System liczbowy to sposób jednolitego zapisu i nazewnictwa liczb. Do zapisu liczb używa się skończonego zbioru cyfr.

Na co dzień używamy systemu dziesiętnego (mamy do dyspozycji 10 cyfr: 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9) ale w informatyce najbardziej naturalnym jest system dwójkowy, ponieważ dane są zapisywane na bitach, gdzie są tylko 2 możliwości wpisania cyfry: 0 lub 1. Oba te systemy są pozycyjne.

System pozycyjny to taki system, gdzie kolejne rzędy tworzymy przez podniesienie podstawy systemu do odpowiedniej potęgi. Np. rząd jedności w systemie 10 to 10^0, dziesiątki to 10^1 itd. Tak samo jest w każdym systemie liczbowym, więc liczba 5123 w systemie 10 to inaczej 5*10^3+1*10^2+2*10^1+3*10^0.

Konwersja z systemu 10 na 2 na przykładzie liczby 1001

1. Znajdujemy największą potęgę dwójki, która mieści się w liczbie w systemie dziesiętnym. W naszym przypadku to jest 2^9, bo 2^9=512, a w 2^10=1024. Wpisujemy 1.

2. Teraz od naszej liczby odejmujemy tą potęgę którą znaleźliśmy, w naszym przypadku jest to 2^9=512. Uzyskujemy 1001-512=489.

3. Kolejną potęgą mniejszą jest 2^8. Sprawdzamy czy w naszej już zmniejszonej liczbie zmieści się. W naszym przypadku tak, bo 2^8=256, więc możemy wpisać do naszej nowej liczby kolejną 1, ale po prawej stronie i otrzymujemy 11

4. Powtarzamy teraz 3 krok, uzyskujemy 233.

5. Powtarzamy teraz 4 krok. 2^7=128, czyli mieści się w naszej kolejny raz zmniejszonej liczbie, więc możemy wpisać kolejną 1 i już mamy 111

6. Powtarzamy krok 3, uzyskujemy 105.

7. Powtarzamy krok 4, 2^6=64, czyli mieści się, do naszej nowej liczby wpisujemy kolejną jedynkę i już mamy 1111.

8. Powtarzamy krok 3, mamy 41.

9. Powtarzamy krok 4, 2^5=32, mieści się w naszej liczbie, wpisujemy kolejną 1, ale pamiętamy, że kolejne cyfry dopisujemy przed tymi, które już są, czyli mamy 11111

10. Powtarzamy krok 3, mamy 9.

11. Powtarzamy krok 4, 2^4=16, i nie mieści się w naszej liczbie czyli wpisujemy 0, zamiast 1, więc uzyskujemy 111110

12. Powtarzamy krok 4, 2^3=8, mieści się w liczbie, czyli wpisujemy 1 i mamy 1111101

13. Powtarzamy krok 3, mamy 1.

14. Powtarzamy krok 4, 2^2=4, nie mieści się więc wpisujemy 0, nasza liczba to 11111010

15. Powtarzamy krok 4, 2^1=2, nie mieści się więc wpisujemy 0, nasza liczba to 111110100

16. Powtarzamy krok 4, 2^0=1, mieści się więc wpisujemy 1 i nasza liczba końcowa to : 1111101001

To samo można zapisać w bardzo przejrzystej tabelce:

2^9	2^8	2^7	2^6	2^5	2^4	2^3	2^2	2^1	2^0
512	256	128	64	32	16	8	4	2	1
1	1	1	1	1	0	1	0	0	1

Jeśli dodamy wszystkie liczby tam, gdzie jest 1, to wyjdzie nasza liczba w systemie dziesiętnym: 1001.

Aby przeliczyć liczby z systemu dziesiętnego na inny niż dwójkowy, to postępujemy analogicznie, tylko że w innych systemach już mamy większą liczbę cyfr do dyspozycji, kolejne rzędy to potęgi podstawy naszego systemu.

Przykład:
55₍₁₀₎=2001₍₃₎, bo 2*3³+1*3⁰=55

Łatwo można przeliczać liczby z systemów dwójkowy, czwórkowy, ósemkowy i szesnastkowy miedzy sobą pomijając system dziesiętny.

Z dwójkowego na czwórkowy

• Dzielimy liczbę co 2 cyfry od końca

• Każde dwie cyfry zapisujemy 1 w systemie czwórkowym

• Zapisujemy od lewej liczbę czwórkowo

Przykład:

01101101110010₍₂₎=1231302₍₄₎

Sys.2	01	10	11	01	11	00	10
Sys.4	1	2	3	1	3	0	2

Z czwórkowego na ósemkowy

• Zamieniamy najpierw z czwórkowego na dwójkowy(każdą cyfrę w czwórkowym zapisujemy dwoma cyframi w dwójkowym)

• Dzielimy liczbę co 3 cyfry od końca

• Każde trzy cyfry zapisujemy 1 w systemie czwórkowym

• Zapisujemy od lewej liczbę ósemkowo

Przykład:

12303201112₍₄₎=6634126₍₈₎

Sys.4	1	2	3	0	3	2	0	1	1	1	2
Sys.2	01	10	11	00	11	10	00	01	01	01	10

Sys.2	0	110	110	011	100	001	010	110
Sys.8	0	6	6	3	4	1	2	6

Długość zapisanych liczb

1. Największa liczba zapisana na n bitach to : 2ⁿ-1, czyli na:

   1. 4 bitach->15

   2. 3 bitach->7

   3. 2 bitach->3

2. Liczba bitów, która jest potrzebna do zapisania danej liczby naturalnej a to: log₂(a+1):

   1. 15-> 4

   2. 31-> 5

   3. 127->7

Liczby ujemne w systemie dwójkowym

1. Z bitem znaku

Zapisujemy liczbę w systemie dwójkowym i przed liczbę wpisujemy znak bitu

0 -> liczba dodatnia
1 -> liczba ujemna

Czyli liczba 5 to 00101, a -5 to 10101.

Wadą tej metody jest to, że suma dwóch liczb przeciwnych nie daje 0.

00101
+10101
11010, a to jest 26.

1. Kod uzupełnieniowy (U2)

Dla dowolnej liczby a>0 liczba w U2=a,

Dla dowolnej liczby a<0 liczba w U2=a+2ⁿ, gdzie n to liczba bitów.

Tak więc dla a=6 i dla n=4 wygląda tak:

6 -> w U2=6=0110₍₂₎

-6 -> w U2=-6 + 2⁴=6+16=10=1010₍₂₎

Algorytm na zapis liczby ujemnej w U2:

1. Zapisujemy liczbę dodatnią w systemie 2: 6 -> 0110

2. Negujemy wszystkie bity, zamiana 1 na 0 i na odwrót: 0110 -> 1001

3. Dodajemy 1: 1001 +1 -> 1010

4. Nasza końcowa liczba to : 1010

0110

+ 1010

10000 -> na 4 bitach mamy zapisane 0

Liczby rzeczywiste w systemie dwójkowym

1. Zapis stałoprzecinkowy jest ustalone ile bitów przeznaczamy na część całkowitą i ułamkową, nie piszemy kropki.

Przykład: 22,625₍₁₀₎=10110 1100₍₂₎gdzie 5 bitów to cz. całkowita i 4 cz. ułamkowa

2^4	2^3	2^2	2^1	2^0	2^-1	2^-2	2^-3	2^-4
16	8	4	2	1	$$\frac{1}{2}$$	$$\frac{1}{4}$$	$$\frac{1}{8}$$	$$\frac{1}{16}$$
1	0	1	1	0	1	1	0	0

1. Zapis zmiennoprzecinkowy stosujemy przy bardzo małych albo bardzo dużych liczbach. Symbolicznie ten zapis można przedstawić tak(w systemie dziesiętnym): m*10^C, gdzie:

m to mantysa, 0,1<=|m|<1,
c to cecha, liczba całkowita.

W systemie dwójkowym zamiast 10, będzie 2, mantysa będzie ograniczona przez 0,5 i 1. Wszystkie liczby mantysa jak i cecha będzie zapisana w systemie dwójkowym o stałej liczbie znaków.

Przykład:

0,01 * 2¹⁰¹= 0,25*2⁵=0,25*16=4