1

Politechnika Warszawska

Wydział Samochodów i Maszyn Roboczych

Instytut Maszyn Roboczych Ciężkich

Laboratorium Dźwignic

Ć

wiczenie D2

Identyfikacja modelu dynamicznego

żurawia naściennego.

Wersja robocza

Tylko do użytku wewnętrznego SiMR PW

Opracowanie:

Dr inż. Andrzej Buczyński

Dr inż. Artur Jankowiak

Warszawa 2011

Wszelkie prawa zastrzeżone

2

1. CEL ĆWICZENIA

Celem ćwiczenia jest wprowadzenie studentów w dziedzinę zagadnień

modelowania zachowania się urządzeń dźwignicowych pod wpływem działania
obciążeń eksploatacyjnych. W części praktycznej ćwiczenie obejmuje identyfikację
modelu żurawia naściennego poprzez pomiar sił obciążających urządzenie podczas
podnoszenia i opuszczania ładunku. W części obliczeniowej, na podstawie
uzyskanych

wyników,

studenci

wyznaczają

wartości

parametrów

modelu

i przeprowadzają teoretyczne oszacowania jego działania. Sformułowanie wniosków,
jakie wynikają z porównania wyników pomiarów i przewidywań teoretycznych
stanowi ostatni etap ćwiczenia.

2. WPROWADZENIE

Urządzenia dźwignicowe, w swoim szerokim spektrum, obejmują też ważną grupę żurawi

stałych, w tym naściennych. Ich zaletą jest to, że montowane są na ścianach bądź podporach
hal, przez co nie zajmują powierzchni użytkowej podłogi. Są one produktami, które
doskonale nadają się do optymalizacji stanowisk pracy, stąd znajdują szeroki zakres
zastosowań jako urządzenia udźwigowienia stanowisk pracy. Na rys. 1. przedstawiono szkic
oraz zdjęcie dostępnego w laboratorium MRC żurawia naściennego DEMAG WSK-KBK.

Rys. 1. Schemat konstrukcyjny [4] i zdjęcie żurawia naściennego WSK-KBK [5]

Ż

uraw ten o udźwigu, Q = 400 [kg] będzie obiektem badań wykonywanych podczas

ć

wiczenia. W urządzeniu należy wyszczególnić następujące elementy: konstrukcję nośną o

masie zredukowanej, m

K

, sztywności, K

N

, tłumieniu, C

N

; wciągnik o masie, m

W

; cięgno nośne

(łańcuch) o sztywności, K

S

, tłumieniu, C

S

; zblocze o masie, m

Z

; podnoszony ładunek o masie,

m

H

. Masa konstrukcji nośnej i masa wciągnika zazwyczaj traktowane są łącznie, jako masa

układu nośnego, m

N

= m

K

+ m

W

, co wynika z charakteru pracy urządzenia oraz jednakowego

położenia środków masy ładunku i wciągnika. Podobnie można określić masę obciążenia:
m

G

= m

Z

+ m

H

, jako sumę mas zblocza i ładunku.

Proponowane rozwiązanie konstrukcji nośnej (rys.2a) i łańcuchowe zawieszenie zblocza

wskazuje na możliwość wprowadzenia uproszczeń w formułowaniu odpowiedniego modelu
urządzenia. W praktyce inżynierskiej [1], celem dokonania stosownych analiz,
np. koniecznych w fazie projektowania, zazwyczaj przyjmuje się zastępczy dwumasowy
model z tłumieniem, jaki zilustrowano (przy założeniu, że wciągnik znajduje się na końcu
wysięgnika) na rys. 2b.

3

Rys. 2. Dwumasowy model żurawia naściennego: a) schemat układu konstrukcyjnego,

b) zastępczy model dwumasowy

Postępowanie to znajduje uzasadnienie, gdy sztywności cięgna i konstrukcji nośnej

przyjmują zbliżone wartości. Doświadczenie wskazuje, że wartości współczynników
sztywności i tłumienia (K

N

, C

N

) konstrukcji nośnej oraz (K

S

, C

S

) cięgien nośnych mogą

znacznie różnić się od siebie. Wtedy dominującą rolę odgrywa element mniej sztywny. Stąd,
w przewidywaniach chwilowych obciążeń bądź zachowania się żurawia podczas podnoszenia
(opuszczania) ładunku, słuszne jest wykorzystanie uproszczonego, jednomasowego modelu.

3. UPROSZCZONY MODEL DYNAMICZNY ŻURAWIA NAŚCIENNEGO

Wyniki badań doświadczalnych i analitycznych [1] ujawniają, trzy fazy obciążenia

ż

urawia, jakie powstają podczas podnoszenia lub opuszczania ładunku.

Analizując proces podnoszenia, należy zauważyć, że stosowane w żurawiach naściennych

mechanizmy podnoszenia umożliwiają poderwanie ładunku, praktycznie z nominalną
prędkością podnoszenia, V

P

. Wówczas bezwładność ładunku generuje dodatkowe,

oscylacyjne, tłumione obciążenia żurawia. Ich wygaśnięcie do nieistotnego poziomu kończy
pierwszą i jednocześnie rozpoczyna drugą fazę. Tutaj, ładunek porusza się ze stałą
prędkością (V

P

), zaś stan obciążenia żurawia odpowiada warunkom równowagi statycznej.

Ostatnia faza obciążenia, jakim podlegają elementy konstrukcyjne urządzenia, następuje w
momencie hamowania ruchu ładunku. Tak jak działo się to podczas pierwszej fazy, również
obecnie, źródło dodatkowych obciążeń konstrukcji tworzy powiązanie dynamicznych
właściwości urządzenia z bezwładnością ładunku. Opuszczanie ładunku wywołuje podobne
efekty obciążenia żurawia. Stosowne analogie wiążą wszystkie fazy opuszczania
i podnoszenia.

Charakter działania żurawia, zarówno podczas podnoszenia, czy też opuszczania ładunku

prowadzi do konieczności rozważenia układu, który przedstawiono na rys.3. Założono tu, że
dominujące dla walorów dynamicznych układu będzie tu działanie cięgien nośnych

1

.

Przyjmiemy, że sprężyna o sztywności, K

S

i tłumik z oporem, C

S

, proporcjonalnym do

prędkości, wiążą masę, m

H

, ze sztywną płytą, która odwzorowuje zblocze żurawia.

Początkowe położenie masy i płyty, na osiach X, Z, w swobodnym stanie sprężyny,
oznaczono punktami O

X

i O

X

.

Przesunięcie płyty do punktu o współrzędnej, Z, traktowane jako kinematyczne

wymuszenie ruchu masy, wywołuje reakcje sprężyny i tłumika:

1

W rzeczywistych urządzeniach nie musi tak być.

k

N

, C

N

m

N

m

G

m

N

m

G

k

S

k

N

k

S

, C

S

C

S

C

N

a)

b)

4

)

(

X

Z

K

S

S

−

=

;

)

(

X

Z

C

T

S

&

& −

=

.

(1a, b)

Obok wymienionych reakcji na masę działa siła bezwładności i ciężkości:

X

m

B

H

&

&

−

=

;

g

m

G

H

−

=

.

(2a, b)

Rys.3. Schemat obliczeniowy uproszczonego modelu żurawia

Warunek równowagi wymienionych sił: S+T+B+G=0, określa równanie ruchu masy:

0

)

(

)

(

=

−

−

−

+

−

g

m

X

m

X

Z

C

X

Z

K

H

H

S

S

&

&

&

&

.

(3)

Przyjmiemy nową oś odniesienia ruchu płyty:

O

Z

Z

Y

−

=

.

(4a)

Stąd, odpowiednie pochodne można zapisać w postaci:

Z

Y

&

& = ;

Z

Y

&

&

&

& = .

(4b, c)

Wartość Z

O

, odpowiada położeniu płyty, jakie narzuca warunek równowagi statycznej masy,

gdy jej ciężar równoważy napięcie sprężyny:

S

H

O

K

g

m

Z

=

.

(5)

Równanie ruchu (3), po wprowadzeniu zależności (4), (5) i wykonaniu odpowiednich
przekształceń, przyjmie następującą postać:

0

)

(

)

(

=

−

−

+

−

X

m

X

Y

C

X

Y

K

H

S

S

&

&

&

&

.

(6)

Warunek kinematycznego wymuszenia, nałożony jako przemieszczenia płyty ze stałą
prędkością, V

P

, prowadzi równanie (6) do postaci:

0

)

(

)

(

=

−

−

+

−

X

m

X

V

C

X

t

V

K

H

P

S

P

S

&

&

&

,

(6a)

P

S

P

S

S

S

H

V

C

t

V

K

X

K

X

C

X

m

+

=

+

+

&

&

&

.

(6b)

Odnosząc się do jednostkowej masy, równanie ruchu zapisujemy w następującej formie:

z

m

G

k

S

C

S

x

z

0

t

y

y = V

p

· t

S

T

B

G

O

Z

O

y

O

X

5

P

P

O

O

hV

t

V

X

X

h

X

2

2

2

2

+

=

+

+

ω

ω

&

&

&

,

(7)

gdzie

m

C

h

S

2

/

=

, oznacza współczynnik tłumienia, zaś

H

S

O

m

K

/

=

ω

, częstotliwość

drgań własnych układu bez tłumienia.

Znane sformułowania teorii równań różniczkowych [2] kwalifikują równanie (7) do

zbioru niejednorodnych równań liniowych drugiego rzędu o stałych współczynnikach.
Dyskusję metod ich rozwiązań podano w pracy [2]. Skrócone uwagi, w wymiarze
koniecznym do wykonania ćwiczenia, zamieszczono w dodatku do instrukcji. Równanie (7),
jak wiadomo z teorii drgań [3], opisuje zachowanie się masy pod wpływem kinematycznego
wymuszenia jej ruchu. W przypadku małego tłumienia, tzn. gdy wartości h i

ω

O

, spełniają

warunek: h <

ω

O

, ogólne rozwiązanie równania (7) zapisuje się w formie następującej sumy:

t

V

t

C

t

C

e

X

P

ht

+

+

=

−

)

sin

cos

(

2

1

ω

ω

,

(8)

gdzie

h

O

−

=

2

ω

ω

, oznacza częstotliwość tłumionych drgań masy.

Dwa nieznane współczynniki, C

1

, C

2

, traktowane są jako stałe całkowania równania (7),

gdy jego prawa strona spełnia warunek:

0

2

2

=

+

P

P

O

hV

t

V

ω

. Poszukiwanie ich wartości

wymaga sformułowania dwóch równań, które opisują stan początkowy ruchu masy.

W tym celu, wykorzystując dyskusję wstępnej fazy, przyjmiemy, że w chwili, t=0,

przemieszczenie płyty o stałej prędkości, V

P

, inicjuje przemieszczenie nieruchomej

masy,

0

)

0

(

x

=

&

, odnotowane od jej początkowego położenia,

0

)

0

(

x

= ,. Założone warunki

wiążą ze sobą równanie(8) i jego pochodną względem czasu:









+

+

−

−

=

+

+

=

−

−

.

]

sin

)

(

cos

)

[(

,

)

sin

cos

(

2

1

1

2

2

1

P

ht

P

ht

V

t

h

C

C

t

h

C

C

e

X

t

V

t

C

t

C

e

X

ω

ω

ω

ω

ω

ω

&

(9)

Stosowne przekształcenia układu (9) i wprowadzeniu,

0

)

0

(

x

=

&

i

0

)

0

(

x

= prowadzą do

poszukiwanych wartości:

ω

P

V

C

C

−

=

=

2

1

;

0

.

(10a,b)

Przemieszczenie, X, masy, m

H

, jej prędkość, X

& i przyspieszenie, X&

& , przy wykorzystaniu

(10) wynikają z różniczkowania równania (8):

































+

−

=

























−

+

=













−

=

−

−

−

.

cos

2

sin

,

cos

sin

1

,

sin

2

2

t

h

t

h

e

V

X

t

t

h

e

V

X

t

e

t

V

X

ht

P

ht

P

ht

P

ω

ω

ω

ω

ω

ω

ω

ω

ω

&

&

&

(11)

W dziedzinie badań drgań tłumionych, gdy poszukiwania dotyczą wartości

współczynnika tłumienia, h i częstotliwości drgań własnych,

ω, wykorzystywana jest

prędkość ich wygaszania. Posługujemy się tutaj logarytmicznym dekrementem tłumienia,
definiowanym jako logarytm naturalny stosunku wartości kolejnych amplitud:

6

hT

X

X

n

n

=

=

+1

ln

δ

,

(12)

gdzie

)

(

nT

t

h

O

n

e

X

X

+

−

=

,

]

)

1

(

[

1

T

n

t

h

O

n

e

X

X

+

+

−

+

=

, jeżeli X

O

oznacza wartość początkowej

amplitudy, zaś T=2

π/ω opisuje okres drgań tłumionych.

Wynika stąd, że drgania masy, m

H

, podlegają stopniowemu wygaszaniu, z prędkością

zależną od wartości parametrów, h i

ω. Wymieniony efekt eliminuje względną prędkość

masy, jaką opisuje następująca różnica,

0

=

− X

Y

&

&

. Zamyka to pierwszą fazę podnoszenia.

Następnie, masa i płyta poruszają się z jednakową prędkością podnoszenia, V

P

, co odpowiada

warunkowi równowagi statycznej układu.

Ostatnia faza podnoszenia wiąże się z hamowaniem ruchu masy. Tutaj, przewidywanie

jej zachowania wymaga wprowadzenia następujących założeń. Przyjmiemy, że zatrzymanie
masy jest wynikiem zatrzymania płyty, co następuje w chwili t=0, gdy nieruchoma płyta
znajduje się w położeniu, Y=0. Przyjęty stan eliminuje, więc działanie wymuszenia
zewnętrznego. W tej samej chwili, t=0, położenie masy zwiążemy ze współrzędną, X=0
i narzucimy prędkość, V

P

, jej przemieszczenia w kierunku płyty. Wymienione warunki

prowadzą równanie (7) do uproszczonej postaci:

0

2

2

=

+

+

X

X

h

X

O

ω

&

&

&

.

(13)

Jak wiadomo [2], całkę ogólną równania (13) zapisujemy jako sumę:

)

sin

cos

(

2

1

t

C

t

C

e

X

ht

ω

ω

+

=

−

,

(14)

gdzie, tak jak poprzednio, stałe całkowania wynikają z warunków początkowych.

Dalszą dyskusję równania (14), jego pochodnych, X& , X&

& oraz wyznaczenie wartości

stałych C

1

i C

2

pozostawiono jako jedno z zadań części obliczeniowej ćwiczenia. Podobne

zadanie stanowi analiza odpowiednich faz opuszczania ładunku.

4. WYKONANIE ĆWICZENIA

W ćwiczeniu wykonywane są zadania doświadczalne, odnoszące się do identyfikacji

i wyznaczenia wartości parametrów dynamicznego modelu żurawia naściennego, jaki
zainstalowano w laboratorium MRC. Zadania obliczeniowe obejmują teoretyczne
przewidywania zachowania się ładunku podczas podnoszenia i opuszczania.

•

część praktyczna

-

wyznaczyć masę ładunku i prędkość jego podnoszenia.

-

przeprowadzić pomiar przebiegu siły działającej na żuraw podczas

podnoszenia i opuszczania ładunku. Odpowiednie czynności należy
przeprowadzić dla położenia ładunku w połowie i przy pełnym zasięgu
ż

urawia.

•

część obliczeniowa

-

wyznaczyć okres drgań, T, wartość współczynnika tłumienia, h, częstotliwości

drgań tłumionych,

ω.

-

uzyskane wyniki wprowadzić do odpowiednich równań i pokazać

przewidywane przebiegi przemieszczenia, X, prędkości, X

& , przyspieszenia, X&

&

ruchu ładunku w pierwszej fazie podnoszenia.

7

-

wyznaczyć stałe, C

1

i C

2

równania, jakie opisuje ruch masy w fazie jej

hamowania. Sformułować odpowiednie równania i tak jak poprzednio, pokazać
przebiegi przemieszczenia, X, prędkości, X

& , przyspieszenia, X&

& ruchu

ładunku.

-

przewidywane przebiegi przyspieszenia, X&& , porównać z wynikami pomiaru.

•

sprawozdanie

-

w sprawozdaniu należy przedstawić obliczenia i uzyskane wartości, , T, h, ω.

-

przedstawić dyskusję przewidywanych przebiegów przemieszczenia, X,

prędkości, X

& , przyspieszenia, X&

& ,

-

we wnioskach ocenić porównanie przewidywanych przebiegów, X&& , wynikami

pomiarów.

5. WYMAGANY ZAKRES WIADOMOŚCI OGÓLNYCH

- podstawowe pojęcia z teorii drgań,

- rozwiązywanie niejednorodnych równań różniczkowych liniowych drugiego rzędu
ze stałymi współczynnikami,

- podstawy technik pomiarowych.

6. LITERATURA

[1] Piątkiewicz, A., Sobolski, R., „Dźwignice”, WNT, Warszawa, 1977.

[2] Łubowicz, H., Wieprzkowicz, B., „Matematyka. Podstawowe wiadomości teoretyczne

i ćwiczenia

dla

studiów

inżynierskich”,

Oficyna

Wydawnicza

Politechniki

Warszawskiej, Warszawa, 1996.

[3] Osiński, Z., „Teoria drgań”, PWN, Warszawa, 1980.

[4] Materiały firmy Demag Cranes & Components.

[5] Zbiory własne.

8

DODATEK

Celem dodatkowego rozdziału instrukcji jest prezentacja podstawowych

wiadomości dotyczących równań różniczkowych liniowych drugiego rzędu. Zakres
dyskusji obejmuje zagadnienia konieczne do wykonania ćwiczenia.

Równanie różniczkowe liniowe drugiego rzędu zapisywane w postaci:

)

(

)

(

)

(

2

1

t

f

X

t

q

X

t

q

X

=

+

+

&

&

&

,

(d1)

określane jest jako równanie niejednorodne. Jeżeli f(t)=0, wówczas równanie
to nazywa się jednorodnym bądź uproszczonym:

0

)

(

)

(

2

1

=

+

+

X

t

q

X

t

q

X

&

&

&

.

(d2)

Rozwiązanie równania niejednorodnego (d1), w pierwszej kolejności, wymaga

wyznaczenia całek szczególnych równania jednorodnego i jego całki ogólnej.
Następnie, gdy znana jest jedna całka szczególna równania niejednorodnego,
wówczas poszukiwana całka ogólna równania niejednorodnego jest sumą całki
ogólnej równania jednorodnego i całki szczególnej równania niejednorodnego

Przyjmiemy funkcje X

1

(t), X

2

(t), jako całki szczególne równania (d2). Jeśli

wybrane funkcje są ciągłe i liniowo niezależne, wówczas całkę ogólną tego równania
wyraża się w postaci sumy:

)

(

)

(

)

(

2

2

1

1

t

X

C

t

X

C

t

X

j

+

=

,

(d3)

gdzie C

1

, C

2

reprezentują dowolne stałe. Warunek liniowej niezależności założonych

całek, X

1

(t), X

2

(t), jak wiadomo, determinuje wyznacznik:

0

2

1

2

1

≠

=

X

X

X

X

W

&

&

.

(d4)

Założymy obecnie, że funkcja, X

n

(t), reprezentuje całkę szczególną równania

niejednorodnego. Można więc poszukiwaną całkę ogólną równania niejednorodnego
zapisać jako sumę całki (d3) i założonej całki szczególnej:

)

(

)

(

)

(

)

(

2

2

1

1

t

X

t

X

C

t

X

C

X

X

t

X

n

n

j

+

+

=

+

=

.

(d5)

Praktyka inżynierska mieści wiele zagadnień, w których funkcje q

1

(t), q

2

(t),

przyjmują stałe wartości. Badania takich zagadnień wiążą się z zastosowaniami
liniowych równań różniczkowych drugiego rzędu ze stałymi współczynnikami.

Równanie różniczkowe liniowe drugiego rzędu ze stałymi współczynnikami

wynika z równania (d1) i jako niejednorodne przyjmuje postać:

)

(

2

1

t

f

X

a

X

a

X

=

+

+

&

&

&

,

(d6)

jeżeli funkcje q

1,2

reprezentują stałe wartości:q

1

(t)=a

1

oraz q

2

(t)=a

2

.

Równanie jednorodne otrzymujemy z równania (d6), w wyniku założenia, f(t)=0,

po jego prawej stronie:

0

2

1

=

+

+

X

a

X

a

X

&

&

&

.

(d7)

9

Rozwiązanie równania (d6) uzyskujemy na drodze omówionego powyżej

postępowania. Rozpoczynamy od rozwiązania równania jednorodnego (d7). W tym
celu przewidujemy rozwiązanie w postaci:

t

r

e

X

=

,

(d8)

gdzie r, dobieramy tak, aby funkcje:

t

r

e

X

=

,

t

r

e

r

X

=

&

,

t

r

e

r

X

2

=

&

&

, spełniały

równanie (d7), skąd otrzymujemy równanie charakterystyczne:

0

2

1

2

=

+

+

a

r

a

r

,

(d9)

równania (d7). Funkcja (d8) jest więc całką szczególną równania (d7), jeśli r stanowi
pierwiastek równania charakterystycznego (d9).

Wyróżnik równania kwadratowego (d9),

2

2

1

4a

a

−

=

∆

, określa trzy przypadki na

drodze poszukiwania wartości, r, jego rozwiązań.

1.

0

>

∆

, r przyjmuje dwie rzeczywiste wartości,

2

/

)

(

1

2

,

1

∆

±

−

=

a

r

. Istnieją

więc, zgodnie z relacją (d4),W<>0, dwie liniowo niezależne całki szczególne,

t

r

e

X

1

1

=

,

t

r

e

X

2

2

=

, które, na podstawie (d3), prowadzą do całki ogólnej:

t

r

t

r

j

e

C

e

C

t

X

2

1

2

1

)

(

+

=

.

(d10)

2.

0

=

∆

, r stanowi pierwiastek podwójny, r = r

1

= r

2

= a

1

/2, (W=0). Dlatego całki

szczególne mają postać:

t

r

e

X

1

1

=

,

t

r

e

t

X

2

2

=

. Całkę ogólną tworzy więc

następująca suma:

t

r

t

r

j

e

t

C

e

C

t

X

2

1

)

(

+

=

.

(d11)

3.

0

<

∆

, równanie charakterystyczne ma pierwiastki zespolone,

i

r

2

,

1

β

α

±

=

,

gdzie

2

/

1

a

−

=

α

,

∆

−

=

β

. W tym przypadku funkcje

t

e

X

t

a

cos

1

β

=

,

t

e

X

t

a

sin

1

β

=

, opisują rzeczywiste całki szczególne, jakie w postaci poniższej

sumy tworzą całkę ogólną:

)

sin

cos

(

)

(

2

1

t

C

t

C

e

t

X

t

j

β

β

α

+

=

.

(d12)

Równanie różniczkowe liniowe drugiego rzędu niejednorodne ze stałymi

współczynnikami rozwiązujemy wykorzystując metodę uzmienniania stałych, bądź
metodą przewidywania całki szczególnej. Druga z wymienionych metod jest bardzo
prosta i efektywna. Wykorzystanie jej wymaga jednak, aby funkcja f(t), pośród kilku
postaci, była opisana wielomianem:

0

1

1

1

..

)

(

b

t

b

t

b

t

b

t

W

k

k

k

k

k

+

+

+

+

=

−

−

. Jak można to

łatwo zauważyć, odwołując się do równania (7), narzucony warunek jest spełniony,
bowiem wielomian o stopniu, k, jest tu ograniczony do formy liniowej:

)

(

)

(

0

1

t

f

b

t

b

t

W

=

+

=

.

(d13)

Metoda przewidywania całki szczególnej, niezależnie od właściwej postaci

funkcji, f(t), dopuszcza tę samą strukturę przewidywanej funkcji, X

n

(t), jaką

reprezentuje prawa strona niejednorodnego równania (d6).

Niech wielomian (d13) reprezentuje poszukiwaną całkę szczególną:

10

B

At

t

X

n

+

=

)

(

.

(d14)

Podstawienie

B

At

X

n

+

=

,

A

X

n

=

&

,

0

=

n

X&

&

, do równania (d6) prowadzi do zależności:

0

1

2

1

)

(

0

b

t

b

B

At

a

A

a

+

=

+

+

+

.

(d15)

Porównując wartości współczynników przy odpowiednich potęgach po obu stronach
równania (d15), otrzymujemy:







=

+

=

.

,

0

2

1

1

2

b

B

a

A

a

b

A

a

(d16)

Stąd, przewidywaną całkę szczególną reprezentuje funkcja:

2

2

1

1

0

2

2

1

)

(

a

b

a

b

a

t

a

b

t

X

n

−

+

=

.

(d17)

Odnosząc się obecnie do trzeciego przypadku rozwiązania równania jednorodnego,

jaki odpowiada warunkom obowiązującym w równaniu (7), rozwiązanie ogólne,
zapisane zależnością (d5), ostatecznie, przyjmie postać:

2

2

1

1

0

2

2

1

2

1

)

sin

cos

(

)

(

)

(

a

b

a

b

a

t

a

b

t

C

t

C

e

t

X

t

X

t

n

j

+

+

+

+

=

+

β

β

α

.

(d18)