Definicja i interpretacja geometryczna funkcji rzeczywistej o dwóch zmiennych rzeczywistych. Jeżeli przyporządkowana jest dokładnie jedna wart. Z∈R to mówimy, że w zb Z określona jest f. rzeczywista o dwuch zmiennych x,y i ozn. ją Z=f(x,y) lub f:D→R. Def. funkcji ciągłej w punkcie. Niech Po(xo,yo) należy do obszaru określoności funkcji f(x,y). Def. f(x,y) nazywamy ciągłą w punkcie Po jeżeli: 1^o f posiada granicę w Po 2^o f posiada wartość w Po 3^o g=f(xo,yo)=f(Po) Pochodne cząstkowe fun. 2 zmiennych: Niech f(x,y) będzie określona w Q(P0) i niech h,k będą przyrostami zmiennej x, y odpowiednio o własnościach, że (x0+h,y0)ϵQ(P0), (x0,y0+k)ϵQ(P0) Nazywamy pochodnymi cząstkowymi funkcji w przedziale P0. Tw. Schwarza. Jeżeli f(x,y) ma w obszarze D ciągłe pochodne mieszane II rzędu, to dla każdego punktu tego obszaru. Pochodnej kierunkowej dla funkcji o dwóch zmiennych. f : Q(Po) P∈Q(Po); P≠Po jeżeli istnieje ta granica, to będziemy ją nazywać pochodną kierunkową w kierunku prostej Pos. Def. różniczki zupełnej I rzędu Niech f(x,y) będzie różniczkowalna w punkcie Q(Po). Składnik liniowy nazywamy różniczką zupełną funkcji f(x,y) w punkcie Po oznaczamy symbolem Warunek konieczny istnienia ekstremum. Jeżeli f(x,y) ma w Po poch. , i ma w tym punkcie ekstremum, to ; . Warunek wystarczający. Jeżeli i , to f(x,y) posiada w Po ekstremum gdy W(Po )>0 (, )..	Def. równania różniczkowego Bernoulliego. Równanie postaci nazywamy równaniem różniczkowym Bernoulliego, gdzie p(x) i q(x) są funkcjami ciągłymi w pewnym wspólnyym przedziale a<x<b, a n jest dowolną liczbą rzeczywistą. Dla n=0 otrzymujemy równanie różniczkowe liniowe. Dla n=1 otrzymujemy równanie różniczkowe liniowe jednorodne względem y i y’, a więc równanie, w którym zmienne dadzą się rozdzielić. Def. równania różniczkowego liniowego. Równanie różniczkowe postaci , liniowe względem y i y’, nazywamy równaniem liniowym rzędu I. Def. równania różniczkowego liniowego rzędu n o stałych współczynnikach. Równaniem różniczkowym liniowym rzędu n o współczynnikach stałych nazywamy równanie postaci: ; . Równanie to, będące bezpośrednim uogólnieniem równania rzędu II, jest liniowe względem y i wszystkich jej pochodnych; występujące w równaniu współczynniki ao, a1,…,an są stałe, a f(x) jest dowolną funkcją. Def. równania różniczkowego zupełnego. Równaniem różniczkowym zupełnym nazywamy równanie różniczkowe rzędu I postaci , w którym funkcje P(x,y) i Q(x,y) są ciągłe w pewnym obszarze D i takie, że wyrażenie jest różniczką zupełną pewnej funkcji dwóch zmiennych F(x,y) określonej w obszarze D. Oznacza to, że w obszarze D istnieje taka różniczkowalna funkcja F(x,y), że zachodzą związki: , w każdym punkcie tego obszaru. Całka krzywoliniowa skierowana: Jeżeli dla n->∞ (b n->∞ ) ciag bn posiada granice własciwa niezalezna od podziału przedziału <α,β> i od wyboru punktów lk tp granice te nazywamy całka krzywoliniowa skierowana pare funkcji [P(x,y), Q(x,y)]po łuku AB. Oznaczamy: ∫AB P(x,y)dx+Q(x,y)dy O zamianie całki krzywoliniowej skierowanej na oznaczona: Jeżeli P(x,y)., Q(x,y) SA ciągłe na otwartym zwykłaym gładkim łuku AB o równaniach: x=x(t), y=y(t) tϵ<α,β> to ∫AB Pdx+Qdx istnieje rozkład: Sformułować i udowodnić twierdzenie Greena. Jeżeli , (D domknięty i ograniczony) ,D – obszar normalny względem osi OX i OY, przy czym krzywa K – brzeg obszaru D skierowana dodatnio względem wnętrza, to całka krzywoliniowa po krzywej K (zamkniętej) Sformułować i udowodnić twierdzenie o niezależności całki krzywoliniowej skierowanej od drogi całkowania. Tw. Jeżeli funkcje P(x,y) i Q(x,y) są klasy C^1 w obszarze jednospójnym D, to spełnione równości w każdym punkcie tego obszaru jest warunkiem koniecznym i wystarczającym na to, żeby całka po otwartym, kawałkami gładkim łuku zwykłym nie zależała od kształtu tego łuku, a tylko od punktów AB. Zastosowanie całki krzywoliniowej skierowanej: praca siły. - praca siły wzdłuż krzywej AB. Zastosowanie całki krzywoliniowej nieskierowanej: masa krzywej. Jeżeli jest gęstością liniową masy łuku L, to całka przedstawia masę tego łuku.	Napisać wzór na pole obszaru płaskiego przy pomocy całki krzywoliniowej skierowanej. Niech , , w obszarze ograniczony krzywą . Twierdzenie o zamianie całki krzywoliniowej nieskierowanej na pojedynczą dla krzywej pojedynczej względem osi OX. Jeśli równanie drogi całkowania dane są w postaci jawnej y=ϕ(x) i jeżeli „a” i „b” są odp. Odciętymi punktów A i B przy czym a<b to Tw. o zamianie całki krzywoliniowej nieskierowanej na pojedyńczą dla krzywej płaskiej o równaniach parametrycznych. Jeżeli funkcja jest ciągła na otwartym, zwykłym łuku gładkim L o przedstawieniu parametrycznym , , , to całka istnieje, przy czym 9.4. Twierdzenie o zamianie całki krzywoliniowej nieskierowanej na pojedynczą dla krzywej przestrzennej o równaniach parametrycznych. Jeżeli f(x,y,z) jest ciągła ma otwartym, zwykłym łuku gładkim L o przedstawieniu parametrycznym x=x(t), y=y(t), z=z(t), t∈<α,β> to Istnieje przy czym Szeregi liczbowe Warunek konieczny zbieżności szeregu liczbowego. Warunkiem koniecznym zbieżności szeregu liczb jest, aby jego ogólny wyraz dążył do 0. Kryterium Cauchy’ego zbieżności i rozbieżności szeregu liczbowego. Jeżeli oraz to szereg jest zbieżny gdy q<1, a rozbieżny gdy q>1; gdy q=1 to kryterium nie daje rozstrzygnięcia. Kryterium d’Alamberta zbieżności, rozbieżności szeregu liczbowego. Jeżeli oraz to jest zbieżny gdy q<1, rozbieżny gdy q>1. Przy q=1 kryterium nie daje rozstrzygnięcia: szereg może być zbieżny albo rozbieżny. Kryterium całkowe zbieżności szeregu liczbowego. Szereg o wyrazie ogólnym jest rozbieżny, jeżeli f(x) jest funkcją monotonicznie malejącą i całka niewłaściwa jest zbieżna; natomiast jeżeli całka ta jest rozbieżna to szereg o wyrazie ogólnym f(n) jest rozbieżny. Przy czym dolną granicę całkowania c należy tak obrać, żeby funkcja f(x) w przedziale c<x<∞ była oznaczona i nie miała punktów nieciągłości	Kryterium porównawcze zbieżności szeregu liczbowego. Jeżeli dla szeregu , gdzie można wskazać taki zbieżny szereg , dla którego zachodzi to szereg jest też szeregiem zbieżnym. Kryterium porównawcze rozbieżności szeregu liczbowego. Jeżeli dla szeregu można wskazać taki rozbieżny szereg , w którym to szereg jest również szeregiem rozbieżnym. Definicja szeregu liczbowego przemiennego. Szereg gdzie są liczbami dodatnimi, nazywamy szeregiem przemiennym. Definicja szeregu potęgowego. Szeregiem potęgowym nazywamy szereg funkcyjny postaci lub postaci , gdzie (i=1,2...) są stałymi współczynnikami Wzory na promień zbieżności szeregu potęgowego. Promieniem zbieżności szeregu potęgowego nazywamy kres górny zbioru wart bezwzg. wszystkich wartości x, dla których ten szereg jest zbieżny (oznaczamy jako R). Twierdzenie o rozwinięciu funkcji w szereg Taylora. Każda funkcja , analityczna wewnatrz pewnego koła o środku a, może być w każdym punkcie tego koła w sposób jednoznaczny przedstawiona w postaci szeregu potęgowego: , gdzie współczynnikami rozwinięcia są liczby zespolone określone wzorem . W ten sposób otrzymujemy szereg Taylora:	Definicja przekształcenia Laplace'a. Ko – klasa oryginału K – zb. wszystkich F o zmiennej s α: Ko→K s∈α Wzór: różniczkowanie oryginału (dla pochodnej ni rzędu). Dowolna własność przekształcenia Laplace'a. Wzór: całkowanie oryginału. Dowolna własność przekształcenia Laplace'a. Twierdzenie o podobieństwie dla przekształcenia Laplace'a. Jeżeli f(t)∈Ko oraz a>0 to Twierdzenie o przesunięciu dla przekształcenia Laplace'a. Jeżeli f(t) )∈Ko oraz to≥0, to Twierdzenie o tłumieniu dla przekształcenia Laplace'a. Jeżeli f(x)∈Ko dla dowolnego stałego a Tw. o zmianie zmiennych w całce podwójnej. Jeżeli: 1^o odwzorowanie ;    przekształca jednoznacznie wnętrze    obszaru Δ (regularnego) na wnętrze    obszaru D (regularnego), 2^o , 3^o - domknięty i    ograniczony, 4^o w ,to Tw. o zmianie zmiennych prostokątnych na biegunowe w całce podwójnej. Wprowadzamy współrzędne biegunowe , i mamy Zastosowanie całki podwójnej: moment statyczny i moment bezwładności obszaru płaskiego. - gęstość powierzchniowa masy - masa Moment statyczny: . Moment bezwładności: . Zastosowanie całki podwójnej: objętość bryły. 1^o 2^o , . Zastosowanie całki podwójnej: pole płata powierzchniowego. D – obszar płaski, regularny, ograniczony jedną krzywą zamkniętą K, Niech . Zastosowanie całki podwójnej: masa obszaru płaskiego. Jeżeli - gęstość obszaru (domknięty i ograniczony), to