PROJEKT HYDRAULIKA

Radosław Kręwicki, gr. 2, rok I

Dane do zadania:

H = 3m – wysokość wody w naczyniu, z naczynia ciecz wypływa bezpośrednio do przewodów

ζ₁=0,5 – strata lokalna wywołana wlotem cieczy do przewodu z naczynia o ostrych krawędziach

d₁=50mm - średnica pierwszego przewodu

l₁=100cm - długość pierwszego przewodu

ζ₂=3,9 – strata na zaworze wzniosowym grzybkowym normalnym

d₂=60mm - średnica drugiego przewodu

l₂=80cm - długość drugiego przewodu

d₃=30mm - średnica trzeciego przewodu

l₃= 90cm – długość trzeciego przewodu

d₄=90mm - średnica czwartego przewodu

l₄=60cm – długość czwartego przewodu

T wody = 15[C] => $\mathbf{\nu}\mathbf{=}\mathbf{1}\mathbf{,}\mathbf{146*}\mathbf{10}^{\mathbf{- 6}}\frac{\mathbf{m}^{\mathbf{2}}}{\mathbf{s}}$

k = 0, 04mm – chropowatość bezwzględna

Obliczenia

Obliczenie pól każdego z przekrojów

$$A = \frac{\pi*d^{2}}{4} = \pi*r^{2}$$

A₁ = 1962, 5 mm²

A₂ = 2826 mm²

A₃ = 706, 5 mm²

A₄ = 6358, 5mm²

Obliczenia współczynników ζ strat lokalnych ( krzywak rurowy, rozszerzenie, łuk kołowy, przewężenia)

Straty przy nagłym zmniejszeniu przekroju:

$\mathbf{\zeta}\mathbf{=}\frac{\mathbf{0}\mathbf{,}\mathbf{0756}}{\mathbf{\mu}^{\mathbf{2}}} + {(\frac{1}{\mu} - 1)}^{2}$, gdzie μ jest funkcją pól powierzchni przekroi powierzchni przekrojów, pole mniejszego przekroju podzielone przez pole większego przekroju

ζ₄=0,3868

Straty przy nagłym zwiększeniu przekroju:

$$\mathbf{\zeta}\mathbf{=}{\mathbf{(}\frac{\mathbf{A}_{\mathbf{d}}}{\mathbf{A}_{\mathbf{g}}}\mathbf{- 1}\mathbf{)}}^{\mathbf{2}}$$

ζ₃=0, 04

ζ₆=4

Starty na łuku kołowym ( kolano ):

$$\mathbf{\zeta}\mathbf{= \lbrack}\mathbf{0}\mathbf{,}\mathbf{131}\mathbf{+}\mathbf{1}\mathbf{,}\mathbf{847*}\left( {\frac{\mathbf{r}}{\mathbf{R}}\mathbf{)}}^{\mathbf{3}\mathbf{,}\mathbf{5}} \right\rbrack\mathbf{*}\left( \frac{\mathbf{\varphi}}{\mathbf{90}} \right)$$

R = 20cm r = 30mm φ=45

$$\mathbf{\zeta}_{\mathbf{5}}\mathbf{= \lbrack}\mathbf{0}\mathbf{,}\mathbf{131}\mathbf{+}\mathbf{1}\mathbf{,}\mathbf{847*}\left( {\frac{\mathbf{r}}{\mathbf{R}}\mathbf{)}}^{\mathbf{3}\mathbf{,}\mathbf{5}} \right\rbrack\mathbf{*}\left( \frac{\mathbf{\varphi}}{\mathbf{90}} \right)\mathbf{=}\mathbf{0,133}$$

3. Wyprowadzenie wzorów na prędkości w przewodach

Z równania natężenia przepływu możemy wyznaczyć prędkości w konkretnych odcinkach przewodu

Q = A₁ * v₁ = A₂ * v₂ = A₃ * v₃ = A₄ * v₄

v₁ = (A₄ * v₄)/A₁

v₂ = (A₄ * v₄)/A₂

v₃ = (A₄ * v₄)/A₃

Następnie korzystamy z równania Bernoulliego:

$z_{1} + \frac{\text{pa}}{\gamma} + \frac{\alpha*v^{2}}{2*g} = z_{2} + \frac{\text{pa}}{\gamma} + \frac{\alpha*{v_{4}}^{2}}{2*g}$+Σhstr, gdzie z₁ = H, $\frac{\alpha*v^{2}}{2*g}$=0, ponieważ ciecz w zbiorniku nie płynie, z₂ = 0, a Σhstr jest to suma wszystkich strat, które napotkała ciecz od momentu opuszczenia zbiornika do końca ostatniego przewodu. Uwzględniając w.w. własności, równanie możemy przedstawić tak (zakładamy ruch burzliwy, dla którego α=1):

H= $\frac{{{\alpha*v}_{4}}^{2}}{2*g}*(\left( \frac{\lambda_{4}*l_{4}}{d_{4}} \right) + \left( \frac{\lambda_{1}*l_{1}}{d_{1}} \right)*\left( \frac{A_{4}}{A_{1}} \right)^{2} + \left( \frac{\lambda_{2}*l_{2}}{d_{2}} \right)*\left( \frac{A_{4}}{A_{2}} \right)^{2} + \left( \frac{\lambda_{3}*l_{3}}{d_{3}} \right)*\left( \frac{A_{4}}{A_{3}} \right)^{2} + \mathbf{\zeta}_{\mathbf{1}}\mathbf{*}\left( \frac{A_{4}}{A_{1}} \right)^{2} + \mathbf{\zeta}_{\mathbf{2}}\mathbf{*}\left( \frac{A_{4}}{A_{2}} \right)^{2} + \mathbf{\zeta}_{\mathbf{3}}\mathbf{*}\left( \frac{A_{4}}{A_{1}} \right)^{2}{\mathbf{+}\mathbf{\zeta}}_{\mathbf{4}}\mathbf{*}\left( \frac{A_{4}}{A_{2}} \right)^{2}\mathbf{+}\mathbf{\zeta}_{\mathbf{5}}\mathbf{*}\left( \frac{A_{4}}{A_{3}} \right)^{2} + \mathbf{\zeta}_{\mathbf{6}}\mathbf{*}\left( \frac{A_{4}}{A_{3}} \right)^{2})$

Wyznaczamy v₄ z równania

$$v_{4} = \sqrt{(2*g*H)/(\alpha*\left( \frac{\lambda_{4}*l_{4}}{d_{4}} \right) + \left( \frac{\lambda_{1}*l_{1}}{d_{1}} \right)*\left( \frac{A_{4}}{A_{1}} \right)^{2} + \left( \frac{\lambda_{2}*l_{2}}{d_{2}} \right)*\left( \frac{A_{4}}{A_{2}} \right)^{2} + \left( \frac{\lambda_{3}*l_{3}}{d_{3}} \right)*\left( \frac{A_{4}}{A_{3}} \right)^{2} + \mathbf{\zeta}_{\mathbf{1}}\mathbf{*}\left( \frac{A_{4}}{A_{1}} \right)^{2} + \mathbf{\zeta}_{\mathbf{2}}\mathbf{*}\left( \frac{A_{4}}{A_{2}} \right)^{2} + \mathbf{\zeta}_{\mathbf{3}}\mathbf{*}\left( \frac{A_{4}}{A_{1}} \right)^{2}\mathbf{+ \zeta}_{\mathbf{4}}\mathbf{*}\left( \frac{A_{4}}{A_{2}} \right)^{2}\mathbf{+}\mathbf{\zeta}_{\mathbf{5}}\mathbf{*}\left( \frac{A_{4}}{A_{3}} \right)^{2} + \mathbf{\zeta}_{\mathbf{6}}\mathbf{*}\left( \frac{A_{4}}{A_{3}} \right)^{2}))\ }$$

W calu dalszego obliczenia prędkości w poszczególnych przewodach musimy najpierw wyznaczyć współczynnik oporów liniowych (Corriolisa). Robimy to licząc najpierw chropowatość względna (ε), a następnie korzystamy z wykresu zależności współczynnika oporów liniowych od chropowatości względnej.

$$\varepsilon = \frac{k}{d}$$

$$\varepsilon_{1} = \frac{k}{d_{1}} = \frac{0,04}{50} = 8*10^{- 4} = > \lambda_{1} = 0,019$$

$$\varepsilon_{2} = \frac{k}{d_{2}} = \frac{0,04}{60} = 6,6*10^{- 4} = > \lambda_{2} = 0,017$$

$$\varepsilon_{3} = \frac{k}{d_{3}} = \frac{0,04}{30} = 1,3*10^{- 3} = > \lambda_{3} = 0,022$$

$$\varepsilon_{4} = \frac{k}{d_{4}} = \frac{0,04}{90} = 4,4*10^{- 4} = > \lambda_{4} = 0,018$$

Wracając do równania Bernoulliego i podstawiając wyliczone współczynniki λ możemy wyznaczyć prędkość v₄, a następnie prędkości we wszystkich przewodach z zależności wynikających ze stałego natężenia przepływu.

$$v_{4} = 0,375\frac{m}{s}$$

$$v_{1} = \frac{A_{4}*v_{4}}{A_{1}} = \frac{6,358*0,351}{1,962} = 1,21\frac{m}{s}$$

$$v_{2} = \frac{A_{4}*v_{4}}{A_{2}} = \frac{6,358*0,351}{2,826} = 0,84\frac{m}{s}$$

$$v_{3} = \frac{A_{4}*v_{4}}{A_{3}} = \frac{6,358*0,351}{0,706} = 3,37\frac{m}{s}$$

4. Obliczenia natężenia przepływu

Znając prędkości przepływu cieczy w przewodach możemy obliczyć jego natężenie (liczymy tylko dla jednego przewodu, ponieważ jest on taki sam dla każdego przewodu z osobna)

$$Q = A*v = 6,358*0,351 = 2,38\frac{m^{3}}{s}$$

5. Obliczenia liczby Reynoldsa

Liczymy liczbę Reynoldsa, aby upewnić się czy nasz ruch jest na pewno burzliwy

$$\text{Re} = \frac{v*d}{\mathbf{\nu}}$$

$$\text{Re}_{1} = \frac{1,21*0,05}{\mathbf{1}\mathbf{,}\mathbf{146}\mathbf{*}\mathbf{10}^{\mathbf{-}\mathbf{6}}}\mathbf{=}\mathbf{52792,3211169}\mathbf{>}\mathbf{10}^{\mathbf{4}}$$

$$\text{Re}_{2} = \frac{0,79*0,06}{\mathbf{1}\mathbf{,}\mathbf{146}\mathbf{*}\mathbf{10}^{\mathbf{-}\mathbf{6}}}\mathbf{=}\mathbf{43979,0575916}\mathbf{>}\mathbf{10}^{\mathbf{4}}$$

$$\text{Re}_{3} = \frac{3,16*0,03}{\mathbf{1}\mathbf{,}\mathbf{146}\mathbf{*}\mathbf{10}^{\mathbf{-}\mathbf{6}}}\mathbf{=}\mathbf{88219,8952879}\mathbf{>}\mathbf{10}^{\mathbf{4}}$$

$$\text{Re}_{4} = \frac{0,351*0,09}{\mathbf{1}\mathbf{,}\mathbf{146}\mathbf{*}\mathbf{10}^{\mathbf{-}\mathbf{6}}}\mathbf{=}\mathbf{29450,26178010}\mathbf{>}\mathbf{10}^{\mathbf{4}}$$

Liczba Reynoldsa w każdym przypadku jest większa od 10000, a więc mamy pewność, że w przyjętym α = 1, nie ma błędu, ponieważ ruch burzliwy jest gdy liczba Reynoldsa przekracza 10000 ( w labolatorium 4000).

6. Obliczenia strat lokalnych i na długości

1 Straty lokalne na wlocie:

hlok= $\mathbf{\zeta}_{1}\mathbf{*}\frac{{\mathbf{v}_{\mathbf{1}}}^{\mathbf{2}}}{\mathbf{2*g}}\mathbf{=}\mathbf{0}\mathbf{,}\mathbf{037}\mathbf{=}\mathbf{37}\mathbf{\ }\mathbf{\text{mm}}$

2 Straty na pierwszym odcinku:

$$hdl = \frac{\lambda_{1}*l_{1}}{d_{1}}*\frac{{\mathbf{v}_{\mathbf{1}}}^{\mathbf{2}}}{\mathbf{2*g}}\mathbf{=}\mathbf{0}\mathbf{,\ }\mathbf{280m}\mathbf{=}\mathbf{280mm}$$

3 Straty na pierwszym poszerzeniu przewodu:

hlok= $\mathbf{\zeta}_{3}\mathbf{*}\frac{{\mathbf{v}_{\mathbf{1}}}^{\mathbf{2}}}{\mathbf{2*g}}\mathbf{=}\mathbf{0}\mathbf{,}\mathbf{003m}\mathbf{=}\mathbf{3mm}$

4 Straty na drugim odcinku:

$$hdl = \frac{\lambda_{2}*l_{2}}{d_{2}}*\frac{{\mathbf{v}_{\mathbf{2}}}^{\mathbf{2}}}{\mathbf{2*g}}\mathbf{=}\mathbf{0}\mathbf{,}\mathbf{008m}\mathbf{=}\mathbf{8mm}$$

5 Straty na zaworze znajdującym się na drugim odcinku:

hlok= $\mathbf{\zeta}_{2}\mathbf{*}\frac{{\mathbf{v}_{\mathbf{2}}}^{\mathbf{2}}}{\mathbf{2*g}}\mathbf{=}\mathbf{0}\mathbf{,}\mathbf{140m}\mathbf{=}\mathbf{140}\mathbf{\ }\mathbf{\text{mm}}$

6 Straty na przewężeniu przewodu:

hlok= $\mathbf{\zeta}_{4}\mathbf{*}\frac{{\mathbf{v}_{\mathbf{2}}}^{\mathbf{2}}}{\mathbf{2*g}}\mathbf{=}\mathbf{0}\mathbf{,}\mathbf{013}\mathbf{\ }\mathbf{m}\mathbf{=}\mathbf{13}\mathbf{\ }\mathbf{\text{mm}}$

7 Straty na trzecim odcinku:

$$hdl = \frac{\lambda_{3}*l_{3}}{d_{3}}*\frac{{\mathbf{v}_{\mathbf{3}}}^{\mathbf{2}}}{\mathbf{2*g}}\mathbf{=}\mathbf{0}\mathbf{,}\mathbf{382m}\mathbf{=}\mathbf{382mm}$$

8 Straty na łuku kołowym

hlok= $\mathbf{\zeta}_{3}\mathbf{*}\frac{{\mathbf{v}_{\mathbf{3}}}^{\mathbf{2}}}{\mathbf{2*g}}\mathbf{=}\mathbf{0}\mathbf{,}\mathbf{023m}\mathbf{=}\mathbf{23mm}$

9 Straty na drugim poszerzeniu:

hlok= $\mathbf{\zeta}_{6}\mathbf{*}\frac{{\mathbf{v}_{\mathbf{3}}}^{\mathbf{2}}}{\mathbf{2*g}}\mathbf{=}\mathbf{2}\mathbf{,}\mathbf{315m}\mathbf{=}\mathbf{2315mm}$

10 Straty na długości:

hdl= $\mathbf{\zeta}_{6}\mathbf{*}\frac{{\mathbf{v}_{\mathbf{3}}}^{\mathbf{2}}}{\mathbf{2*g}}\mathbf{=}\mathbf{2}\mathbf{,}\mathbf{315m}\mathbf{=}\mathbf{2315mm}$