
 [a, a +
[ ,           (zatem {a}  B(IR))

2.         ]a, b[
 [a, b[ \{a}       (z 4^o. tw.) jest zb. borelowskim

3.         [a, ∞[
 
[a, n[       jest zb. borelowskim (z 3^o df.)

 

 

PRZYKŁAD 4.3

 

2^ - zbiór wszystkich podzbiorów zb.  ≠ 

2^ - jest s algebrą na 

 

 

DEFINICJA 4.5   (MIARA)

           

Niech  ≠ , U - jest s algebrą na 

            μ: U → IR₊
{0} -  jest miarą: 

 

1.      μ {}=0

2.     
 A_n  U
 
 A_i
 A_j =   μ (
 A_n) =
 μ (A_n) (przeliczalna addytywność miary)

3.     
 μ (A)=0  
    BA  μ (B) = 0
 

4.      μ () = 1

 

 

Podsumowanie:

- jeżeli są spełnione warunki 1^o
2^o to μ jest miarą;

- jeżeli 1^o
2^o
3^o, to μ jest miarą zupełną;

- jeżeli 1^o
2^o
4^o, to μ jest miarą unormowaną;

- jeżeli zaś 1^o
2^o
3^o
4^o, to μ jest prawdopodobieństwem.

 

 

UWAGA:

Każdy element s algebry będziemy nazywać zbiorem μ mierzalnym.

 

Dygresja:

1.      A, B  U; A
B
 μ (B) ≥ μ (A)

w szczególności jeżeli μ (B)=0 to μ (A)=0.

Dow:

B = A
(B\A) 
  A
(B\A) = 

zatem:      μ(B)  μ (A) + μ (B\A) ≥ μ (A);

udowodniliśmy ponadto:

2.      A, B  U
 A
B  μ (B\A) = μ (B) - μ (A)

 

 

DEFINICJA 4.6   (PRZESTRZEŃ Z MIARĄ)

 

Jeżeli   , U - s algebra na , μ - miara na U, to uporządkowaną trójkę

(, U, μ) nazywamy przestrzenią z miarą.

 

 

MIARA DIRACA SKUPIONA W PUNKCIE x_o

 

PRZYKŁAD 4.3 c.d.

 

Niech   ,      2^  - jest s algebrą na ,       x₀  

δ_Xo : 2^ → IR₊
{0}

δ _Xo(A) =

 

Ad. 1  δ_Xo () = 0,   bo x_o  

Ad. 2  Niech:   
 A_n  2^ 
  
 A_i
 A_j = ,

a)               x_o
 A_n
 
 A_i
A_j =   
 x_o  A_i

 x_o  A_k 

 δ_Xo(A_i) = 1
δ_Xo(A_k) = 0 dla ki

δ _Xo (
A_n) = 1, bo x_o 
 A_n       oraz 
δ _Xo(A_n) = δ_Xo(A_i) = 1;

b)              x_o   
 A_n 
 x_o  A_n

δ_Xo(
A_n) = 0

 δ_Xo(A_n) = 0;

z a) i b) wynika, że δ_Xo (
A_n) =
δ_Xo(A_n)

Pokazaliśmy, że μ _Xo jest miarą. Nazywamy ją miarą Diraca skupioną w punkcie x_o.

Ad. 3
 δ_Xo(A) = 0
 B
A  δ_Xo(B) = 0     (bo B2^)

Ad. 4 x_o   δ_Xo() = 1, zatem miara Diraca jest prawdopodobieństwem.

 

 

TWIERDZENIE 4.3   (O UZUPEŁNIANIU MIARY)

            Każdą miarę (niezupełną) można uzupełnić do miary zupełnej.

            Konstrukcja (uzasadnienie): (, U, μ) - przestrzeń z miarą.

            Uzupełnianie miary polega na uzupełnianiu s algebry do U_o, a następnie rozszerzeniu miary do μ _o.

            U_o = {B: B = A
S, A  U, S - podzbiór zbioru miary 0}, U_oU

            μ _o: U_o → IR₊
{0} , taka że jeżeli B = A
S, to (przyjmujemy z definicji) μ _o(B) = μ (A)

            μ o - jest miarą zupełną.

 

 

PRZYKŁAD 4.4

           = {1, 2, 3, 4, 5}, U = {  ,  ,
,
}, U jest s algebrą

          Niech μ: UA → μ (A) : =


          Sprawdzamy, czy są spełnione warunki miary:

^ (  

^{ }(__  (_  (_, bo 4 __, 4_ i 4_,

          1 = 0 + 1

A1, A2  - są to jedyne zbiory rozłączne

() = 0, (_) = 0, (_) = 1, () = 1.      

           Sprawdzamy, czy jest to miara zupełna - nie jest, bo podzbiory zbioru A

(miary 0) nie należą do U, zatem:

            U_o= {, ,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
              

             
,
}

             
 μ ₀(B) : =
             jest miarą zupełną.

 

 

MIARA LEBESQUE'A NA R

 

      B(IR) - jest s algebrą zb. borelowskich na IR
            (tzn. generowaną przez  X={[a, b[ : a < b, a, b  IR})

       = IR     a, b IR 

 

 

TWIERDZENIE 4.4

           
miara
określona na B(IR), taka że
([a, b[) = b - a

            (miara odcinka półotwartego jest równa długości tego odcinka).

            Tak określona miara nie jest miarą zupełną.

 

 

DEFINICJA 4.7

Uzupełnienie
do miary zupełnej nazywamy miarą Lebesgue'a na IR

            B_o(IR) = {B: B = A
S, A  B(IR) (S - podzbiór zbioru miary 0) }   

            l(B) : =
(A) dla B = A
S

 

          UMOWA:

                        Elementy σ algebry B_o(IR) nazywamy zbiorami mierzalnymi w sensie Lebesgue'a.

 

 

TWIERDZENIE 4.5   (O CIĄGŁOŚCI MIARY Z DOŁU)

            Z:          

U           (, U, μ) - przestrzeń z miarą

                           A₁
A₂
A₃
… wstępujący ciąg zbiorów

                                A =
 A_n

             T:           (A) =
(A_n)

             D:          A = A₁
(A₂\A₁)
(A₃\A₂)
…  są parami rozłączne, zatem

                                  (   (A₁ 
 (A_n+1\ A_n  (

                                   A_n
 A_n+1   ( A_n+1\ A_n  (A_n+1  (A_n)

                                  (  = (A₁) +

[( A_k+1) -  (A_k)] = (A₁) +
[((A₂)  (A₁)+

                                  + (A₃) - (A₂) + . . . + (A_n+1) - (A_n)] =(A₁)+
[(A_n+1) -(A₁)]=  

                                  =
(A_n+1)=
(A_n).

 

 

TWIERDZENIE 4.6   (O CIĄGŁOŚCI MIARY Z GÓRY)

 

             Z:           (A_n)_nIN  U,  A₁A₂A_3…  zstępujący ciąg zbiorów

                                      A =
 A_n

             T:          μ (A) =
 μ (A_n)

             D:        analogiczny do tw 4.5)

 

 

PRZYKŁAD 4.5

a)   
({a})

{a} =
 [a, a +
[ - ciąg zstępujący

na podst. Tw. 4.6 
({a}) =
 
([a, a +
[) =

 = 0

b)   
(N)

(IN) =
(
{n})
 
({n}) = 0

c)   
([a, b])

([a, b]) =
([a, b[
{b}) =
([a, b[)+
({b}) = b - a

 

 

 

MIARA LEBESQUE'A NA Rⁿ

DEFINICJA 4.8   (ODCINEK W Rⁿ)

            [a, b[ := {
:
  a_i  x_i< b_i }

B(IRⁿ) - jest s - algebrą generowaną przez
={[a, b[ : a, b IRⁿ, a < b},
gdzie a < b 
a_i < b_i

 

 

TWIERDZENIE 4.7

           
miara
określona na B(Rⁿ) taka, że
([a, b[) =
(b_i - a_i)

            Uzupełnienie miary
 do miary zupełnej nazywamy miarą Lebesgue'a w Rⁿ  i oznaczamy przez
.

 

   

---