Sygnał – przebieg dowolonej wielkości fizycznej będącej nośnikiem informacji

• Energia Zawarta W Sygnale: E(t) = ∫₀^Tx²(t)dt

• Moc Chwilowa: P(t) = X²(t)

• Moc Sygnału Impulsowego: $P_{x}\left( t_{1,}t_{2} \right) = \frac{\int_{t_{1}}^{t_{2}}{x^{2}\left( t \right)\text{dt}}}{t_{2} - t_{1}}$

• Moc Sygnały o Nieskończonym Czasie Trwania: $\operatorname{}{\frac{1}{2t}\int_{- t}^{t}{x^{2}\left( t \right)\text{dt}}}$

1) Sygnał o energii ograniczonej:

• ∫_−∞^∞x²(t)dt < ∞

• Moc średnia tych sygnałów równa jest 0.

• NP. Sygnał gaussowski

I) Sygnał o mocy średniej nieograniczonej:

• $\operatorname{}{\frac{1}{2t}\int_{- t}^{t}{x^{2}\left( t \right)dt = \infty}}$

• NP. Biały Szum¹, Funkcja Grzebieniowa²

II) Sygnał o mocy średniej ograniczonej:

• $\operatorname{}{\frac{1}{2t}\int_{- t}^{t}{x^{2}\left( t \right)dt > 0}}$

• NP. Stacjonarny sygnał widmowy o losowym widmie ograniczenia, Sygnały Okresowy

1) Sygnał zdeterminowany:

• Możemy przewidzieć jego przebieg – ale nie ma w pełni zdeterminowanego sygnału (może wydarzyć się coś co zmieni przebieg owego sygnału)

• Wartość średnia:

  • Dla sygnału ciągłego: $x_{sr} = \frac{1}{T}\int_{0}^{T}{|x\left( t \right)|dt}$

  • Dla sygnału dyskretnego: $x_{sr} = \frac{1}{N}\sum_{i = 1}^{N}{|x\left( nt \right)|}$

• Wartość skuteczna:

  • Dla sygnału ciągłego: $x_{\text{sk}} = \sqrt{\frac{1}{T}\int_{0}^{T}{x^{2}(t)dt}}$

  • Dla sygnału dyskretnego: $x_{\text{sk}} = \sqrt{\frac{1}{N}\sum_{i = 1}^{N}{x^{2}\left( nt \right)}}$

I) Sygnał okresowy:

• Przedział czasu, w którym zachodzi 1 pełne drganie to okres sygnału T_p

• Ilość cykli w jednostce czasu to częstotliwość podstawowa f_o

• Suma 2 lub więcej przebiegów sinusoidalnych, tworzy sygnał okresowy tylko wtedy, gdy stosunki wszystkich możliwych par częstotliwości są liczbami wymiernymi

a) Sygnał harmoniczny:

• x(t)=Xsin(2πf_ot+φ)

• Jest to szczególny przypadek sygnału poliharmonicznego

• NP. y(t)=Asin(2πft+φ)

b) Sygnał poliharmoniczny:

• X(t)=x(t±nT_p) dla n=1,2,3

• Większość sygnałów można rozwinąć w szereg Fouriera

• Jest to sygnał okresowy wyrażony w funkcji czasu.

• Są superpozycją sygnałów harmonicznych

c) Sygnał przejściowy:

• Nie może być przedstawiony w postaci widma dyskretnego

• Widmo ciągłe: X(f) = ∫_−∞^∞x(t)e^−j2πftdt

2) Sygnał losowy:

• Sygnał obserwowany to funkcja czasu opisująca zjawisko losowe w skończonym przedziale czasu

• Proces losowy/Proces stochastyczny to zbiór wszystkich funkcji losowych będących realizacjami danego zjawiska losowego

• Sygnał zarejestrowany w wyniku obserwacji losowego zjawiska fizycznego można traktować jako odcinek jednej realizacji procesu losowego

• I rząd – wartość oczekiwana: $\operatorname{=}\frac{1}{N}\sum_{k = 1}^{N}x_{k}\left( t_{1} \right)$

• II rząd – funkcja autokorelacji: $R_{x}\left( t_{1},t_{1} + \tau \right)\operatorname{}\frac{1}{N}\sum_{k = 1}^{N}{x_{k}\left( t_{1} \right)x_{k}}(t_{1} + \tau)$

• Wartość średniokwadratowa: $\Psi^{2} = \lim_{T \rightarrow \infty}\frac{1}{T}\int_{0}^{T}{x^{2}\left( t \right)\text{dt}}$

• Wartość skuteczna: $\Psi = \sqrt{\lim_{T \rightarrow \infty}\frac{1}{T}\int_{0}^{T}{x^{2}\left( t \right)\text{dt}}}$

• Składowa statyczna: $\mu = \lim_{T \rightarrow \infty}\frac{1}{T}\int_{0}^{T}{x\left( t \right)\text{dt}}$

• Składowa dynamiczna: $\sigma^{2} = \lim_{T \rightarrow \infty}\frac{1}{T}\int_{0}^{T}{\left\lbrack x\left( t \right) - \text{\ μ} \right\rbrack^{2}\text{dt}}$

II) Sygnał niestacjonarny:

• Wartość funkcji μ_x(t₁) oraz R_x(t₁,t₁+τ) zmieniają się wraz ze zmianą czasu

III) Sygnał stacjonarny:

• Wartość funkcji μ_x(t₁) oraz R_x(t₁,t₁+τ) nie zależą od czasu to jest to sygnał STACJONARNY W SZERSZYM SENSIE – funkcja korelacji zależy od różnicy czasu, czyli przesunięcia τ

• Wszystkie charakterystyki probabilistyczne nie zależą od czasu to sygnał jest STACJONARNY W WĘŻSZYM SENSIE (ściśle stacjonarny)

d) Sygnał ergodyczny:

• Proces losowy jest stacjonarny i wartości funkcji μ_x(t₁) oraz R_x(t₁,t₁+τ) są jednakowe dla różnych funkcji losowych

• Proces stacjonarny nie musi być ergodyczny, ale proces ergodyczny musi być stacjonarny

• Momenty obliczone przez uśrednienie w czasie funkcji losowej są równe odpowiednim średnim obliczeniom po zbiorze realizacji

• Wszystkie charakterystyki probabilistyczne procesów ergodycznych mogą być wyznaczone przez uśrednienie w czasie pojedynczej realizacji procesów stochastycznych

---

1. Biały Szum – Jego wartości w dowolnych chwilach są niezależne od wartości w chwilach jej poprzedzających. Charakterystyka widmowa jest stała w całym zakresie częstotliwości (płaska charakterystyka).↩

2. Funkcja Grzebieniowa - potoczna nazwa nieskończonego ciągu impulsów Diraca położonych w równych odstępach czasu.↩