Politechnika Śląska Gliwice 20.03.2007

Wydział Elektryczny

Laboratorium Automatyki i Sterowania

Identyfikacja modeli dynamicznych

Grupa MEiUS

Sekcja 6

Kurczewski Dawid

Wolnik Tomasz

Wprowadzenie

Analiza układów automatycznej regulacji wymaga znajomości dynamicznych modeli obiektów tworzących te układy. Wyróżniamy dwa sposoby identyfikacji nieznanego modelu: poprzez badanie zjawisk fizycznych zachodzących w obiekcie lub poprzez badanie sygnałów wejściowych i wyjściowych. W naszym ćwiczeniu wykorzystaliśmy przy pomocy komputera drugi ze sposobów.

Celem tego ćwiczenia było poznanie prostych metod umożliwiających określenie postaci modelu matematycznego oraz parametrów dla dynamicznych modeli obiektów pierwszego i drugiego rzędu.

Wstęp teoretyczny

Podstawowe znaczenie w identyfikacji modelu dynamicznego ma znajomośc charakterystyk czasowych i częstotliwościowych. Pozwalają one na określenie typu poszukiwanego modelu. Określenie wartości liczbowych parametrów wybranego modelu wiąze się z zastosowaniem metod obliczeniowych dla danego modelu.

W ćwiczeniu badaliśmy dwa rodzaje modeli dynamicznych:

- model inercyjny I-rzędu z opóźnieniem

Jest on opisany jest równaniem różniczkowym pierwszego rzędu o postaci:

lub

gdzie

k = b₀/a₀ - współczynnik wzmocnienia statycznego

T = a₁/a₀ - stałą czasową,

τ - czasem opóźnienia.

Transmitancja operatorowa tego obiektu ma postać:

Odpowiedzi obiektu inercyjnego pierwszego rzędu na skokową i impulsową zmianę wielkości wejściowej mają odpowiednio postać:

x(t)=A1(t) ⇒

x(t) = Aδ(t) ⇒

- model inercyjny i oscylacyjny II-rzędu

Obiekt drugiego rzędu opisany jest równaniem różniczkowym drugiego rzędu o postaci ogólnej:

W zależności od wartości współczynników ma on charakter inercyjny lub oscylacyjny. Powyższe równanie można również zapisać w następującej postaci:

gdzie

k = b₀/a₀ - współczynnik wzmocnienia statycznego,

- pulsacja drgań własnych nietłumionych

- jest stopniem (współczynnikiem) tłumienia

Dla 0≤ξ<1 - obiekt ma charakter oscylacyjny i wtedy transmitancja operatorowa dla obiektu oscylacyjnego z opóźnieniem ma postać

Dla ξ≥1 - obiekt ma charakter inercyjny a transmitancja operatorowa obiektu inercyjnego wyrażona jest zależnością

gdzie

T₁ i T₂ - stałe czasowe przy czym zachodzą związki:

k = b₀/a₀

a₂/a₀ = T₁T₂

a₁/a₀ = T₁+T₂.

Dla przypadku granicznego przy tłumieniu ξ=1 stałe czasowe są sobie równe T₁=T₂

Przebieg ćwiczenia

W przeprowadzanym przez nas ćwiczeniu dokonywaliśmy identyfikacji modeli na podstawie

odpowiedzi skokowych na stanowisku umożliwiającym cyfrową rejestrację sygnału

wejściowego oraz odpowiedzi czasowej badanego obiektu za pomocą oscyloskopu

cyfrowego połączonego z komputerem.

Schemat umożliwiający identyfikacją modeli dynamicznych

Przedmiotem naszych badań było 5 różnych obiektów dla których zarejestrowaliśmy odpowiedź sygnału wyjściowego na sygnał wejściowy, nieliniowe przekształcenie zarejestrowanych wartości odpowiedzi skowkowej według zależności
oraz przebieg błędu dynamicznego.

OBIEKT nr.1

Otrzymane wyniki identyfikacji:

- model inercyjny 1-rzędu

- wzmocnienie k = 1,06195

- stała czasowa T = 0,00132

- czas opóźnienia τ = 0,00002

- amplituda sygnału wejściowego A=4,66

Z otrzymanych wyników można wyznaczyć równanie interpolacji najmniejszych kwadratów

z(t)= at + b, gdzie

a =
,

b =
, czyli równanie prostej z(t) przybiera postać

z(t)=-757,58t + 0,0152

h_ust=A*k=4,66*1,06195= 4,95

Transmitancja obiektu nr.1 bedzie miała postać:

Krzywa interpolacji ma idealnie kształt lini prostej w całym zakresie co świadczy o tym że jest to obiekt inercyjny 1-rzędu. Błąd dynamiczny mieści się w przedziale (+1,5 -0,5 )% co jest wynikiem poprawnym a jakość modelu jest zadowalająca

OBIEKT nr.2

Otrzymane wyniki identyfikacji:

- model inercyjny 2-rzędu

- wzmocnienie k = 1,06071

- stała czasowa T₁ = 0,00195

- stała czasowa T₂ = 0,00043

- czas opóźnienia τ = 0,00048

- amplituda sygnału wejściowego A = 4,7

Z otrzymanych wyników można wyznaczyć równanie interpolacji najmniejszych kwadratów

z(t)= at + b, gdzie

a =
,

z(t)=-512,82t + 0,249

h_ust=A*k=4,7*1,06071= 4,99

Transmitancja obiektu nr.2 bedzie miała postać:

W przypadku tego modelu obserwujemy ze krzywa zbliża się asymptotycznie do prostej co świadczy że jest to model inercyjny 2-rzędu. Rozrzut błędu dynamicznego również mieści się dopuszczalnych granicach - (+0,7 -1,8)%.

OBIEKT nr.3

Otrzymane wyniki identyfikacji:

- model inercyjny 2-rzędu

- wzmocnienie k = 1,06060

- stała czasowa T₁ = 0,00122

- stała czasowa T₂ = 0,00002

- czas opóźnienia τ = 0,00002

- amplituda sygnału wejściowego A = 4,7

Z otrzymanych wyników wyznaczamy równanie interpolacji najmniejszych kwadratów

z(t)= at + b, gdzie

a =
,

z(t)=--819,67t + 0,0165

h_ust=A*k=4,7*1,06060= 4,98

Transmitancja obiektu bedzie miała postać:

Rozrzut błędów nie jest zadowalający ponieważ przekracza on nawet 5%. W porównaniu z poprzednim modelem wynik ten jest o wiele gorszy. Ujawnia się to również na krzywej aproksymującej której przebieg nie odzwierciedla przebiegu zmiennej z

OBIEKT nr.4

Otrzymane wyniki identyfikacji:

- model inercyjny 2-rzędu

- wzmocnienie k = 1,06043

- stała czasowa T₁ = 0,00227

- stała czasowa T₂ = 0,00059

- czas opóźnienia τ = 0,00069

- amplituda sygnału wejściowego A = 4,55

Z otrzymanych wyników można wyznaczyć równanie interpolacji najmniejszych kwadratów

z(t)= at + b, gdzie

a =
,

z(t)=-440,52t + 1,35

h_ust=A*k=4,55*1,06043= 4,82

Transmitancja obiektu nr.2 bedzie miała postać:

Rozrzut błedów w dopuszczalnych granicach (+0,8 - 2,1)%. Również zadowalający jest przebiek krzywej aproksymującej która praktycznie pokrywa się z przebiegiem zmiennej z.

OBIEKT nr.5

Otrzymane wyniki identyfikacji:

Obiekt o mniejszym tłumieniu

k= 1,01876

ξ= 0,00324

f₀=959,57 wtedy ω_o=6026,099

A=33

h_ust=A*k=33*1,01876= 33,61

Obiekt o większym tłumieniu

k= 1,06334

ξ= 0,30627

f₀=969,09 wtedy ω_o=6085,88

A=33

h_ust=A*k=33*1,06334= 35,09

Obiekt o mniejszym tłumieniu ma znacznie dłuższy czas odpowiedzi domomentu wartości ustalonej (14ms) niż obiekt o większym tłumieniu (33*10^-4s). Również rozrzut błędu dynamicznego dla obiektu i mniejszym tłumienu jest większy niż w drugim przypadku. Zawiera się on w granicach (+2 - 3,3)% podczas gdy dla dużego tłumienia jest to ±0,8%

---