PROJEKT HYDRAULIKA

Magdalena Krysiak, gr. 3, rok I

Dane do zadania:

H = 4m – wysokość wody w naczyniu, z naczynia ciecz wypływa bezpośrednio do przewodów

ζ₁=0,5 – strata lokalna wywołana wlotem cieczy do przewodu z naczynia o ostrych krawędziach

d₁=65mm - średnica pierwszego przewodu

l₁=110cm - długość pierwszego przewodu

ζ₂=3,9 – strata na zaworze wzniosowym grzybkowym normalnym

d₂=75mm - średnica drugiego przewodu

l₂=90cm - długość drugiego przewodu

d₃=45mm - średnica trzeciego przewodu

l₃= 100cm – długość trzeciego przewodu

d₄=105mm - średnica czwartego przewodu

l₄=70cm – długość czwartego przewodu

T wody = 15[C] => $\mathbf{\nu}\mathbf{=}\mathbf{1}\mathbf{,}\mathbf{146*}\mathbf{10}^{\mathbf{- 6}}\frac{\mathbf{m}^{\mathbf{2}}}{\mathbf{s}}$

k = 0, 04mm – chropowatość bezwzględna

Obliczenia

Obliczenie pól każdego z przekrojów

$$\mathbf{A}\mathbf{=}\frac{\mathbf{\pi*}\mathbf{d}^{\mathbf{2}}}{\mathbf{4}}\mathbf{=}\mathbf{\pi*}\mathbf{r}^{\mathbf{2}}$$

A₁=3316, 625 mm²

A₂=4415, 625 mm²

A₃=1589, 625  mm²

A₄=8654, 625 mm²

Obliczenia współczynników ζ strat lokalnych ( krzywak rurowy, rozszerzenie, łuk kołowy, przewężenia)

Straty przy nagłym zmniejszeniu przekroju:

$\mathbf{\zeta}\mathbf{=}\frac{\mathbf{0}\mathbf{,}\mathbf{0756}}{\mathbf{\mu}^{\mathbf{2}}}\mathbf{+}{\mathbf{(}\frac{\mathbf{1}}{\mathbf{\mu}}\mathbf{-}\mathbf{1)}}^{\mathbf{2}}$, gdzie μ jest funkcją pól powierzchni przekroi powierzchni przekrojów, pole mniejszego przekroju podzielone przez pole większego przekroju

ζ₄=0, 7025

Straty przy nagłym zwiększeniu przekroju:

$$\mathbf{\zeta}\mathbf{=}{\mathbf{(}\frac{\mathbf{A}_{\mathbf{d}}}{\mathbf{A}_{\mathbf{g}}}\mathbf{- 1}\mathbf{)}}^{\mathbf{2}}$$

ζ₃=0, 02

ζ₆=1, 8

Starty na łuku kołowym ( kolano ):

$$\mathbf{\zeta}\mathbf{= \lbrack}\mathbf{0}\mathbf{,}\mathbf{131}\mathbf{+}\mathbf{1}\mathbf{,}\mathbf{847*}\left( {\frac{\mathbf{r}}{\mathbf{R}}\mathbf{)}}^{\mathbf{3}\mathbf{,}\mathbf{5}} \right\rbrack\mathbf{*}\left( \frac{\mathbf{\varphi}}{\mathbf{90}} \right)$$

R = 20cm r = 30mm φ=90

$$\mathbf{\zeta}_{\mathbf{5}}\mathbf{= \lbrack}\mathbf{0}\mathbf{,}\mathbf{131}\mathbf{+}\mathbf{1}\mathbf{,}\mathbf{847*}\left( {\frac{\mathbf{r}}{\mathbf{R}}\mathbf{)}}^{\mathbf{3}\mathbf{,}\mathbf{5}} \right\rbrack\mathbf{*}\left( \frac{\mathbf{\varphi}}{\mathbf{90}} \right)\mathbf{=}\mathbf{0,133}$$

3. Wyprowadzenie wzorów na prędkości w przewodach

Z równania natężenia przepływu możemy wyznaczyć prędkości w konkretnych odcinkach przewodu

Q=A₁*v₁=A₂*v₂=A₃*v₃=A₄*v₄

v₁=(A₄*v₄)/A₁

v₂=(A₄*v₄)/A₂

v₃=(A₄*v₄)/A₃

Następnie korzystamy z równania Bernoulliego:

$\mathbf{z}_{\mathbf{1}}\mathbf{+}\frac{\mathbf{\text{pa}}}{\mathbf{\gamma}}\mathbf{+}\frac{\mathbf{\alpha}\mathbf{*}\mathbf{v}^{\mathbf{2}}}{\mathbf{2*g}}\mathbf{=}\mathbf{z}_{\mathbf{2}}\mathbf{+}\frac{\mathbf{\text{pa}}}{\mathbf{\gamma}}\mathbf{+}\frac{\mathbf{\alpha}\mathbf{*}{\mathbf{v}_{\mathbf{4}}}^{\mathbf{2}}}{\mathbf{2*g}}$+Σhstr, gdzie z₁ = H, $\frac{\mathbf{\alpha*}\mathbf{v}^{\mathbf{2}}}{\mathbf{2*g}}$=0, ponieważ ciecz w zbiorniku nie płynie, z₂=0, a Σhstr jest to suma wszystkich strat, które napotkała ciecz od momentu opuszczenia zbiornika do końca ostatniego przewodu. Uwzględniając w.w. własności, równanie możemy przedstawić tak (zakładamy ruch burzliwy, dla którego α=1):

H= $\frac{{\mathbf{\alpha*v}_{\mathbf{4}}}^{\mathbf{2}}}{\mathbf{2*g}}\mathbf{*}\mathbf{(}\left( \frac{\mathbf{\lambda}_{\mathbf{4}}\mathbf{*}\mathbf{l}_{\mathbf{4}}}{\mathbf{d}_{\mathbf{4}}} \right)\mathbf{+}\left( \frac{\mathbf{\lambda}_{\mathbf{1}}\mathbf{*}\mathbf{l}_{\mathbf{1}}}{\mathbf{d}_{\mathbf{1}}} \right)\mathbf{*}\left( \frac{\mathbf{A}_{\mathbf{4}}}{\mathbf{A}_{\mathbf{1}}} \right)^{\mathbf{2}}\mathbf{+}\left( \frac{\mathbf{\lambda}_{\mathbf{2}}\mathbf{*}\mathbf{l}_{\mathbf{2}}}{\mathbf{d}_{\mathbf{2}}} \right)\mathbf{*}\left( \frac{\mathbf{A}_{\mathbf{4}}}{\mathbf{A}_{\mathbf{2}}} \right)^{\mathbf{2}}\mathbf{+}\left( \frac{\mathbf{\lambda}_{\mathbf{3}}\mathbf{*}\mathbf{l}_{\mathbf{3}}}{\mathbf{d}_{\mathbf{3}}} \right)\mathbf{*}\left( \frac{\mathbf{A}_{\mathbf{4}}}{\mathbf{A}_{\mathbf{3}}} \right)^{\mathbf{2}}\mathbf{+}\mathbf{\zeta}_{\mathbf{1}}\mathbf{*}\left( \frac{\mathbf{A}_{\mathbf{4}}}{\mathbf{A}_{\mathbf{1}}} \right)^{\mathbf{2}}\mathbf{+}\mathbf{\zeta}_{\mathbf{2}}\mathbf{*}\left( \frac{\mathbf{A}_{\mathbf{4}}}{\mathbf{A}_{\mathbf{2}}} \right)^{\mathbf{2}}\mathbf{+}\mathbf{\zeta}_{\mathbf{3}}\mathbf{*}\left( \frac{\mathbf{A}_{\mathbf{4}}}{\mathbf{A}_{\mathbf{1}}} \right)^{\mathbf{2}}{\mathbf{+}\mathbf{\zeta}}_{\mathbf{4}}\mathbf{*}\left( \frac{\mathbf{A}_{\mathbf{4}}}{\mathbf{A}_{\mathbf{2}}} \right)^{\mathbf{2}}\mathbf{+}\mathbf{\zeta}_{\mathbf{5}}\mathbf{*}\left( \frac{\mathbf{A}_{\mathbf{4}}}{\mathbf{A}_{\mathbf{3}}} \right)^{\mathbf{2}}\mathbf{+}\mathbf{\zeta}_{\mathbf{6}}\mathbf{*}\left( \frac{\mathbf{A}_{\mathbf{4}}}{\mathbf{A}_{\mathbf{3}}} \right)^{\mathbf{2}}\mathbf{)}$

Wyznaczamy v₄ z równania

$$\mathbf{v}_{\mathbf{4}}\mathbf{=}\sqrt{\mathbf{(2*g*H)/(\alpha*}\left( \frac{\mathbf{\lambda}_{\mathbf{4}}\mathbf{*}\mathbf{l}_{\mathbf{4}}}{\mathbf{d}_{\mathbf{4}}} \right)\mathbf{+}\left( \frac{\mathbf{\lambda}_{\mathbf{1}}\mathbf{*}\mathbf{l}_{\mathbf{1}}}{\mathbf{d}_{\mathbf{1}}} \right)\mathbf{*}\left( \frac{\mathbf{A}_{\mathbf{4}}}{\mathbf{A}_{\mathbf{1}}} \right)^{\mathbf{2}}\mathbf{+}\left( \frac{\mathbf{\lambda}_{\mathbf{2}}\mathbf{*}\mathbf{l}_{\mathbf{2}}}{\mathbf{d}_{\mathbf{2}}} \right)\mathbf{*}\left( \frac{\mathbf{A}_{\mathbf{4}}}{\mathbf{A}_{\mathbf{2}}} \right)^{\mathbf{2}}\mathbf{+}\left( \frac{\mathbf{\lambda}_{\mathbf{3}}\mathbf{*}\mathbf{l}_{\mathbf{3}}}{\mathbf{d}_{\mathbf{3}}} \right)\mathbf{*}\left( \frac{\mathbf{A}_{\mathbf{4}}}{\mathbf{A}_{\mathbf{3}}} \right)^{\mathbf{2}}\mathbf{+}\mathbf{\zeta}_{\mathbf{1}}\mathbf{*}\left( \frac{\mathbf{A}_{\mathbf{4}}}{\mathbf{A}_{\mathbf{1}}} \right)^{\mathbf{2}}\mathbf{+}\mathbf{\zeta}_{\mathbf{2}}\mathbf{*}\left( \frac{\mathbf{A}_{\mathbf{4}}}{\mathbf{A}_{\mathbf{2}}} \right)^{\mathbf{2}}\mathbf{+}\mathbf{\zeta}_{\mathbf{3}}\mathbf{*}\left( \frac{\mathbf{A}_{\mathbf{4}}}{\mathbf{A}_{\mathbf{1}}} \right)^{\mathbf{2}}\mathbf{+ \zeta}_{\mathbf{4}}\mathbf{*}\left( \frac{\mathbf{A}_{\mathbf{4}}}{\mathbf{A}_{\mathbf{2}}} \right)^{\mathbf{2}}\mathbf{+}\mathbf{\zeta}_{\mathbf{5}}\mathbf{*}\left( \frac{\mathbf{A}_{\mathbf{4}}}{\mathbf{A}_{\mathbf{3}}} \right)^{\mathbf{2}}\mathbf{+}\mathbf{\zeta}_{\mathbf{6}}\mathbf{*}\left( \frac{\mathbf{A}_{\mathbf{4}}}{\mathbf{A}_{\mathbf{3}}} \right)^{\mathbf{2}}\mathbf{))\ }}$$

W calu dalszego obliczenia prędkości w poszczególnych przewodach musimy najpierw wyznaczyć współczynnik oporów liniowych (Corriolisa). Robimy to licząc najpierw chropowatość względna (ε), a następnie korzystamy z wykresu zależności współczynnika oporów liniowych od chropowatości względnej.

$$\mathbf{\varepsilon}\mathbf{=}\frac{\mathbf{k}}{\mathbf{d}}$$

$$\mathbf{\varepsilon}_{\mathbf{1}}\mathbf{=}\frac{\mathbf{k}}{\mathbf{d}_{\mathbf{1}}}\mathbf{=}\frac{\mathbf{0}\mathbf{,}\mathbf{04}}{\mathbf{50}}\mathbf{=}\mathbf{6,15*}\mathbf{10}^{\mathbf{- 4}}\mathbf{= >}\mathbf{\lambda}_{\mathbf{1}}\mathbf{=}\mathbf{0}\mathbf{,}\mathbf{019}$$

$$\mathbf{\varepsilon}_{\mathbf{2}}\mathbf{=}\frac{\mathbf{k}}{\mathbf{d}_{\mathbf{2}}}\mathbf{=}\frac{\mathbf{0}\mathbf{,}\mathbf{04}}{\mathbf{60}}\mathbf{=}\mathbf{5,3*}\mathbf{10}^{\mathbf{- 4}}\mathbf{= >}\mathbf{\lambda}_{\mathbf{2}}\mathbf{=}\mathbf{0}\mathbf{,}\mathbf{018}$$

$$\mathbf{\varepsilon}_{\mathbf{3}}\mathbf{=}\frac{\mathbf{k}}{\mathbf{d}_{\mathbf{3}}}\mathbf{=}\frac{\mathbf{0}\mathbf{,}\mathbf{04}}{\mathbf{30}}\mathbf{=}\mathbf{8,9*}\mathbf{10}^{\mathbf{- 3}}\mathbf{= >}\mathbf{\lambda}_{\mathbf{3}}\mathbf{=}\mathbf{0}\mathbf{,}\mathbf{038}$$

$$\mathbf{\varepsilon}_{\mathbf{4}}\mathbf{=}\frac{\mathbf{k}}{\mathbf{d}_{\mathbf{4}}}\mathbf{=}\frac{\mathbf{0}\mathbf{,}\mathbf{04}}{\mathbf{90}}\mathbf{=}\mathbf{3,8*}\mathbf{10}^{\mathbf{- 4}}\mathbf{= >}\mathbf{\lambda}_{\mathbf{4}}\mathbf{=}\mathbf{0}\mathbf{,}\mathbf{016}$$

Wracając do równania Bernoulliego i podstawiając wyliczone współczynniki λ możemy wyznaczyć prędkość v₄, a następnie prędkości we wszystkich przewodach z zależności wynikających ze stałego natężenia przepływu.

$$\mathbf{v}_{\mathbf{4}}\mathbf{=}\mathbf{0,865}\frac{\mathbf{m}}{\mathbf{s}}$$

$$\mathbf{v}_{\mathbf{1}}\mathbf{=}\frac{\mathbf{A}_{\mathbf{4}}\mathbf{*}\mathbf{v}_{\mathbf{4}}}{\mathbf{A}_{\mathbf{1}}}\mathbf{=}\frac{\mathbf{8,654625*0,865}}{\mathbf{3,316625}}\mathbf{=}\mathbf{2,26}\frac{\mathbf{m}}{\mathbf{s}}$$

$$\mathbf{v}_{\mathbf{2}}\mathbf{=}\frac{\mathbf{A}_{\mathbf{4}}\mathbf{*}\mathbf{v}_{\mathbf{4}}}{\mathbf{A}_{\mathbf{2}}}\mathbf{=}\frac{\mathbf{8,654625*0,865}}{\mathbf{4,415625}}\mathbf{=}\mathbf{1,7}\frac{\mathbf{m}}{\mathbf{s}}$$

$$\mathbf{v}_{\mathbf{3}}\mathbf{=}\frac{\mathbf{A}_{\mathbf{4}}\mathbf{*}\mathbf{v}_{\mathbf{4}}}{\mathbf{A}_{\mathbf{3}}}\mathbf{=}\frac{\mathbf{8,654625*0,865}}{\mathbf{1,589625}}\mathbf{=}\mathbf{4,7}\frac{\mathbf{m}}{\mathbf{s}}$$

4. Obliczenia natężenia przepływu

Znając prędkości przepływu cieczy w przewodach możemy obliczyć jego natężenie (liczymy tylko dla jednego przewodu, ponieważ jest on taki sam dla każdego przewodu z osobna)

$$\mathbf{Q}\mathbf{=}\mathbf{A*v}\mathbf{=}\mathbf{3,316625*2,26}\mathbf{=}\mathbf{7,5}\frac{\mathbf{m}^{\mathbf{3}}}{\mathbf{s}}$$

5. Obliczenia liczby Reynoldsa

Liczymy liczbę Reynoldsa, aby upewnić się czy nasz ruch jest na pewno burzliwy

$$\mathbf{\text{Re}}\mathbf{=}\frac{\mathbf{v*d}}{\mathbf{\nu}}$$

$$\mathbf{\text{Re}}_{\mathbf{1}}\mathbf{=}\frac{\mathbf{2,26*0,065}}{\mathbf{1}\mathbf{,}\mathbf{146}\mathbf{*}\mathbf{10}^{\mathbf{-}\mathbf{6}}}\mathbf{=}\mathbf{128184,991}\mathbf{>}\mathbf{10}^{\mathbf{4}}$$

$$\mathbf{\text{Re}}_{\mathbf{2}}\mathbf{=}\frac{\mathbf{1,7*0,075}}{\mathbf{1}\mathbf{,}\mathbf{146}\mathbf{*}\mathbf{10}^{\mathbf{-}\mathbf{6}}}\mathbf{=}\mathbf{111256,544}\mathbf{>}\mathbf{10}^{\mathbf{4}}$$

$$\mathbf{\text{Re}}_{\mathbf{3}}\mathbf{=}\frac{\mathbf{4,7*0,045}}{\mathbf{1}\mathbf{,}\mathbf{146}\mathbf{*}\mathbf{10}^{\mathbf{-}\mathbf{6}}}\mathbf{=}\mathbf{184544,973}\mathbf{>}\mathbf{10}^{\mathbf{4}}$$

$$\mathbf{\text{Re}}_{\mathbf{4}}\mathbf{=}\frac{\mathbf{0,865*0,105}}{\mathbf{1}\mathbf{,}\mathbf{146}\mathbf{*}\mathbf{10}^{\mathbf{-}\mathbf{6}}}\mathbf{=}\mathbf{7}\mathbf{9253,926}\mathbf{>}\mathbf{10}^{\mathbf{4}}$$

Liczba Reynoldsa w każdym przypadku jest większa od 10000, a więc mamy pewność, że w przyjętym α=1, nie ma błędu, ponieważ ruch burzliwy jest gdy liczba Reynoldsa przekracza 10000 ( w labolatorium 4000).

6. Obliczenia strat lokalnych i na długości

1 Straty lokalne na wlocie:

hlok= $\mathbf{\zeta}_{\mathbf{1}}\mathbf{*}\frac{{\mathbf{v}_{\mathbf{1}}}^{\mathbf{2}}}{\mathbf{2*g}}\mathbf{=}\mathbf{0}\mathbf{,}\mathbf{130}\mathbf{=}\mathbf{130}\mathbf{\ }\mathbf{\text{mm}}$

2 Straty na pierwszym odcinku:

$$\mathbf{hdl}\mathbf{=}\frac{\mathbf{\lambda}_{\mathbf{1}}\mathbf{*}\mathbf{l}_{\mathbf{1}}}{\mathbf{d}_{\mathbf{1}}}\mathbf{*}\frac{{\mathbf{v}_{\mathbf{1}}}^{\mathbf{2}}}{\mathbf{2*g}}\mathbf{=}\mathbf{0}\mathbf{,\ }\mathbf{082m}\mathbf{=}\mathbf{82mm}$$

3 Straty na pierwszym poszerzeniu przewodu:

hlok= $\mathbf{\zeta}_{\mathbf{3}}\mathbf{*}\frac{{\mathbf{v}_{\mathbf{1}}}^{\mathbf{2}}}{\mathbf{2*g}}\mathbf{=}\mathbf{0}\mathbf{,}\mathbf{005m}\mathbf{=}\mathbf{5mm}$

4 Straty na drugim odcinku:

$$\mathbf{hdl}\mathbf{=}\frac{\mathbf{\lambda}_{\mathbf{2}}\mathbf{*}\mathbf{l}_{\mathbf{2}}}{\mathbf{d}_{\mathbf{2}}}\mathbf{*}\frac{{\mathbf{v}_{\mathbf{2}}}^{\mathbf{2}}}{\mathbf{2*g}}\mathbf{=}\mathbf{0}\mathbf{,}\mathbf{031m}\mathbf{=}\mathbf{31mm}$$

5 Straty na zaworze znajdującym się na drugim odcinku:

hlok= $\mathbf{\zeta}_{\mathbf{2}}\mathbf{*}\frac{{\mathbf{v}_{\mathbf{2}}}^{\mathbf{2}}}{\mathbf{2*g}}\mathbf{=}\mathbf{0}\mathbf{,}\mathbf{003m}\mathbf{=}\mathbf{3}\mathbf{\ }\mathbf{\text{mm}}$

6 Straty na przewężeniu przewodu:

hlok= $\mathbf{\zeta}_{\mathbf{4}}\mathbf{*}\frac{{\mathbf{v}_{\mathbf{2}}}^{\mathbf{2}}}{\mathbf{2*g}}\mathbf{=}\mathbf{0}\mathbf{,}\mathbf{103}\mathbf{\ }\mathbf{m}\mathbf{=}\mathbf{103}\mathbf{\ }\mathbf{\text{mm}}$

7 Straty na trzecim odcinku:

$$\mathbf{hdl}\mathbf{=}\frac{\mathbf{\lambda}_{\mathbf{3}}\mathbf{*}\mathbf{l}_{\mathbf{3}}}{\mathbf{d}_{\mathbf{3}}}\mathbf{*}\frac{{\mathbf{v}_{\mathbf{3}}}^{\mathbf{2}}}{\mathbf{2*g}}\mathbf{=}\mathbf{0}\mathbf{,}\mathbf{950m}\mathbf{=}\mathbf{950mm}$$

8 Straty na łuku kołowym

hlok= $\mathbf{\zeta}_{\mathbf{3}}\mathbf{*}\frac{{\mathbf{v}_{\mathbf{3}}}^{\mathbf{2}}}{\mathbf{2*g}}\mathbf{=}\mathbf{0}\mathbf{,}\mathbf{042m}\mathbf{=}\mathbf{23mm}$

9 Straty na drugim poszerzeniu:

hlok= $\mathbf{\zeta}_{\mathbf{6}}\mathbf{*}\frac{{\mathbf{v}_{\mathbf{3}}}^{\mathbf{2}}}{\mathbf{2*g}}\mathbf{=}\mathbf{2}\mathbf{,}\mathbf{026m}\mathbf{=}\mathbf{2026mm}$

10 Straty na czwartym odcinku: $\mathbf{\text{hd}}\mathbf{l}\mathbf{=}\frac{\mathbf{\lambda}_{\mathbf{4}}\mathbf{*}\mathbf{l}_{\mathbf{4}}}{\mathbf{d}_{\mathbf{4}}}\mathbf{*}\frac{{\mathbf{v}_{\mathbf{4}}}^{\mathbf{2}}}{\mathbf{2*g}}\mathbf{=}\mathbf{0}\mathbf{,}\mathbf{004m}\mathbf{=}\mathbf{4}\mathbf{\text{mm}}$