Spójniki zdaniowe:
negacja <nieprawda, że p> ~p lub ¬p;
alternatywa <p lub q> pVq;
koniunkcja <p i q> p^q;
implikacja <jeśli p to q> p => q;
równoważność <p wtedy i tylko wtedy gdy q> pq

Tautologia (prawo) rachunku zdań: to wyrażenie rachunku zdań z którego zawsze otrzymamy zdanie prawdziwe niezależnie od wartości podstawionych w miejsca zmiennych.

Podstawowe tautologie:
prawo przemienności (pVq)(qVp) (p^q)(q^p);
prawo łączności (pV(qVr))((pVq)Vr); (p^(q^r))(p^q)^r);
prawo rozdzielności (p^(qVr))((p^q)V(p^r));
prawa deMorgana (~(pVq))((~p)^(~q)); (~(p^q))((~p)V(~q));
prawo zaprzeczenia implikacji (~(p=>q))(pΛ(~q));
prawo kontrapozycji (transpozycji) (p=>q)((~q)=>(~p)).

Prawa deMorgana dla rachunku kwantyfikatów: ~ ∀_x∈X φ(x)∃_x∈X ~φ(x);
~∃_x∈X φ(x) ∀_x∈X ~φ(x).

Prawa przestawienia: ∀_x∈X ∀_y∈Y φ(x,y) ∀_y∈Y ∀_x∈X φ(x,y);
∃_x∈X ∃ _y∈Y φ(x,y)∃ _y∈Y ∃_x∈X φ(x,y);
∃_x∈X ∀_y∈Y φ(x,y) ∀_y∈Y ∃_x∈X φ(x,y).

Inkluzja (zawieranie się)zbiorów: (AcB), gdy ∀_x∈A(x∈B).
Równość zbiorów: (A=B), gdy A_x (x∈Ax∈B).

Działania na zbiorach:
suma A∪B={x: x∈A V x∈B};
iloczyn A∩B={x: x∈A Λ x∈B};
różnica A\B={x: x∈A Λ x∉B};

Własności działań na zbiorach(prawo rachunku zdań):
prawa przemienności A∪B=B∪A, A∩B=B∩A;
prawa łączności A∪(B∪C)=(A∪B) ∪C; A∩(B∩C)=(A∩B) ∩C;
prawa rozdzielności A∩(B∪C)=(A∩B)∪(A∩C); A∪(B∩C)=(A∪B)∩(A∪C);
prawa deMorgana A\(B∪C)=(A\B)∩(A\C); A\(B∩C)=(A\B)∪(A\C).

Dopełnienie zbioru do przestrzeni: A’= X\A jeśli AcX.

Zbiory liczbowe:
naturalny N=[1,2,..];
całkowity Z=[..,-2,-1,0,1,2,..];
parzysty {..,-4,-2,0,2,4,..}={2k:k∈Z};
nieparzysty {..,-3,-1,1,3,..}={2k-1: k∈Z}={2k+1: k∈Z};
wymierny Q={p/q: p∈Z, q∈N};
NcZcQ;
niewymierny IQ;
rzeczywisty R=Q∪IQ.

Przedziały na prostej rzeczywistej:
otwarty (a,b)= {x∈R: a<x<b};
domknięty [a,b]={ x∈R: a≤x≤b};
L otwarty P domknięty (a,b]= { x∈R: a<x≤b};
L domknięty P otwarty [a,b)= x∈R: a≤x<b}.

Iloczyn kartezjański A×B zbioru AiB nazywamy zbiór {(x,y): x∈A Λ y∈B}.
Zbiór wartości(przeciwdziedzina)funkcji f: V_f ={y∈Y: ∃ _x∈X(y=f(x))}.
Wykres funkcji: f: X→Y to Gr f={(x,y): x∈X Λ y=f(x)}.
Funkcja NA (na): funkcja f odwzorowuje zbiór X na zbiór Y gdy Y=V_f.
Równość funkcji: f: X→Y = g: X→Y gdy ∀_x∈X(f(x)=g(x)).
Funkcja stała: f: X→Y określa się wzorem ∀_x∈X (f(x)=y₀) dla y₀∈Y.
Funkcja identycznościowa (id lub id_x): f: X→Y określa się wzorem ∀_x∈X (f(x)=x).
Funkcja różnowartościowa(1−1): f: X→Y określa się wzorem ∀_x1,x2∈X (x₁≠ x₂ => f(x₁) ≠ f(x₂)).
Funkcja złożona: : niech f: X→Y, g: Y→X; funkcję g• f: X→Z określamy wzorem(g•f)(x)=g(f(x)), x∈X
Funkcja złożona istnieje wtedy i tylko wtedy, gdy zbiór wartości funkcji wewnętrznej, zawiera się w dziedzinie funkcji zewnętrznej.

Interpretacja geometryczna obrazu zbioru poprzez funkcję: jeśli X,YcR i f: X→Y, to obrazem zbioru AcX poprzez funkcję f jest rzut części wykresu funkcji f odpowiadającej zbiorowi A na oś rzędnych (Oy).
Interpretacja geometryczna przeciwobrazu zbioru poprzez funkcję: jeśli X,YcR i f: X→Y, to obrazem zbioru CcY poprzez funkcję f jest rzut części wykresu funkcji f odpowiadającej zbiorowi C na oś odciętych (Ox).

Funkcja odwrotna: Funkcję f ^-1: Y→X nazywamy funkcją odwrotną do funkcji f: X→Y,
gdy Y=f(X); X=f ^-1(Y);
∀_x∈X (f ^-1(f(x))=x).
O istnieniu funkcji odwrotnej: dla każdej funkcji f: X→Y (na,1-1) istnieje jedna funkcja odwrotna
f ^-1 :Y→X(na,1-1).
O funkcji odwrotnej: jeśli f ^-1 :Y→X jest funkcją odwrotną f: X→Y, to
f: X→Y (na,1-1); f ^-1 :Y→X(na,1-1);
∀_x∈X ∀_y∈Y (f ^-1 (y)=xf(x)=y);
f^-1•f=id_Df ; f• f^-1=id_Df-1.
Silnia: 0!=1; 1!=1; n!=(n-1)!∙n, n∈N, n≥2.
Symbol Newtona: niech p∈R, k≥0, wtedy (^p_k)=(p∙(p-1) ∙ … ∙(p-k+1))/k! , k∈N; (^p₀)=1; (^p_k)=0, k>0, k∉N.
Moduł (wartość bezwzględna)liczby rzeczywistej: to funkcja |∙|:R→(na)[0,+∞) określ wzor |x|={x, x≥0; -x, x<0.
Cecha (cz.całkowita): to funk ⌊∙⌋:R→(na)Z określ wzor ⌊x⌋=max{k∈Z: ≤X}, x∈R.
Mantysa (cz. ułamkowa): to funk m: R→(na)[0,1) określ wzorem m(x)= x-⌊x⌋, x∈R.
Potęga o wykładniku naturalnym i całkowitym: a⁰=1, a≠0; a¹=a, a∈R; aⁿ=a^n-1∙a, n∈N, a∈R; a^-n=1/aⁿ, n∈N, a≠0. Pierwiastek arytmetyczny: ⁿ√a=ppⁿ=a, a≥0, p≥0, n∈N.
Logarytm: log_ax=c a^c=x, a>0, a≠1, x>0, c∈R.
Logarytm dziesiętny: log= log₁₀

Element najmniejszy zbioru (minimum): niech AcR, a=minA, gdy a∈AΛ∀_x∈A(a≤x).
Element największy zbioru (maksimum): niech AcR, b=maxA, gdy b∈AΛ∀_x∈A(x≤b).

Zbiór A ograniczony z dołu: gdy ∃_m∈R∀_x∈A (m≤x) dla AcR [m to ogranicz dolne zb. A].
Zbiór A ograniczony z góry: gdy ∃_M∈R∀_x∈A (x≤M) dla AcR [M to ogranicz górne zb. A].
Zbiór A jest ograniczony: gdy jest ograniczony z góry i z dołu.

Kres dolny (infimum): niech AcR bedzię zb. niepustym i ogranicz z dołu. Liczba a∈R to kres dolny zbioru A(a=infA), gdy ∀_x∈A(a≤x)Λ∀_ε>o∃_x∈A(x<a+ε); gdy AcR to zb nieograniczony z dołu to infA=-∞.
Kres górny(supremum): niech AcR bedzię zb. niepustym i ogranicz z góry. Liczba b∈R to kres dolny zbioru A(b=supA), gdy ∀_x∈A(x≤b)Λ∀_ε>o∃_x∈A(b-ε <x); gdy AcR to zb nieograniczony z góry to supA=+∞.
Funk f ograniczona: jest w zbiorze D wtedy gdy jest ograniczona z dołu i z góry w zbiorze D.
Funk monotoniczne(w zbiorze): to funkcje malejące, nierosnące, rosnące, niemalejące w zbiorze.
Funk przedziałami monotoniczna: to taka funk, której dziedzinę można przedstawić w postaci przeliczalnej sumy przedziałów rozłącznych, w których ta funkcja jest zawsze monotoniczna.
Funk parzysta: niech DcR będz zb. symetrycz wzg. zera i f: D→R; wtedy f jest parzysta, gdy ∀_x(f(-x)=f(x)).
Funk nieparzysta: niech DcR będz zb. symetrycz wzg. zera i f: D→R; wtedy f jest nieparzysta, gdy ∀_x(f(-x)=-f(x)).
Funkcja okresowa: niech t≠0, a zb. D∈R niech będzie taki, że ∀_x(x∈D=> x+t∈D), wtedy funk f: D→R jest okresowa w przedziale t, gdy ∀_x∈D(f(x+t)=f(x)).
Wielomian: n∈N∪{0} oraz a₁,a₂,..,a_n∈R, a_n≠0. Funkcję W: R→R okr wzorem W(x)= axⁿ+a_n-1x^n-1+a₁x+a₀, x∈R nazywamy wielomianem zmiennej x stopnia n o współczynnikach a.
Funk wymierna: niech P,Q będą wielomianami oraz D_f ={x∈R: Q(x)≠0}; funkcja f: D_f →R okr wzorem(x)=P(x)/Q(x), x∈D_f to funk wymier.
Funk potęgowa: α∈R; funk f; (0,+∞)→ (0,+∞)okr wzor f(x)=x^α, x>0 to funk potęg o wykład α.
Funk wykładnicza: f: R→(na,1-1)(0,+∞)okr wzor f(x)=a^x, x∈R to funk wykład o podst a dla a∈(0,1)∪(1,∞)
Funk logarytmiczna: funk f: (0,+∞)→(na, 1-1)R okr wzorem f(x)= log_ax, x>0 to funk logarytm o podst a, dla a∈(0,1)∪(1,+∞).
Funk trygonometryczne kąta skierowanego: niech α to miara stopniowa kąta Sierow XOP o wierzchołku w początku ukł. współrz oraz ramieniu początkowym OX i końcowym OP, gdzie P=(x,y)≠(0,0); oznaczamy przez r odl punktu P od pocz ukł współrz; wtedy: sinα=y/r, cosα=x/r, tgα=y/x, ctgα=x/y.
Miara łukowa kąta skierowanego(radian): x=l/r (l-łuk, r-promień).

Funk trygonometrycz zmiennej rzeczywistej: funk sin: R→(na)[1,1] okr wzorem sinx=sin((180°/π)x), x∈R to sinus zmienn rzeczyw; cos: R→(na)[-1,1] okr wzorem cosx=cos((180°/π)x), x∈R to cos zmienn rzeczyw.
Funk cyklometryczne(kołowe): to funk odwrotne do funk trygonom określ na odpowiedn zb.; arcsin: [-1,1]→(na,1-1)[-π/2, π/2]okr wzorem arcsin=(sin|_{[-π/2, π/2]})^-1; arccos: [-1,1] →(na,1-1) [0,π]okr wzorem arccos=(cos|_{[0, π]})^-1
Funk elementarne: to funk stałe, potęg, wykład, logar, trygonom, cyklom oraz takie które można otrzymać z powyższych funkcji za pomocą skończonej liczby działań arytmetycz i operacji składania funkcji.
Ciąg rzeczywisty: to funk f: N→R; wart f(n) ciągu f dla liczby naturalnej n nazywamy n-tym wyrazem ciągu f i oznaczamy a_n; ciąg f oznaczamy (a_n), (a_n)_n∈N lub (a_n: n∈N).
Ciągi monotoniczne: malejący ∀_n∈N (a_n> a_n+1);
nierosnący ∀_n∈N (a_n≥ a_n+1);
rosnący ∀_n∈N (a_n< a_n+1);
niemalejący ∀_n∈N (a_n≤ a_n+1); ciągi malejące i rosnące to ciągi ściśle monotoniczne.
Ciąg ograniczony z dołu: ∃_m∈R ∀_n∈N(m≤a_n).
Ciąg ograniczony z góry: ∃_M∈R ∀_n∈N(a_n≤M).
Ciąg ograniczony: jest wtedy gdy jest ograniczony z dołu i z góry.
Podciąg ciągu: niech (a_n) będzie ciągiem i niech (n_m)będzie rosnącym ciągiem liczb naturalnych, wtedy ciąg (a_mn) nazywamy podciągiem ciagu(a_n).
Granica właściwa ciągu: ciąg ma granicę g∈R (lim_n→∞ a_n=g), gdy ∀_ε>o ∃_n0∈N ∀_n≥n0 (|a_n-g|<ε).
Granica ciągu stałego: jeśli a_n jest ciągiem stałym (a_n=a, n∈N, a∈R i jest ustalone) to lim_n→∞ a_n= lim_n→∞ a=a.
Granice niewłaściwe: rozbieżny -∞ (lim_n→∞ a_n=-∞) gdy ∀_m∈R ∃_n0∈N ∀_n≥n0 (a_n<m);
rozbieżny +∞ (lim_n→∞ a_n=+∞) gdy ∀_M∈R ∃_n0∈N ∀_n≥n0 (a_n>M).
Podciągi ciągu rozbieżnego: każdy podciąg ciągu rozb do -∞(+∞) jest rozbieżny do -∞(+∞).
Symbole nieoznaczone: 0/0, ∞/∞, ∞-∞, 0∞, 1^∞, ∞⁰, 0⁰.
Tw. o trzech ciągach: jeśli wyrazy ciągów (a_n)(b_n)(c_n) spełniają nierówności a_n≤b_n≤c_n, n≥n₀ oraz lim_n→∞ a_n= lim_n→∞ c_n=g, to lim_n→∞ b_n=g.
O ciągu monotonicznym i ograniczonym: każdy jest zbieżny, bo jeżeli a_n to ciąg nierosn i ogranicz z dołu to lim_n→∞ a_n=inf(a_n: n∈N); lub jeżeli an jest ciąg niemalej i ogranicz z góry to lim_n→∞ a_n=sup(a_n: n∈N).
O zachowaniu nierówności granicy: jeśli a_n≤b_n dla n∈N i lim_n→∞ a_n=a oraz lim_n→∞ b_n=b, to a≤b.
Liczba e (nepera, Eulera): e=lim_n→∞ (1+1/n)ⁿ.
Funkcja eksponencjalna: exp(x)=e^x, x∈R.
Logarytm naturalny: ln=log_e.
Szereg liczbowy: jeżeli a_n to ciąg rzeczywisty, to ciąg S_n określamy S₁=a_1, S₂=a₁+a₂, S_n=a₁+…+a_n=Σⁿ_k=1a_k.
Warunek konieczny zbieżności szeregu: jeżeli szereg Σ^∞_n=1a_n jest zbieżny, to lim_n→∞ a_n=0.

Spójniki zdaniowe: negacja <nieprawda, że p> ~p lub ¬p; alternatywa <p lub q> pVq; koniunkcja <p i q> pΛq; implikacja <jeśli p to q> p => q; równoważność <p wtedy i tylko wtedy gdy q> pq Tautologia (prawo) rachunku zdań: to wyraż rachun zdań z którego zawsze otrzymamy zdanie prawdziwe niezależnie od wart podstaw w miejsca zmiennych. Podstawowe tautologie: prawo przemienności (pVq)(qVp) (pΛq)(qΛp); prawo łączności (pV(qVr))((pVq)Vr); (pΛ(qΛr))(pΛq)Λr); prawo rozdzielności (pΛ(qVr))((pΛq)V(pΛr)); prawa deMorgana (~(pVq))((~p)Λ(~q)); (~(pΛq))((~p)V(~q)); prawo zaprzeczenia implikacji (~(p=>q))(pΛ(~q)); prawo kontrapozycji (transpozycji) (p=>q)((~q)=>(~p)). Prawa deMorgana dla rachunku kwantyfikatów: ~ ∀x∈X φ(x)∃x∈X ~φ(x); ~∃x∈X φ(x) ∀x∈X ~φ(x). Prawa przestawienia: ∀x∈X ∀y∈Y φ(x,y) ∀y∈Y ∀x∈X φ(x,y); ∃x∈X ∃ y∈Y φ(x,y)∃ y∈Y ∃x∈X φ(x,y); ∃x∈X ∀y∈Y φ(x,y) ∀y∈Y ∃x∈X φ(x,y). Inkluzja (zawieranie się)zbiorów: (AcB), gdy ∀x∈A(x∈B). Równość zbiorów: (A=B), gdy Ax (x∈Ax∈B). Działania na zbiorach: suma A∪B={x: x∈A V x∈B}; iloczyn A∩B={x: x∈A Λ x∈B}; różnica A\B={x: x∈A Λ x∉B}; Własności działań na zbiorach(prawo rachunku zdań): prawa przemienności A∪B=B∪A, A∩B=B∩A; prawa łączności A∪(B∪C)=(A∪B) ∪C; A∩(B∩C)=(A∩B) ∩C; prawa rozdzielności A∩(B∪C)=(A∩B)∪(A∩C); A∪(B∩C)=(A∪B)∩(A∪C); prawa deMorgana A\(B∪C)=(A\B)∩(A\C); A\(B∩C)=(A\B)∪(A\C). Dopełnienie zbioru do przestrzeni: A’= X\A jeśli AcX. Zbiory liczbowe: naturalny N=[1,2,..]; całkowity Z=[..,-2,-1,0,1,2,..]; parzysty {..,-4,-2,0,2,4,..}={2k:k∈Z}; nieparzysty {..,-3,-1,1,3,..}={2k-1: k∈Z}={2k+1: k∈Z}; wymierny Q={p/q: p∈Z, q∈N}; NcZcQ; niewymierny IQ; rzeczywisty R=Q∪IQ. Przedziały na prostej rzeczywistej: otwarty (a,b)= {x∈R: a<x<b}; domknięty [a,b]={ x∈R: a≤x≤b}; L otwarty P domknięty (a,b]= { x∈R: a<x≤b}; L domknięty P otwarty [a,b)= x∈R: a≤x<b}. Iloczyn kartezjański A×B zbioru AiB nazyw zbiór {(x,y): x∈A Λ y∈B}. Zbiór wartości(przeciwdziedzina)funkcji f: Vf ={y∈Y: ∃ x∈X(y=f(x))}. Wykres funkcji: f: X→Y to Gr f={(x,y): x∈X Λ y=f(x)}. Funkcja NA (na): funkcja f odwzorowuje zbiór X na zbiór Y gdy Y=Vf. Równość funkcji: f: X→Y = g: X→Y gdy ∀x∈X(f(x)=g(x)). Funkcja stała: f: X→Y określa się wzorem ∀x∈X (f(x)=y0) dla y0∈Y. Funkcja identycznościowa (id lub idx): f: X→Y określa się wzorem ∀x∈X (f(x)=x). Funkcja różnowartościowa(1−1): f: X→Y określ się wzorem ∀x1,x2∈X (x1≠ x2 => f(x1) ≠ f(x2)). Interpretacja geometryczna obrazu zbioru poprzez funkcję: jeśli X,YcR i f: X→Y, to obrazem zbioru AcX poprzez funkcję f jest rzut części wykresu funkcji f odpowiadaj zbiorowi A na oś rzędnych (Oy). Interpretacja geometrycz przeciwobrazu zbioru poprzez funkcję: jeśli X,YcR i f: X→Y, to obrazem zbioru CcY poprzez funkcję f jest rzut części wykresu funkcji f odpowiadaj zbiorowi C na oś odciętych (Ox). Funkcja złożona: niech f: X→Y, g: Y→X; funkcję g• f: X→Z określ wzorem(g•f)(x)=g(f(x)), x∈X (złoz istniejegdy zb. wart f. wew. zawiera się w dziedz f. zew.)
Funkcja odwrotna: Funkcję f ^-1: Y→X nazyw funk odwrotną do funk f: X→Y, gdy Y=f(X); X=f ^-1(Y); ∀x∈X (f ^-1(f(x))=x). O istnieniu funkcji odwrotnej: dla każdej funkcji f: X→Y (na,1-1) istnieje jedna funk odwrot f ^-1 :Y→X(na,1-1). O funkcji odwrotnej: jeśli f ^-1 :Y→X jest funk odwrot f: X→Y, to f: X→Y (na,1-1); f ^-1 :Y→X(na,1-1); ∀x∈X ∀y∈Y (f ^-1 (y)=xf(x)=y); f^-1•f=idDf ; f• f^-1=idDf-1. Silnia: 0!=1; 1!=1; n!=(n-1)!∙n, n∈N, n≥2. Symbol Newtona: niech p∈R, k≥0, wtedy (^pk)=(p∙(p-1) ∙ … ∙(p-k+1))/k! , k∈N; (^p0)=1; (^pk)=0, k>0, k∉N. Moduł (wartość bezwzględna)liczby rzeczywistej: to funkcja |∙|:R→(na)[0,+∞) określ wzor |x|={x, x≥0; -x, x<0. Cecha (cz.całkowita): to funk ⌊∙⌋:R→(na)Z określ wzor ⌊x⌋=max{k∈Z: ≤X}, x∈R. Mantysa (cz. ułamkowa): to funk m: R→(na)[0,1) określ wzorem m(x)= x-⌊x⌋, x∈R. Potęga o wykład nat i całk: a^0=1, a≠0; a^1=a, a∈R; a^n=a^n-1∙a, n∈N, a∈R; a^-n=1/a^n, n∈N, a≠0. Pierwiastek arytmetyczny: ^n√a=pp^n=a, a≥0, p≥0, n∈N. Logarytm: logax=c a^c=x, a>0, a≠1, x>0, c∈R. Logarytm dziesiętny: log= log10 Element najmniejszy zbioru (minimum): niech AcR, a=minA, gdy a∈AΛ∀x∈A(a≤x). Element największy zbioru (maksimum): niech AcR, b=maxA, gdy b∈AΛ∀x∈A(x≤b). Zbiór A ograniczony z dołu: gdy ∃m∈R∀x∈A (m≤x) dla AcR [m to ogranicz dolne zb. A]. Zbiór A ograniczony z góry: gdy ∃M∈R∀x∈A (x≤M) dla AcR. Zbiór A jest ograniczony: gdy jest ograniczony z góry i z dołu. Kres dolny (infimum): niech AcR bedzię zb. niepustym i ogranicz z dołu. Liczba a∈R to kres dolny zbioru A(a=infA), gdy ∀x∈A(a≤x)Λ∀ε>o∃x∈A (x<a+ε); gdy AcR to zb nieograniczony z dołu to infA=-∞. Kres górny(supremum): niech AcR bedzię zb. niepustym i ogranicz z góry. Liczba b∈R to kres dolny zbioru A(b=supA), gdy ∀x∈A(x≤b)Λ∀ε>o∃x∈A(b-ε <x); gdy AcR to zb nieograniczony z góry to supA=+∞. Funk f ograniczona: jest w zbiorze D wtedy gdy jest ograniczona z dołu i z góry w zbiorze D. Funk monotoniczne(w zbiorze): to funkcje malejące, nierosnące, rosnące, niemalejące w zbiorze. Funk przedziałami monotoniczna: to taka funk, której dziedzinę można przedstawić w postaci przeliczalnej sumy przedziałów rozłącznych, w których ta funkcja jest zawsze monotoniczna. Funk parzysta: niech DcR będz zb. symetrycz wzg. zera i f: D→R; wtedy f jest parzysta, gdy ∀x(f(-x)=f(x)). Funk nieparzysta: niech DcR będz zb. symetrycz wzg. zera i f: D→R; wtedy f jest nieparzysta, gdy ∀x(f(-x)=-f(x)). Funkcja okresowa: niech t≠0, a zb. D∈R niech będzie taki, że ∀x(x∈D=> x+t∈D), wtedy funk f: D→R jest okresowa w przedziale t, gdy ∀x∈D(f(x+t)=f(x)). Wielomian: n∈N∪{0} oraz a1,a2,..,an∈R, an≠0. Funkcję W: R→R okr wzorem W(x)= ax^n+an-1x^n-1+a1x+a0, x∈R nazywamy wielomianem zmiennej x stopnia n o współczynnikach a. Funk wymierna: niech P,Q będą wielomianami oraz Df ={x∈R: Q(x)≠0}; funkcja f: Df →R okr wzorem(x)=P(x)/Q(x), x∈Df to funk wymier. Funk potęgowa: α∈R; funk f; (0,+∞)→ (0,+∞)okr wzor f(x)=x^α, x>0 to funk potęg o wykład α. Funk wykładnicza: f: R→(na,1-1)(0,+∞)okr wzor f(x)=a^x, x∈R to funk wykład o podst a dla a∈(0,1)∪(1,∞).
Funk logarytmiczna: funk f: (0,+∞)→(na, 1-1)R okr wzorem f(x)= logax, x>0 to funk logarytm o podst a, dla a∈(0,1)∪(1,+∞). Funk trygonometryczne kąta skierowanego: niech α to miara stopniowa kąta Sierow XOP o wierzchołku w początku ukł. współrz oraz ramieniu początkowym OX i końcowym OP, gdzie P=(x,y)≠(0,0); oznaczamy przez r odl punktu P od pocz ukł współrz; wtedy: sinα=y/r, cosα=x/r, tgα=y/x, ctgα=x/y. Miara łukowa kąta skierowanego(radian): x=l/r (l-łuk, r-promień). Funk trygonometrycz zmiennej rzeczywistej: funk sin: R→(na)[1,1] okr wzorem sinx=sin((180°/π)x), x∈R to sinus zmienn rzeczyw; cos: R→(na)[-1,1] okr wzorem cosx=cos((180°/π)x), x∈R to cos zmienn rzeczyw. Funk cyklometryczne(kołowe): to funk odwrotne do funk trygonom określ na odpowiedn zb.; arcsin: [-1,1]→(na,1-1)[-π/2, π/2]okr wzorem arcsin=(sin|[-π/2, π/2])^-1; arccos: [-1,1] →(na,1-1) [0,π]okr wzorem arccos=(cos|[0, π])^-1 Funk elementarne: to funk stałe, potęg, wykład, logar, trygonom, cyklom oraz takie które można otrzymać z powyższych funkcji za pomocą skończonej liczby działań arytmetycz i operacji składania funkcji. Ciąg rzeczywisty: to funk f: N→R; wart f(n) ciągu f dla liczby naturalnej n nazywamy n-tym wyrazem ciągu f i oznaczamy an; ciąg f oznaczamy (an), (an)n∈N lub (an: n∈N). Ciągi monotoniczne: malejący ∀n∈N (an> an+1); nierosnący ∀n∈N (an≥ an+1); rosnący ∀n∈N (an< an+1); niemalejący ∀n∈N (an≤ an+1); ciągi malejące i rosnące to ciągi ściśle monotoniczne. Ciąg ograniczony z dołu: ∃m∈R ∀n∈N(m≤an). Ciąg ograniczony z góry: ∃M∈R ∀n∈N(an≤M). Ciąg ograniczony: jest wtedy gdy jest ograniczony z dołu i z góry. Podciąg ciągu: niech (an) będzie ciągiem i niech (nm)będzie rosnącym ciągiem liczb naturalnych, wtedy ciąg (amn) nazywamy podciągiem ciagu(an). Granica właściwa ciągu: ciąg ma granicę g∈R (limn→∞ an=g), gdy ∀ε>o ∃n0∈N ∀n≥n0 (|an-g|<ε). Granica ciągu stałego: jeśli an jest ciągiem stałym (an=a, n∈N, a∈R i jest ustalone) to limn→∞ an= limn→∞ a=a. Granice niewłaściwe: rozbieżny -∞ (limn→∞ an=-∞) gdy ∀m∈R ∃n0∈N ∀n≥n0 (an<m); rozbieżny +∞ (limn→∞ an=+∞) gdy ∀M∈R ∃n0∈N ∀n≥n0 (an>M). Podciągi ciągu rozbieżnego: każdy podciąg ciągu rozb do -∞(+∞) jest rozbieżny do -∞(+∞). Symbole nieoznaczone: 0/0, ∞/∞, ∞-∞, 0∞, 1^∞, ∞^0, 0^0. Tw. o trzech ciągach: jeśli wyrazy ciągów (an)(bn)(cn) spełniają nierówności an≤bn≤cn, n≥n0 oraz limn→∞ an= limn→∞ cn=g, to limn→∞ bn=g. O ciągu monotonicznym i ograniczonym: każdy jest zbieżny, bo jeżeli an to ciąg nierosn i ogranicz z dołu to limn→∞ an=inf(an: n∈N); lub jeżeli an jest ciąg niemalej i ogranicz z góry to limn→∞ an=sup(an: n∈N). O zachowaniu nierówności granicy: jeśli an≤bn dla n∈N i limn→∞ an=a oraz limn→∞ bn=b, to a≤b. Liczba e (nepera, Eulera): e=limn→∞ (1+1/n)^n. Funkcja eksponencjalna: exp(x)=e^x, x∈R. Logarytm naturalny: ln=loge. Szereg liczbowy: jeżeli an to ciąg rzeczywisty, to ciąg Sn określamy S1=a1, S2=a1+a2, Sn=a1+…+an=Σ^nk=1ak. Warunek konieczny zbieżności szeregu: jeżeli szereg Σ^∞n=1an jest zbieżny, to limn→∞ an=0.
Szereg bezwzględnie zbieżny: Σ^∞n=1an jest wtedy gdy Σ^∞n=1|an|jest zbieżny. Szereg warunkowo zbieżny: to taki szereg zbieżny, który nie jest zbieżny bezwzględnie. Kryt porówn dla szer o wyraz dowolnych: jeżeli Σ^∞n=1an, Σ^∞n=1bn spełniają nierówność |an|≤bn, n≥n0, to jeśli Σ^∞n=1bn jest zbieżny, to szereg Σ^∞n=1an jest bezwzględnie zbieżny; jeśli Σ^∞n=1|an| jest rozbieżny to Σ^∞n=1bn także jest rozbieżny. Kryt Cauchy’ego dla szer o wyr dowolnych: jeśli an jest ciągiem liczb rzeczywistych≠0 oraz istnieje g=limn→∞^n√|an| ∈[0,+∞]to Σ^∞n=1an jest bezwzględnie zbieżny gdy g<1; Σ^∞n=1an jest rozbieżny gdy g>1. Kryt d’Alamberta dla szer o wyr dowolnych: jeśli an jest ciągiem liczb rzeczywistych oraz istnieje g=limn→∞|an+1/an|∈[0,+∞]to Σ^∞n=1an jest bezwzględnie zbieżny gdy g<1; Σ^∞n=1an jest rozbieżny gdy g>1. Kryt Leibniza: ciąg an o wyrazach dodatnich jest nierosnący i zbieżny do zera, to szereg naprzemienny Σ^∞n=1(-1)^n+1an jest zbieżny do liczby z przedziału [a1-a2, a1]. Otoczenie punktu: o promieniu r>0 punktu x0∈R to przedział (x0-r,x0+r)co oznacz K(x0,r)lub Kx0; otocz Lstron (Pstron) o promieniu r>0 punktu x0∈R to przedział [x0-r,x0] ([x0,x0+r]). Sąsiedztwo punktu: o promieniu r>0 punktu x0∈R to zbiór (x0-r,x0)∪(x0,x0+r)i oznaczamy S(x0,r)lub Sx0. Otoczenia (sąsiedztwa) -∞ i +∞: Sąsiedz(otocz)-∞(+∞) nazyw przedz (-∞,b)[(a,+∞)], gdzie b∈R (a∈R)i oznacz S-∞ lub K-∞ (S+∞ lub K+∞)Punkt skupienia zbioru: gdzie x0∈R nazyw punktem skup zb AcR, gdy w każdym sasiedz Sx0 punkt x0 znajduj się punkt zb A tzn. ∀Sx0(Sx0∩A≠0); zb wszyst punkt skup zb A oznacz A^d. Punkt izolowany zbioru: to każdy punkt zb który nie jest jego punkt skup. Gran właś funk w sens Heinego: niech DcR; funk f:D→R ma granic g∈R w punk x0∈D^d, gdy ∀(xn)cD\{xo}( limn→∞ xn=x0 => limn→∞ f(xn)=g. Gran właś funk w sens Cauchy’ego: niech DcR; funk f:D→R ma granic g∈R w punk x0∈D^d, gdy ∀ε>o∃ δ>o ∀x∈D(0<|x-x0|<δ =>|f(x)-g|<ε). Ciągł funk w punkcie w sensie Heinego: jeśli DcR to funkcja f:D→R jest ciągła w punkcie x0∈D, gdy ∀(xn)cD (limn→∞ xn=x0 => limn→∞ f(xn)=f(x0)). Ciągł funk w punkcie w sensie Cauchy’ego: jeśli DcR to funkcja f:D→R jest ciągła w punkcie x0∈D , gdy ∀ε>o∃δ>0∀x∈D(|x-x0|<δ=>|f(x)-f(x0)|<ε). Ekstrema globalne(wart): funk f ma w punkcie x0∈D minimum(maksimum) globalne, gdy ∀x∈D (f(x)≤[≥]f(x0))Ekstrema lokalne: funk f ma w punkcie x0∈D minimum (maksimum)lokalne, gdy istn otocz Kx0 punkt x0 takie że ∀x∈Kx0∩D (f(x)≤[≥]f(x0)). Tw Weierstrassa o przyjm ekstrem glob: jeśli f: [a,b]→R to funk ciągła to funk f ma obydwa ekstrem glob czyli istnieje f(x1)=infx∈[a,b]f(x); f(x2)=supx∈[a,b] f(x). Własność Darboux: jeśli f: [a,b]→R jest funk ciągł i f(a)≤f(b); y∈[f(a),f(b)]; f(a)≥f(b); y∈[f(b),f(a)]to istn taki punkt c∈[a,b], że y=f(c).Tw Bolzano-Cauch’ego o przyjm zera: jeśli f: [a,b]→R jest funk ciągł i f(a),f(b)<0, to istn taki punkt x0∈(a,b) że f(x0)=0. Iloraz różnic: jeśli f: [a,b]→R, x,x0∈(a,b), x≠x0 to iloraz róznic funk nazyw If(x,x0)= f(x)-f(x0)/x-x0 Pochodn funk w punk: jeśli f: [a,b]→R, x,x0∈(a,b), x≠x0 to f ’(x0)= limx→x0f(x)-f(x0)/x-x0