Laboratorium Biomechaniki

Badania reologiczne przy wykorzystaniu metody dwuakcelerometrycznej

1. Cel ćwiczenia

Celem ćwiczenia jest zapoznanie się z metodą dwuakcelerometryczną pomiaru sztywności i współczynnika tłumienia na wybranych materiałach

1. Wstęp Teoretyczny

Układy wibrujące spotykane na co dzień rzadko są wzbudzane przez przyłożoną w jednym punkcie siłę harmoniczną lecz aby zrozumieć i analizować bardziej złożone układy, należy najpierw poznać reakcję układów na najprostsze formy wzbudzenia. Najbardziej przydatną wiedzą w zadaniach kontrolowania wibracji jest świadomość co i gdzie przyłożyć do układu, aby zminimalizować jego drgania.

Podatność materiału to złożona reakcja na jednostkową siłę harmoniczną. Dokładniej – jest to harmoniczne przemieszczenie lub obrót pod wpływem przyłożonej rzeczywistej siły lub momentu.

Bezpośrednia podatność w danym punkcie układu to przemieszczenie harmoniczne tego punktu pod wpływem rzeczywistej siły jednostkowej harmonicznej przyłożonej w tym punkcie w kierunku przemieszczenia.

Podatność przenoszenia to przemieszczenie harmoniczne danego punktu pod wpływem przyłożonej rzeczywistej jednostkowej siły harmonicznej przyłożonej w innym punkcie.

a_rs – przemieszczenie w punkcie r pod wpływem rzeczywistej jednostkowej siły harmonicznej przyłożonej w punkcie s

a_rr, a_ss – podatność bezpośrednia

Podatność krzyżowa to harmoniczna reakcja jednego typu (np. przemieszczenia) w jednym punkcie pod wpływem (w przypadku przemieszczenia) momentu przyłożonego w tym samy lub innym punkcie. Dla oznaczenia Bishop’a i Johnson’a obrót w punkcie r pod wpływem siły przyłożonej do punktu s to a_r’s, zaś przemieszczenie w punkcie r pod wpływem momentu przyłożonego w punkcie s to a_rs’.

Sztywność dynamiczna układu wibrującego to wielkość odwrotna do podatności i jest to siła harmoniczna potrzebna do wywołania jednostkowego przemieszczenia.

Sztywność dynamiczna przenoszenia to siła harmoniczna przyłożona w punkcie s potrzebna do wywołania jednostkowego przemieszczenia punktu r.

Symbolem ogólnym stosowanym do określenia sztywności dynamicznej jest DS_sr – pierwszy indeks to miejsce przyłożenia siły, drugi to punkt, który pod wpływem tej siły się przemieścił.

$$\mathbf{\text{DS}}_{\mathbf{\text{sr}}}\mathbf{=}\frac{\mathbf{1}}{\mathbf{\alpha}_{\mathbf{\text{rs}}}}$$

Bezpośrednia sztywność dynamiczna to uogólniona siła harmoniczna przyłożona w jednym punkcie potrzebna do wywołania jednostkowego przemieszczenia harmonicznego w tym punkcie przyłożenia.

$$\mathbf{\text{DS}}_{\mathbf{\text{ss}}}\mathbf{=}\frac{\mathbf{1}}{\mathbf{\alpha}_{\mathbf{\text{ss}}}}\mathbf{\text{\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ lub\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ }}\mathbf{\text{DS}}_{\mathbf{\text{rr}}}\mathbf{=}\frac{\mathbf{1}}{\mathbf{\alpha}_{\mathbf{\text{rr}}}}$$

Krzyżowa sztywność dynamiczna to uogólniony moment harmoniczny przyłożony w punkcie s potrzebny do wywołania jednostkowego przemieszczenia w punkcie r lub analogicznie moment przyłożony w punkcie r potrzebny do wywołania przemieszczenia w punkcie s.

$$\mathbf{\text{DS}}_{\mathbf{s'r}}\mathbf{=}\frac{\mathbf{1}}{\mathbf{\alpha}_{\mathbf{rs'}}}\mathbf{\text{\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ lub}}\mathbf{\text{\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ DS}}_{\mathbf{sr'}}\mathbf{=}\frac{\mathbf{1}}{\mathbf{\alpha}_{\mathbf{r's}}}\mathbf{\text{\ \ \ \ \ \ \ }}$$

Ruchliwość układu wibrującego jest definiowana jako harmoniczna prędkość przemieszczenia (obrotu) wywołana jednostkową rzeczywistą siłą harmoniczną (momentem). Dla uogólnionego przemieszczenia harmonicznego $\mathbf{w =}\overline{\mathbf{w}}\exp\left( \mathbf{\text{iωt}} \right)$ uogólniona prędkość harmoniczna wynosi $\dot{\mathbf{w}}\mathbf{= i\omega w}$.

Uogólniona prędkość harmoniczna pod wpływem jednostkowej siły harmonicznej (ruchliwość) jest iω razy większa od uogólnionego przemieszczenia pod wpływem przyłożonej jednostkowej siły harmonicznej.

Ruchliwość określana jest jako M_rs, gdzie r to punkt, w którym mierzona jest prędkość a s to punkt przyłożenia siły.

M_rs=iωα_rs   ,    M_rr=iωα_rr

Impedancja układu wibrującego to odwrotność ruchliwości i rozumie się ją jako uogólnioną siłę harmoniczną (moment) potrzebną do wywołania przemieszczenia (obrotu) z jednostkową prędkością harmoniczną. Oznaczana literą Z z indeksami analogicznymi do indeksów sztywności dynamicznej.

Uogólniona przyspieszalność lub bezwładność układu wibrującego definiowane jest jako uogólnione harmoniczne przyspieszenie wywołane przez jednostkową rzeczywistą siłę. Ponieważ przyspieszenie harmoniczne jest o –ω² razy większe od przemieszczenia, to uogólniona przyspieszalność jest również o –ω² razy większa od podatności. Odwrotnością przyspieszalności jest masa zredukowana, czyli uogólniona siła potrzebna do wywołania rzeczywistego jednostkowego przyspieszenia.

1. Opracowanie metody

Omawiana metoda jest metodą pośrednią polegającą na znalezieniu funkcji przejścia między przebiegiem wymuszającym a przebiegiem będącym odpowiedzią na to wymuszenie. Dzięki temu można wyznaczyć sztywność materiałów np. biologicznych jak tkanki lub materiałów mających pracować w środowisku organizmu ludzkiego. Przeprowadzenie pomiaru przedstawia poniższy schemat:

Rysunek . Model wyjaśniający ideę pośredniej metody wyznaczania sztywności dynamicznej.

1 – wymuszenie kinematyczne

2 – próbka badanego materiału

3 – obciążenie w postaci masy M

Obydwa przebiegi będą względem siebie przesunięte w fazie (wynika to z własności mechanicznych materiału) jak i będą się różnić amplitudami, co w sposób pośredni posłuży do wyznaczenia sztywności k.

Do znalezienia zależności badaną próbkę rozpatrywać należy jako element sprężysty k i rozpraszający b. Analizowany w ćwiczeniu model zakłada równoległe połączenie elementu sprężystego i tłumiącego (model Kelvina):

Rysunek . Model obliczeniowy metody dwuakcelerometrycznej(model Kelvina).

1 – wymuszenie kinematyczne

2 – obciążenie w postaci masy M

1. Wyznaczenie sztywności k układu

Równanie ruchu masy M:

$$\mathbf{M}\ddot{\mathbf{x}}\mathbf{+ b}\dot{\mathbf{x}}\mathbf{+ kx = k}\mathbf{x}_{\mathbf{0}}\mathbf{+ b}\dot{\mathbf{x}_{\mathbf{0}}}$$

Pamiętając o zależnościach:

$$x = Asin\omega t\ \ \ \ \ \dot{x} = A\omega cos\omega t\ \ \ \ \ \ \ddot{x} = - A\omega^{2}\text{sinωt}$$

$$\frac{d}{\text{dt}} \rightarrow j\omega$$

$$\frac{d^{2}}{dt^{2}} \rightarrow - \omega^{2}$$

Dochodzimy do postaci zespolonej:

−Mω²X + jωbX + kX = kX₀ + jωbX₀

Wyznaczamy transmitancję:

$$\frac{X}{X_{0}} = \frac{k + j\omega b}{k - M\omega^{2} + j\omega b}$$

$$\frac{X}{X_{0}} = T = \ \left| T \right|(cos\varphi + jsin\varphi)$$

Przyrównujemy i wyliczamy:

$$\left| \mathbf{T} \right|\mathbf{cos\varphi + j}\left| \mathbf{T} \right|\mathbf{sin\varphi =}\frac{\mathbf{k + j\omega b}}{\mathbf{k - M}\mathbf{\omega}^{\mathbf{2}}\mathbf{+ j\omega b}}$$

k|T|cosφ − Mω²|T|cosφ + jωb|T|cosφ + jk|T|sinφ − jMω²|T|sinφ − ωb|T|sinφ = k + jωb

k(|T|cosφ + j|T|sinφ − 1)=Mω²|T|cosφ + ωb|T|sinφ − jωb|T|cosφ + jMω²|T|sinφ + jωb

Z powyższego przekształcenia wyliczamy sztywność k:

$$k = \frac{M\omega^{2}\left| T \right|cos\varphi + \omega b\left| T \right|sin\varphi - j\omega b\left| T \right|cos\varphi + jM\omega^{2}\left| T \right|sin\varphi + j\omega b}{\left| T \right|cos\varphi + j\left| T \right|sin\varphi - 1} \bullet \frac{\left| T \right|cos\varphi - 1 - j\left| T \right|\text{sinφ}}{\left| T \right|cos\varphi - 1 - j\left| T \right|\text{sinφ}}$$

$$k = \frac{M\omega^{2}\left| T \right|^{2}\cos^{2}\varphi - M\omega^{2}\left| T \right|cos\varphi - jM\omega^{2}\left| T \right|^{2}sin\varphi cos\varphi + \omega b\left| T \right|^{2}sin\varphi cos\varphi - \omega b\left| T \right|sin\varphi - j\omega b\left| T \right|^{2}\sin^{2}\varphi}{\left| T \right|^{2}\cos^{2}\varphi - 2\left| T \right|cos\varphi + 1 + \left| T \right|^{2}\sin^{2}\varphi} +$$

$$+ \frac{- j\omega b\left| T \right|^{2}\cos^{2}\varphi + j\omega b\left| T \right|cos\varphi - \omega b\left| T \right|^{2}sin\varphi cos\varphi + jM\omega^{2}\left| T \right|^{2}sin\varphi cos\varphi - jM\omega^{2}\left| T \right|sin\varphi + M\omega^{2}\left| T \right|^{2}\sin^{2}\varphi}{\left| T \right|^{2}\cos^{2}\varphi - 2\left| T \right|cos\varphi + 1 + \left| T \right|^{2}\sin^{2}\varphi} +$$

$$+ \frac{\text{jωb}\left| T \right|cos\varphi - j\omega b + \omega b\left| T \right|\text{sinφ}}{\left| T \right|^{2}\cos^{2}\varphi - 2\left| T \right|cos\varphi + 1 + \left| T \right|^{2}\sin^{2}\varphi}$$

Ostatecznie:

$$k = \frac{M\omega^{2}\left| T \right|^{2} - M\omega^{2}\left| T \right|cos\varphi - j\omega b\left| T \right|^{2} + 2j\omega b\left| T \right|cos\varphi - jM\omega^{2}\left| T \right|sin\varphi - j\omega b}{\left| T \right|^{2} - 2\left| T \right|cos\varphi + 1}$$

W zagadnieniu interesuje nas tylko część rzeczywista, więc pomijamy część urojoną:

$$\mathbf{k =}\frac{\mathbf{M}\mathbf{\omega}^{\mathbf{2}}\left| \mathbf{T} \right|^{\mathbf{2}}\mathbf{- M}\mathbf{\omega}^{\mathbf{2}}\left| \mathbf{T} \right|\mathbf{\text{cosφ}}}{\left| \mathbf{T} \right|^{\mathbf{2}}\mathbf{- 2}\left| \mathbf{T} \right|\mathbf{cos\varphi + 1}}$$

1. Wyznaczenie współczynnika tłumienia wiskotycznego b układu:

Opierając się na tych samych zależnościach i kierując się analogicznymi obliczeniami, co przy obliczaniu sztywności k układu obliczamy:

$$b = \frac{- 2k\omega\left| T \right|cos\varphi - M\omega^{3}\left| T \right|sin\varphi + j(k\omega + k\omega\left| T \right|^{2} - M\omega^{3}\left| T \right|^{2} + M\omega^{3}\left| T \right|\text{cosφ}}{\omega^{2}(\left| T \right|^{2} - 2\left| T \right|cos\varphi + 1)}$$

Zostawiając tylko część rzeczywistą rozwiązania:

$$\mathbf{b =}\frac{\mathbf{- 2}\mathbf{k}\mathbf{\omega}\left| \mathbf{T} \right|\mathbf{cos\varphi - M}\mathbf{\omega}^{\mathbf{3}}\left| \mathbf{T} \right|\mathbf{\text{sinφ}}}{\mathbf{\omega}^{\mathbf{2}}\mathbf{(}\left| \mathbf{T} \right|^{\mathbf{2}}\mathbf{- 2}\left| \mathbf{T} \right|\mathbf{cos\varphi + 1)}}$$

1. Przebieg ćwiczenia

1. Częstotliwość pracy wzbudnika ustawiamy poprzez zadanie odpowiedniej wartości w programie TestToneGenerator i wciśnięcie przycisku ON. Amplitude modyfikujemy za pomocą pokrętła zlokalizowanego na wzmacniaczu po prawej stronie

2. Do wizualizacji zebranych pomiarów wartości przyspieszenia służy oprogramowanie w LV. Interfejs użytkownika posiada dwie zakładki: Configure oraz Measure. W zakładce Configure można ustawić częstotliwość próbkowania(tak aby spełnione było twierdzenie Nyquista). W zakładce Measure dokonujemy właściwego pomiaru. Wykresy Y_a i Y_b przedstawiają kolejno przyspieszenia w osi pionowej dla wzbudnika oraz masy dociskającej próbkę. Wykres w części środkowej przedstawia zależność przebiebu Y_b do Y_a, który pozwala na wyznaczenie przesunięcia fazowego metodą Lissajus. Pomiarów danych na wyjściu akcelerometru dokonujemy poprzez wciśnięcie przycisku Start pomiaru.

3. Należy dokonać pomiarów dla każdej z zaprezentowanych próbek dla częstotliwości wzbudzenia 5, 10, 20, 50, 100 i 250 Hz. Zaobserwować zmianę zachowania próbek dla różnych częstotliwości.

4. Wyznaczyć moduł transmitancji oraz przesunięcie fazowe w każdym z uzyskanych wyników.

5. Wyznaczyć sztywność k układu dla każdego z materiałów. Czy wartość współczynnika zmienia się wraz ze zmianą pulsacji?

6. Wyznaczyć współczynnik tłumienia wiskotycznego b układu dla każdego z materiałów. Czy wartość współczynnika zmienia się wraz ze zmianą pulsacji?

1. Zagadnienia do opracowania

1. Dwuakcelerometryczna metoda pomiaru

2. Pulsacja

3. Przesunięcie fazowe

4. Krzywa Lissajus

5. Transmitancja

6. Akcelerometr

7. Współczynnik tłumienia i sztywność(ogólnie co opisuje).

1. Opracowanie wyników

Po pozyskaniu danych ze stanowiska pomiarowego (przebiegi sygnału wzbudzenia i sygnału reakcji) należy znaleźć moduł transmitancji rozpatrywanego układu jak i przesunięcie fazowe między otrzymanymi sygnałami.

W ramach ukazania procesu analizy danych w przykładzie posłużono się wzorcowymi przebiegami sinusoidalnymi przesuniętymi w fazie o 45° i różniącymi się amplitudą.

Rysunek . Wzorcowy przebieg sinusoidalny x1(t) = sin(ωt).

Rysunek . Wzorcowy przebieg sinusoidalny x2(t) = 3sin(ωt + π/4).

Jedną z metod która pozwala na szybkie i wygodne wyznaczenie wartości przesunięcia fazowego jest tzw. krzywa Lissajus, czyli zależności przebiegu x₂ od przebiegu x₁.

Rysunek . Wykres zależności przebiegu x₂ od przebiegu x₁. Na wykresie dobrze widoczna jest amplituda obu sygnałów(A₂ to odległość od 0 w osi pionowej, A₁ to odległość od zera w osi poziomej)

Kąt przesunięcia fazowego obliczamy dla momentu t = 0, więc:

x₁ = 0

x₂ = A₂sinφ

Wartości A₂ oraz x₂  odczytujemy z wykreślonego przebiegu:

$$\varphi = arcsin\frac{x_{2}}{A_{2}} = arcsin\frac{2,13}{3} = 45,23$$

Obliczenie modułu transmitancji na podstawie wykresów przebiegów:

$$\left| T \right| = \frac{\left| A_{2} \right|}{\left| A_{1} \right|} = 3$$

1. Sprawozdanie

W sprawozdaniu należy umieścić opis przebiegu wykonanego ćwiczenia oraz tabelę zawierającą wyznaczone współczynniki k i b dla wszystkich próbek dla zmierzonych częstotliwości. Opisać jak zmieniają się współczynniki wraz ze zmianą częstotliwości?