Optymalizacja Konstrukcji

P 2P

A B

L L L

0, 6 x₁

x₂

x₁

Wykonał: Prowadzący:

Dawid Worsztynowicz, dr M. Rodak

Nr albumu: 106367

Edukacja Techniczno – Informatyczna,

Semestr VI

1. Dane projektowe

P = 6 kN

L = 0, 5 m

σ_dop=120 MPa

f_max=3 mm

$$\mathbf{1\ \leq}\frac{\mathbf{x}_{\mathbf{2}}}{\mathbf{x}_{\mathbf{1}}}\mathbf{\leq 3}$$

x₁, x₂  > 0

1. Model matematyczny konstrukcji

   1. Charakterystyka geometryczna

1.11 Pole powierzchni przekroju poprzecznego belki

Pole to składa się z pola prostokąta oraz pól dwóch trójkątów przedstawionych na rysunku.

$$P = 0,6 \bullet x_{1} \bullet x_{2} + 2 \bullet \frac{1}{2}\ \bullet 0,2 \bullet x_{1} \bullet x_{2}$$

P = 0, 8 x₁x₂

1.12 Środek ciężkości przekroju poprzecznego belki

$P_{1} = \ \frac{1}{10}x_{1}x_{2}$ $S_{1} = (\ \frac{2}{15}x_{1},\ \ \frac{1}{3}x_{2})$

$P_{2} = \ \frac{6}{10}x_{1}x_{2}$ $S_{2} = (\ \frac{1}{2}x_{1},\ \ \frac{1}{2}x_{2})$

$P_{3} = \ \frac{1}{10}x_{1}x_{2}$ $S_{3} = (\ \frac{13}{15}x_{1},\ \ \frac{1}{3}x_{2})$

$$\mathbf{x}_{\mathbf{F}}\mathbf{=}\ \frac{\frac{2}{15}x_{1} \bullet \frac{1}{10}x_{1}x_{2} + \frac{1}{2}x_{1} \bullet \frac{6}{10}x_{1}x_{2} + \frac{13}{15}x_{1} \bullet \frac{1}{10}x_{1}x_{2}}{\left( \frac{1}{10} + \frac{6}{10} + \frac{1}{10} \right)x_{1}x_{2}}\ = \frac{\frac{2}{150}x_{1}^{2}x_{2} + \frac{6}{20}x_{1}^{2}x_{2} + \frac{13}{150}x_{1}^{2}x_{2}}{\frac{8}{10}x_{1}x_{2}} = \ \frac{\frac{15}{150}x_{1}^{2}x_{2} + \frac{6}{20}x_{1}^{2}x_{2}}{\frac{8}{10}x_{1}x_{2}} = \ \frac{\frac{30}{300}x_{1}^{2}x_{2} + \frac{90}{300}x_{1}^{2}x_{2}}{\frac{8}{10}x_{1}x_{2}} = \ \frac{120}{300}\ \bullet \ \frac{10}{8} = \ \frac{120}{240}x_{1} = \frac{1}{2}x_{1}$$

$$\mathbf{y}_{\mathbf{F}}\mathbf{=}\ \frac{2 \bullet \frac{1}{3}x_{2} \bullet \frac{1}{10}x_{1}x_{2} + \frac{1}{2}x_{2} \bullet \frac{6}{10}x_{1}x_{2}}{\left( \frac{1}{10} + \frac{6}{10} + \frac{1}{10} \right)x_{1}x_{2}}\ = \frac{\frac{2}{30}x_{1}x_{2}^{2} + \frac{6}{20}x_{1}x_{2}^{2}}{\frac{8}{10}x_{1}x_{2}} = \ \frac{\frac{4}{60}x_{1}x_{2}^{2} + \frac{18}{60}x_{1}x_{2}^{2}}{\frac{8}{10}x_{1}x_{2}} = \ \frac{22}{60}\ \bullet \ \frac{10}{8} = \ \frac{11}{24}x_{2}$$

Zatem środek ciężkości przekroju poprzecznego belki leży w punkcie $\mathbf{(}\frac{\mathbf{1}}{\mathbf{2}}\mathbf{x}_{\mathbf{1}}\mathbf{,\ \ }\frac{\mathbf{11}}{\mathbf{24}}\mathbf{x}_{\mathbf{2}}\mathbf{)}$

1.13 Moment bezwładności

$$I_{z} = \frac{6 \bullet \left( 0,6x_{1} \right)^{2} + 6 \bullet 0,6x_{1} \bullet 0,4x_{1} + {(0,4x_{1})}^{2}}{36 \bullet (2 \bullet 0,6x_{1} + 0,4x_{1})} \bullet {x_{2}}^{3}$$

$$I_{z} = \frac{2,16{x_{1}}^{2} + 1,44{x_{1}}^{2} + 0,16{x_{1}}^{2}}{57,6x_{1}} \bullet {x_{2}}^{3}$$

$$I_{z} = \frac{3,76{x_{1}}^{2}}{57,6x_{1}} \bullet {x_{2}}^{3}$$

I_z = 0, 0652x₁x₂³

1.14 Wskaźnik wytrzymałości na zginanie względem osi prostopadłej do płaszczyzny zginania

$$W_{z} = \frac{6 \bullet \left( 0,6x_{1} \right)^{2} + 6 \bullet 0,6x_{1} \bullet 0,4x_{1} + {(0,4x_{1})}^{2}}{12 \bullet (3 \bullet 0,6x_{1} + 2 \bullet 0,4x_{1})} \bullet {x_{2}}^{2}$$

$$W_{z} = \frac{3,76\ {x_{1}}^{2}}{31,2\ x_{1}} \bullet {x_{2}}^{2}$$

W_z = 0, 1205 x₁x₂²

1. Wykresy sił poprzecznych oraz momentów zginających

Należy najpierw policzyć siły reakcyjne w podporach.

Suma sił wzdłuż osi Y:

$$\sum_{}^{}F_{y} = 0$$

R_A − P − 2P + R_B = 0

R_A = 3P − R_B

Suma momentów względem punkty A:

$$\sum_{}^{}M_{A} = 0$$

−P • L − 2P • 2L + R_B • 3L = 0

3R_bL − 5PL = 0

3R_BL = 5PL

$$\mathbf{R}_{\mathbf{B}}\mathbf{=}\frac{\mathbf{5}}{\mathbf{3}}\mathbf{P}$$

Zatem

R_A = 3P − R_B

$$R_{A} = \frac{9}{3}P - \frac{5}{3}P$$

$$\mathbf{R}_{\mathbf{A}}\mathbf{=}\frac{\mathbf{4}}{\mathbf{3}}\mathbf{P}$$

Wykres sił ścinających T(x)

T(x) = R_A=8000

T(x) = R_A−P=8000−6000=2000

T(x) = R_A−P−2P=2000−12000= −10000

8000 0 < x < 0.5

2000 0.5 < x < 1

- 10000 1 < x < 1.5

Znalezienie wartości maksymalnej siły ścinającej Tmax[N]

Tmax = - 10 000

Wykres momentów gnących M(x)

M1(x) = Ra x

M2(x) = Ra x – P (x – L)

M3(x) = Ra x – P (x – L) – 2P (x – 2L)

8000 x 0 < x < 0.5

8000 x - 6000 (x – 0.5) 0.5 < x < 1

8000 x - 6000 (x – 0.5) - 12000 (x - 1) 1 < x < 1.5

Maksymalna wartość momentów gnących [N*m]

Mmax = 5000

Maksymalne naprężenia Sigmamax [Mpa]:

$$\mathbf{Sigmamax =}\frac{\mathbf{\text{Mmax}}}{\mathbf{W}_{\mathbf{z}}}\mathbf{\bullet}\mathbf{10}^{\mathbf{6}}$$

$$\mathbf{Sigmamax =}\frac{\mathbf{0,0414894}}{\mathbf{x}_{\mathbf{1}}{\mathbf{x}_{\mathbf{2}}}^{\mathbf{2}}}$$

Maksymalne ugięcie fmax [m]:

fmaxm = Maximize[{fmaxp,  x > 0.000001,  x < 3L}, x]

fmaxm = 54 000

$$\mathbf{fmax =}\frac{\mathbf{\text{fmaxm}}}{\mathbf{\text{EY\ }}\mathbf{I}_{\mathbf{z}}\mathbf{\lbrack x}\mathbf{1,x}\mathbf{2\rbrack}}$$

$$\mathbf{fmax =}\frac{\mathbf{3,09066 \bullet \ }\mathbf{10}^{\mathbf{- 6}}}{\mathbf{x}_{\mathbf{1}}{\mathbf{x}_{\mathbf{2}}}^{\mathbf{3}}}$$

Kryterium naprężeniowe

krs = Minimalize[{Az[x1,x2], 1 ≤ $\frac{\mathbf{x}_{\mathbf{2}}}{\mathbf{x}_{\mathbf{1}}}\mathbf{\leq 3}$, x1>0, x2>0, Sigmad – Sigmamax [x1,x2] ≥0}, {x1,x2}]

{0.00701418, {x1 -> 0.0493506, x2 -> 0.148052}}

Kryterium ugięcia

krf = Minimalize[{Az[x1,x2], 1 ≤ $\frac{\mathbf{x}_{\mathbf{2}}}{\mathbf{x}_{\mathbf{1}}}\mathbf{\leq 3}$, x1>0, x2>0, fd - fmax ≥0}, {x1,x2}]

{0.0137748, {x1 -> 0.0691587, x2 -> 0.207476}}

Kryterium uwzględniające wszystkie warunki

kr = Minimalize[{Az[x1,x2], 1 ≤ $\frac{\mathbf{x}_{\mathbf{2}}}{\mathbf{x}_{\mathbf{1}}}\mathbf{\leq 3}$, x1>0, x2>0, Sigmad – Sigmamax[x1,x2] ≥ 0, fd - fmax ≥0}, {x1,x2}]

{0.0137781, {x1 -> 0.069167, x2 -> 0.207501}}

Wykres przedstawiający wartości x₁, x₂ dla których spełnione jest kryterium naprężeniowe (bez uwzględniania pozostałych założeń).

Wykres przedstawiający wartości x₁, x₂ dla których spełnione jest kryterium ugięcia (bez uwzględniania pozostałych założeń).

Wykres przedstawiający wartości x₁, x₂ dla których spełnione jest $\frac{\mathbf{x}_{\mathbf{2}}}{\mathbf{x}_{\mathbf{1}}}\mathbf{= 1}$

Wykres przedstawiający wartości x₁, x₂ dla których spełnione jest $\frac{\mathbf{x}_{\mathbf{2}}}{\mathbf{x}_{\mathbf{1}}}\mathbf{= 3}$

Wykres przedstawiający wartość przekroju poprzecznego belki dla różnych x₁, x₂

Złożenie wykresów przedstawiających poszczególne kryteria oraz wykresu przedstawiającego wartość pola powierzchni przekroju belki.

Aktywne jest ograniczenie ugięciowe. Jeżeli spełniony jest warunek ugięciowy, pozostałe również są spełnione.

Optymalne wymiary:

x₁=0, 069 [m]

x₂=0,207 [m]